河北省衡水市安平中学2025-2026学年高一上学期9月第一次学情检测数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：C
2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可求解．
【详解】解：∵全集，集合，，
∴，
∴．
故选：D．
3. “x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.
【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；
由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题.
4. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或或，
当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，满足，符合题意.
故选：D.
5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可.
【详解】由，当，，所以，
当，，所以，所以，故A错误；
，故B正确；由，所以，故C错误；
因为，所以，故D错误.
故选：B
6. 已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可.
【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素，
所以方程有2个相等的实数解，
即，解得，
所以实数的取值集合为，
故选：B.
7. 已知集合,则中所含元素的个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】列举法得出集合，共含个元素．
故答案选
8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解.
【详解】因为，，
由题意可知，若，则，若，则，
若，则，若，则，、没有限制，
综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、
、、、、、、、、
、、，共个，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B. Q
C. －3∈ND. ∈Z
【答案】AB
【解析】
【分析】根据常见数集的范围,直接判断.
【详解】根据常见数集的范围：
，故A正确；
不是有理数，所以 Q.故B正确；
N自然数集合，所以－3N.故C错误；
为无限不循环小数，所以.故D错误.
故选：AB
10. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ）
A. 1B. C. 2D. 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】若，然后针对是否为空集进行讨论求解即可.
【详解】因为，．
当时，，符合题意；
当时，，所以或，解得或．
所以m的值为或或．
故选：ABD．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 方程组的解集是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4
【答案】CD
【解析】
【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断A；对参数是否为零进行分类讨论可得或可判断B；利用韦达定理可判断C；由可得是集合的子集可判断D.
【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误；
对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意；
当时，需满足，可得，因此或，故B错误；
对于C，由可知一元二次方程的判别式，
即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立；
若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负，
即，也即，所以必要性成立，故C正确；
对于D，由可知是集合的子集，
所以集合可以是，，，共4个，故D正确.
故选：CD.
三､填空题：每小题5分，共15分.
12. 若集合与集合相等，则实数__________.
【答案】或
【解析】
【分析】由集合相等，分类讨论求解即可.
【详解】因为集合与集合相等，
所以当时，，则，符合题意；
当时，，则，符合题意.
故或.
故答案为：或.
13. 一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为______.
【答案】108
【解析】
【分析】根据容斥原理可求的值.
【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，；
参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，；
同时参加了三门学科考试的学生数为，如图所示：
根据题意可得，
前面三个等式相加，可得．
由第四个等式可得，，
因此，
解得．因此学生总数为．
故答案为：108.
14. 设A，B是R的两个子集，对于，定义：，，
①若，则对任意______；
②若对任意，则A，B的关系为______．
【答案】 ①. 0 ②.
【解析】
【分析】①根据，按照和分类讨论，求出的值代入可求出结果；
②由已知有，一个为0，另一个为1，结合题设的定义可判断元素与集合A、B的关系，进而可得，的关系.
【详解】①因为，则当时，，所以，
当时，必有，所以，所以，
综上可得，
②对任意，则，的值一个为0，另一个为1，
即时，必有，或时，必有，
所以A，B的关系为．
故答案为：0；
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，．
（1）求，；
（2）求，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可.
【小问1详解】
由题意得，，，
，
所以，
．
【小问2详解】
由题意得，，，
所以，
．
16. 已知集合，．
（1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可；
（2）由，则或，求解即可.
【小问1详解】
因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围.
【小问2详解】
若，则或，
所以或，
故实数的取值范围.
17. 若集合.
（1）若，写出的子集；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，求出，根据子集的概念可写出的所有子集.
（2）根据条件确定集合的包含关系，再分类讨论可求的取值范围.
【小问1详解】
当时，.
∵
∴.
∴其子集为：，共8个（）.
【小问2详解】
∵，∴.
分两种情况：
当时，符合题意，此时，解得：；
当时，则或或：
若或，则，解得：，此时，符合题意；
若，则有，解得：无解.
综上所述，实数的取值范围为.
18. 已知集合．
（1）若，求;
（2）若，求实数取值范围；
（3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【小问1详解】
当时，，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
【小问3详解】
由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
19. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集”
（1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素；
（2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：；
（3）已知集合为弦方集，集合，证明：.
【答案】（1）是弦方集中的元素，不是弦方集中的元素；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断；
（2）根据“弦方集”的定义证得结论成立；
（3）利用反证法，先假设，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得.
【小问1详解】
因为，所以是弦方集中的元素.
不存在，使得，所以不是弦方集中的元素.
【小问2详解】
依题意，集合为弦方集，且，即存在，使得，
正整数能表示为某个整数的平方，即存在，
所以，
所以是弦方集中的元素，即.
【小问3详解】
假设，则存在，，
使得，由于是奇数，所以是奇数，
所以一个是奇数，另一个是偶数，
不妨设，
则，
而除以的余数为，除以的余数为，
所以，与已知矛盾，所以.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的方法步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.