北师大版（2024）八年级上册数学第五章 二元一次方程组 教案【表格式】

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北师大版（2024）八年级上册数学第五章 二元一次方程组 教案 课程标准 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 5.建立模型观念。 6.体会一次函数与二元一次方程的关系。 教材分析 二元一次方程组是初中数学的重要内容,它是在一元一次方程的基础上发展而来,是进一步学习函数等知识的基础。本单元主要内容包括二元一次方程(组)的概念,二元一次方程组的解法(代入消元法和加减消元法),以及利用二元一次方程组解决实际问题。通过本单元的学习,学生将学会用方程组表示问题中的等量关系,体会数学建模思想,提高分析问题和解决问题的能力。 素养目标 1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识。 2.了解二元一次方程(组)的有关概念,会解简单的二元一次方程组(数字系数);能根据具体问题中的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题,并能检验解的合理性。 3.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系,会利用待定系数法确定一次函数的表达式。 4.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元”思想,从而初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想。 教学重难点 重点:二元一次方程(组)及其解的定义,根据实际情况列二元一次方程(组)。 难点:二元一次方程组的认识与识别,根据二元一次方程组解的情况求参数的值。 知识结构 1　认识二元一次方程组 教学设计 教学过程 2　二元一次方程组的解法 第1课时　代入消元法 教学设计 教学过程 第2课时　加减消元法 教学设计 教学过程 3　二元一次方程组的应用 第1课时　和差倍分问题 教学设计 教学过程 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第2课时　借助表格解决实际问题 教学设计 教学过程 第3课时　借助图形、图示解决实际问题 教学设计 教学过程 4　二元一次方程与一次函数 第1课时　二元一次方程与一次函数的关系 教学设计 教学过程 第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式 教学设计 教学过程 *5　三元一次方程组 教学设计 教学过程 ☆问题解决策略:逐步确定 教学设计 教学过程 课标摘录1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,理解方程的意义。 2.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 3.建立模型观念。素养目标1.通过对实际问题的分析,进一步体会方程是刻画数量关系的有效数学模型。 2.理解二元一次方程(组)及其解等概念,会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。教学重难点重点:理解二元一次方程(组)及其解的含义,会判断二元一次方程(组)及一组数是不是某个二元一次方程(组)的解。 难点:准确理解二元一次方程(组)及其解的含义,准确分析具体情境的等量关系,从实际问题中抽象出二元一次方程的过程。教学策略从简单数量关系情境入手,让学生先用一元一次方程解决问题,使学生体会用已有知识解决问题的复杂性和局限性,自然转到探索解决问题的新途径,同时体会一元一次方程与二元一次方程(组)的关系。情境导入 小明和小颖参加课外种植实践活动,他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株,如果将小颖栽种的绿植减少1株,将小明栽种的绿植增加1株,那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。 (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设小明栽种了x株绿植,小颖栽种了y株绿植,由此你能得到怎样的方程?新知初探 探究一　二元一次方程(组)的概念 活动1:尝试·思考 周末,小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼,他们一共8个人,买门票花了34元。已知每张成人票5元,每张学生票3元。 问题:(1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设他们中有成人x人、学生y人,由此你能得到怎样的方程? 活动2:观察·思考 在上面两个情境中,我们分别得到方程x-y=2和x+1=2(y-1),以及x+y=8和5x+3y=34。观察这些方程,它们有什么共同特征? 归纳总结:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 活动3:思考·交流 在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中,x所表示的对象相同吗?y呢?与同伴进行交流。 方程x+y=8和5x+3y=34中,x,y所表示的对象分别相同。因而x,y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34。把它们联立起来,得x+y=8,5x+3y=34。归纳总结:像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组。 例如,x-y=2,x+1=2(y-1)和x+2y=7,3y+1=2都是二元一次方程组。 意图说明 先让学生通过观察归纳两个方程的共性,并用自己的语言进行描述,然后再组织学生交流归纳出二元一次方程的概念及其关键特征。在总结归纳出二元一次方程组的定义后,引导学生理解未知数x和y表示的意义相同,并规范方程组的表示方法。最后让学生尝试自己举例后老师再呈现几组特殊的二元一次方程组,加强学生对概念的深刻理解。 探究二　二元一次方程(组)的解 活动4:尝试·思考 问题1:x=6,y=2满足方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找到其他x,y的值满足方程x+y=8吗? 问题2:x=5,y=3满足方程5x+3y=34吗?x=2,y=8呢? 问题3:你能找到一组x,y的值,同时满足方程x+y=8和5x+3y=34吗? 归纳总结:使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解。 例如,x=6,y=2是方程x+y=8的一个解,记作x=6,y=2。同样,x=5,y=3也是方程x+y=8的一个解。 归纳总结:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。 例如,x=5,y=3就是二元一次方程组x+y=8,5x+3y=34的解。 意图说明 在学生已经知道了方程“解”的含义基础上,先给出具体数据,通过计算验证是否是方程的解,然后探索符合方程的其他的解,在探索过程中深刻体会方程(组)“解”的含义,并体会二元一次方程有无数个解,二元一次方程组有一组解。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计认识二元一次方程组 1.二元一次方程　　　　　　　　2.二元一次方程组 3.二元一次方程的解　　　　　 4.二元一次方程组的解教学反思课标摘录1.掌握消元法,能解二元一次方程组。 2.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。素养目标1.了解解方程组的基本思想是“消元”,掌握代入消元法解二元一次方程组。 2.让学生在解决问题的过程中学会交流与合作,感受二元一次方程组的应用价值。教学重难点重点:用代入法解二元一次方程组的基本步骤。 难点:探究用代入消元法将“二元”转化为“一元”的过程。教学策略从实际问题引入,列出二元一次方程组,引发学生解出未知数的兴趣。教师指导学生先复习一元一次方程的解法,再展示二元一次方程组,引导学生思考如何将其转化为一元一次方程。通过具体例子,详细讲解代入消元的步骤:变形一个方程,用含一个未知数的式子表示另一个未知数,再代入另一个方程求解。安排不同难度层次的练习题,让学生逐步掌握代入消元法。先从简单直接的方程组开始,再过渡到需要适当变形的题目,及时给予反馈和指导。温故知新 1.下列方程是二元一次方程吗? (1)x+3y=7;(2)2y+2=0;(3)2x-3=5;(4)x3-y2=1。 2.你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗? 3.解一元一次方程的步骤是什么?新知初探 探究一　代入消元法解二元一次方程组 活动1:在上一节的种植问题中,要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植,就需要解方程组x-y=2,①x+1=2(y-1)。② 问题1:两个方程中的未知数x有什么关系?未知数y呢? 问题2:未知数x与未知数y之间满足什么关系?你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗? 问题3:你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗?与同伴进行交流。 教师活动:引导学生尝试解方程组 由①,得y=x-2。③ 由于方程组中相同的未知数表示同一对象,所以方程②中的y也等于x-2, 可以用x-2代替方程②中的y。于是有 x+1=2(x-2-1)。④ 解一元一次方程④,得x=7。 再把x=7代入③,得y=5。 这样,我们就得到二元一次方程组x-y=2,x+1=2(y-1)的解x=7,y=5。 因此,小明栽种了7株绿植,小颖栽种了5株绿植。 活动2:探索与归纳: (1)给前面解方程组的方法取个什么名字好? (2)解方程组的基本思路是什么?(3)解方程组的主要步骤有哪些? 代入消元法:将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。 基本思路:“消元”——把“二元”变为“一元”。 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法,其主要步骤: 第一步:在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程,将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。 第二步:把此代数式代入没有变形的另一个方程中,可得一个一元一次方程。 第三步:解这个一元一次方程,得到一个未知数的值。 第四步:回代求出另一个未知数的值。 第五步:把方程组的解表示出来。 第六步:检验,即把求得的解代入每一个方程看其是否成立。 意图说明 通过利用一元一次方程解决实际问题引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力。通过问题罗列及小组讨论,让学生发挥学习的主动性,同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯。 探究二　例题讲解 例1 解方程组:3x+2y=14,x=y+3。①② 解:将②代入①,得3(y+3)+2y=14, 　3y+9+2y=14, 　　　　 5y=5, 　　　　　y=1。 将y=1代入②,得x=4。 所以原方程组的解是x=4,y=1。 例2 解方程组:2x+3y=16,①x+4y=13。② 解:由②,得x=13-4y。③ 将③代入①,得2(13-4y)+3y=16, 　 26-8y+3y=16, 　　　　-5y=-10, 　　　　　　y=2。 将y=2代入③,得x=5。 所以原方程的解是x=5,y=2。 意图说明 通过教师对两个例题的讲解,再加上合理归纳,学生可以加深对“消元”的印象,并牢记正确的解题顺序,理解“消元”的步骤。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计代入消元法 1.解二元一次方程组的基本思路　　2.解方程组的主要步骤 3.例题讲解教学反思课标摘录1.掌握消元法,能解二元一次方程组。 2.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。素养目标1.掌握用加减消元法解二元一次方程组。 2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。 3.选择恰当的方法解二元一次方程组,培养学生的观察、分析能力。教学重难点重点:用加减消元法解二元一次方程组。 难点:使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。教学策略本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法并能利用加减消元法解二元一次方程组,是提升学生求解二元一次方程组的基本技能课,在例题的设置上充分体现化归思想。在学习二元一次方程组的解法中,关键是领会其本质思想——消元,体会“化未知为已知”的化归思想。因而在教学过程中教师通过对问题的创设,鼓励学生去观察方程的特点,在巩固训练中提高学生解答的正确率和规范性,提升学生学习数学的信心,激发学习数学的兴趣。情境导入 同学们,你能用前面学过的代入消元法解下面的二元一次方程组吗? 3x+5y=21,①2x-5y=−11。② (1)用x表示y怎样解? (2)用y表示x怎样解? 思考: 除了上面的两种方法,你能用其他比较简单的方法来做吗? 观察:(1)上面的方程组,未知数y的系数有什么特点? (2)除了代入消元,你还有什么办法消去y呢? 引导:把方程组中①+②得到5x=10,x=2,将x=2代入①,得6+5y=21,y=3。 所以方程组3x+5y=21,2x-5y=−11的解是x=2,y=3。新知初探 探究　加减消元法解二元一次方程组 活动1:解方程组 2x-5y=7,2x+3y=−1。①② 分析:观察到方程①,②中未知数x的系数相等,可以利用两个方程相减消去未知数x。 解:②-①,得8y=-8, 　　　　　　y=-1。 把y=-1代入①,得2x+5=7, 　　　　　　　　　　　x=1。 所以原方程组的解为x=1,y=−1。师生活动:解答完本题后,口算检验,让学生养成进行检验的习惯,同时教师需强调以下两点: (1)注意解此题的易错点是②-①时是(2x+3y)-(2x-5y)=-1-7,方程左边去括号时注意符号。另外解题时,①-②或②-①都可以消去未知数x,不过在①-②得到的方程中,y的系数是负数,所以在上面的解法中选择②-①; 把y=-1代入①或②,最后结果是一样的,但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值. 活动2:解方程组2x+3y=12,3x+4y=17。①② 师生活动:先留一定的时间让学生观察此方程组,让学生说明自己观察到的方程有什么特点,能不能自己解决此方程组,用什么方法解决?若学生提出用代入消元法,可以让学生先按此法完成,然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决?让学生讨论尝试。 教师引导:二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1,或同一个未知数的系数刚好相同或相反。我们遇到的往往就是这样的方程组,我们要想比较简捷地把它解出来,就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形,从而用加减消元法,达到消元的目的。请大家把解答过程写出来。 解:①×3,得6x+9y=36。　③ ②×2,得6x+8y=34。　④ ③-④,得y=2。 将y=2代入①,得x=3。 所以原方程组的解是x=3,y=2。 活动3:思考·交流 根据上面几个方程组的解法,请同学们思考下面两个问题: (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些? (由学生分组讨论、总结并请学生代表发言) 师生共析: (1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。 (2)用加减法解二元一次方程组的主要步骤是 ①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数,然后分别在两个方程的两边同乘适当的数,使该未知数的系数相等或互为相反数。 ②加减消元,得到一个一元一次方程。 ③解一元一次方程。 ④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程,求出另一个未知数的值,从而得方程组的解。 意图说明 让学生经历合作探究的过程通过观察、发现,得到新的解二元一次方程组的方法——加减消元法,培养学生发现问题、解决问题的能力。通过例题和练习,体会加减消元法的基本特点,熟悉加减消元法的基本步骤,提升用加减消元法解二元一次方程组的基本技能,积累解二元一次方程组的经验。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计加减消元法 1.加减消元法消元的概念　　　　　　　　　　　2.加减消元法解方程组的步骤 3.会用适当的方法解二元一次方程组教学反思课标摘录1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 4.建立模型观念。素养目标1.能分析现实问题中的数量关系,建立方程组解决实际问题。 2.经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画数量关系的有效数学模型,发展模型思想和应用意识。 3.通过解决中国古代数学书籍中的趣题,感受中华民族独特的数学智慧,增强文化自信和民族自豪感。教学重难点重点:根据等量关系列出二元一次方程组解决实际问题。 难点:1.读懂古算题。 2.根据题意找出等量关系,列出方程组。教学策略本着以学生自主学习为主体、教师引导点拨为主导的教学原则,采用“问题情境——建立模型——解释——应用与拓展”的模式展开教学。充分利用实际问题、古代的趣题,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性;利用多媒体课件和实物等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示所学内容;强调学生的动脑思考和主动参与,通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促进自主探究。情境导入 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题: 今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? (1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能根据(1)中的等量关系列出方程组吗? (3)你能解决这个有趣的问题吗?新知初探 探究一　鸡兔同笼问题 活动1:解法一:假设推理 解:如果都是鸡,35头应该有70只脚,实际有94只脚,多出24只脚,应该是兔子的,每只兔子多两只脚,所以兔子应该有12只,所以鸡有35-12=23(只)。 解法二:用一元一次方程求解 解:设笼中有鸡x只,则有兔(35-x)只,得2x+4(35-x)=94,解得x=23. 所以35-x=12。 所以笼中有鸡23只,兔12只。 解法三:用二元一次方程组求解 解:设笼中有鸡x只,兔y只,则依题意,列方程组,得x+y=35,①2x+4y=94。② 解这个方程组,得x=23,y=12。所以笼中有鸡23只,兔12只。归纳小结: 用二元一次方程组解答的优点:相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解,更快速简单;用二元一次方程解答的不足:计算较复杂,费时间。 意图说明 体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程,通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组,思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。 探究二　和差倍分问题 活动2:尝试·思考 列方程组求解下面的问题: 若甲从乙处得到7个钱币,则甲拥有的钱币数是乙的5倍;若乙从甲处得到5个钱币,则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币?(选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》) 问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 问题2:你能列方程解决这个问题吗?你是怎样做的?与同伴进行交流。 活动3:今有甲、乙怀钱,各不知其数。甲得乙十钱,多乙余钱五倍。乙得甲十钱,适等。问甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》) 题目大意:甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱,那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍;如果乙得到甲的10钱,那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱? 分析:题目涉及哪些数量关系?你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗? 解:设甲带的钱数为x,乙带的钱数为y,根据题意,得x+10=6(y-10),x-10=y+10。 解这个方程组,得x=38,y=18。 所以,甲带了38钱,乙带了18钱。 活动4:思考·交流 1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系?与同伴进行交流。 2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程,请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤: ①审:通过审题找出等量关系; ②设:用字母表示题目中的两个未知数; ③列:依据找到的等量关系,列出方程组; ④解:解方程组,求出未知数的值; ⑤验:检验所得的解是否是方程组的解,并且要检验其是否符合实际问题的意义; ⑥答:回答题目中要解决的问题,注意单位名称。 意图说明 通过习题的讲解与练习进一步巩固列二元一次方程组解应用题的思想,以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计和差倍分问题 1.鸡兔同笼问题　　　　　　　　　　　　　　　2.和差倍分问题教学反思课标摘录1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 4.建立模型观念。素养目标1.能运用列表法分析数量关系。 2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。 3.掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。教学重难点重点:学会用表格分析较复杂的数量关系问题。 难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型;学会用表格分析数量关系。教学策略本节课通过情境创设引出课题,对本节课要用到的数量关系加以铺垫;再通过对一道例题的精讲精练使学生学会借助表格分析较为复杂问题中的数量关系,并能建立方程组解决问题;然后,通过让学生自己编题培养学生的逆向思维,发展学生运用数学解决问题的自主意识;紧接着,带领学生对本节课所学的知识进行梳理;最后,通过练习进行针对性巩固,让学生感悟到数学来源于生活且服务于生活,增收节支对理财观念的形成至关重要。情境导入 新年来临,爸爸想送小明一个书包和学习机作为礼物。爸爸对小明说:“我在甲、乙两个商场发现同款的学习机的单价相同,书包单价也相同,学习机和书包单价之和是1 072元,且学习机的单价比书包单价的8倍少8元,你能说出学习机和书包单价各是多少元,那么我就买给你做新年礼物”。你能帮助他吗?新知初探 探究一　借助表格解决实际问题 活动1:问题探究 某工厂前年的总利润(总收入—总支出)为200万元。去年的总收入比前年增加了20%,总支出比前年减少了10%,去年的利润为780万元。前年的总收入、总支出各是多少万元? 提炼问题 (1)若该厂前年的总收入是x万元,去年的总收入比去年增加了20%,则去年的总收入是　(1+20%)x　万元;  (2)若该厂前年的总支出为y万元,去年的总支出比前年减少了10%,则去年的总支出是　(1-10%)y　万元;  (3)该厂去年的利润为780万元,那么由(1),(2)可得方程　(1+20%)x-(1-10%)y=780　。  把分析的信息用表格表示如下表 设前年的总收入为x万元,总支出为y万元, 则有 总收入/万元总支出/万元利润/万元前年xy200去年(1+20%)x(1-10%)y780根据上表,可以列出方程组　x-y=200,(1+20%)x-(1-10%)y=780　。  解这个方程组,得　x=2000,y=1800　。  因此,前年的总收入为　2 000万元　,总支出为　1 800万元　。  活动2:我来出题 编一道应用题,使得其中的未知数满足方程组: x+y=200,5%·x+45%·y=35%×200。 意图说明 使学生初步学会设计适当的图表,帮助理清题目中的数量关系,从而提高学生分析问题和解决问题的能力。在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能。 探究二　例题讲解 例题 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要? 分析:设每餐需用甲、乙原料各x g,y g.则有 成分甲原料x g乙原料y g所配制的营养品其中所含蛋白质0.5x0.7y35其中所含铁质 x0.4y40 解:设每餐用甲原料x g、乙原料y g, 根据题意,得0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40。解这个方程组,得x=28,y=30。 所以,每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要。 活动3:思考·交流 在列方程组解决问题时,如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会?与同伴进行交流。 意图说明 通过例题让学生由感知表格到认知表格的过程中,再次体验用表格分析问题的方法及一般步骤,先让学生尝试利用表格分析问题,再由教师根据课堂效果及时点拨、引导、师生共同借助表格分析问题,在此基础上教师明晰用表格分析问题的方法。本环节建立表格是本节课的难点,教师组织学生小组合作完成任务,教师在巡视过程中要指导学生通过找关键词,建立表格,梳理信息。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计借助表格解决实际问题 教学反思课标摘录1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 4.建立模型观念。素养目标1.能借用图形、图示解决实际问题。 2.归纳列方程组解决实际问题的一般步骤。 3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会模型观念,发展应用意识。教学重难点重点:能借用图形、图示解决实际问题。 难点:准确分析确定具体情境的等量关系,能正确将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型。教学策略本节课借助多媒体课件,动态演示8块小长方形墙砖拼成大长方形的过程,以及火车进入隧道、在隧道中行驶、驶出隧道的过程,帮助学生更直观地理解问题,突破教学难点。利用线段图直观呈现火车行驶路程与隧道长度、火车长度之间的关系,使抽象的数量关系变得清晰易懂。在解决完两个实际问题后,引导学生总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤,培养学生的归纳总结能力和数学建模思想。让学生分享在解决问题过程中的收获和体会,加深对知识的理解和掌握。情境导入 如图所示,8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少? 问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 问题2:你能列方程组解决这个问题吗? 师生分析:设每块墙砖的长为x cm,宽为y cm,根据题意可得x+y=40,x=3y,解这个方程组可求得x,y的值,即可解题。 解:设每块墙砖的长为x cm,宽为y cm, 则根据题意,得x+y=40,x=3y。 解这个方程组,得x=30,y=10。 答:每块墙砖的长为30 cm,宽为10 cm。新知初探 探究　借助图形、图示解决问题 活动1:火车以40 m/s的速度经过一个隧道,从车头进入隧道到车尾驶出隧道,共用时30 s,其中火车全身都在隧道里的时间是20 s,求隧道和火车的长度。 分析:本题涉及哪些量?你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗?这种情况下,火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系?类似地,对于“火车全身都在隧道里”的情形,相信你也可以得到相应的关系! 解:“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图52、图53表示。 图52 图53 设隧道的长度为x m,火车的长度为y m,根据题意,得x+y=40×30,x-y=40×20。 解这个方程组,得x=1000,y=200。 所以,隧道和火车的长度分别是1 000 m和200 m。 活动2:思考·交流 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴进行交流。 意图说明 生动的情境引入,将学生带入生活中的数学,激发学生学习的兴趣。把这个复杂的图形问题、行程问题进行分解,使解题思路清晰,列出方程,从而顺利地解决这个较复杂问题。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计借助图形、图示解决实际问题 列二元一次方程组解决实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答教学反思课标摘录体会一次函数与二元一次方程的关系。素养目标1.体会一次函数和二元一次方程的关系。 2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组,发展几何直观。 3.发展学生数形结合的意识和能力,使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。教学重难点重点:二元一次方程和一次函数的关系,能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。 难点:数形结合和数学转化的思想意识。教学策略利用动画展示二元一次方程的解在坐标系中动态形成直线的过程,以及一次函数图象随参数变化的情况,直观呈现两者关系,帮助学生理解。把知识拓展延伸到二元一次方程组与一次函数图象交点坐标的关系,引导学生思考如何通过函数图象求解方程组,提升学生知识综合运用能力。情境导入 数学王国举行了家庭聚会,各个成员按照自己所在的家庭就座,这时来了“x+y=5”它应该坐在哪里呢? 投票小活动 二元一次方程　　　一次函数 引出本节课的主题——二元一次方程与一次函数的关系。新知初探 探究　二元一次方程与一次函数的关系 活动1:二元一次方程与一次函数的关系 以方程x+y=5为例,将其变形为一次函数y=-x+5的形式,让学生观察变形过程,总结出一般的转化方法。 (1)方程x+y=5的解有多少个?其中的几个(x=0　y=5,x=2　y=3……)。 (2)x+y=5看成一个一次函数,变成y=kx+b的形式是　y=-x+5　;  (3)画出y=-x+5的图象 x05y=-x+550 追问(1):以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗?(都在) 追问(2):在一次函数y=-x+5的图象上任取一点, 它的坐标适合方程x+y=5吗?(适合) 追问(3):以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗?(相同)归纳总结: 利用多媒体课件展示多个二元一次方程及其对应的一次函数图象,引导学生观察图象上的点与方程的解之间的对应关系,得出结论:二元一次方程的每一组解都对应着一次函数图象上的一个点,反之亦然。 活动2:图象法求解二元一次方程组 利用图象法求解二元一次方程组的原理:方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 以方程组x+y=5,2x-y=1为例,利用消元法,解方程组得出交点坐标(2,3)就是方程组的解x=2,y=3。 活动3:思考·交流 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系?方程组x-y=−1,x-y=2解的情况如何?你发现了什么?与同伴进行交流。 学生分组讨论:二元一次方程的解和相应的两条直线的关系 (1)观察发现直线平行无交点; (2)小组研究计算发现方程组无解; (3)从侧面验证了两直线有交点,对应的方程组有解,反之也成立。 意图说明 由情境引入方程和函数的相关知识,后面才引入课题,设置一个悬念,抓住学生的好奇心。方程和函数、解和有序数对分别呈现在黑板上,左右对照,给学生明确的引导方向去思考方程与函数的关系。独立思考、小组讨论、教师帮助规范语言。再由PPT直观呈现解和图象上的点坐标的对应关系。使学生可以体会到二元一次方程的解和一次函数图像上的点的坐标是一一对应的关系。使学生初步体会“数”(二元一次方程组)与“形”(两条直线)之间的对应关系,为求两条直线的交点坐标打下基础。突出重点,并从中体会数学的转化思想和数形结合思想。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计二元一次方程与一次函数的关系 1.二元一次方程与一次函数的关系　　　　2.图象法求解二元一次方程组 3.小结教学反思课标摘录体会一次函数与二元一次方程的关系。素养目标1.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系。 2.从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。教学重难点重点:掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系。 难点:从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。教学策略本节课先通过创设情境,回顾二元一次方程组与一次函数的关系,从而引入新课。然后用三种不同的方法解决实际问题,通过这样设计,了解解决实际问题时从不同角度思考问题,就会得到不一样的方法,从而拓展自己的思维。接下来,讲解例题,加深用待定系数法确定一次函数表达式的理解,最后,通过一系列的练习来巩固本节课所学的知识点。情境导入 在某地,人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系,下面是蟋蟀1分钟所叫次数与温度变化情况对照表: 蟋蟀1分钟所叫次数…8498119…温度(℃)…151720… (1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗? (2)如果蟋蟀1分钟叫了63次,那么该地当时的温度约为多少?新知初探 探究一　用二元一次方程确定一次函数表达式 活动:A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。假设他们都匀速骑行,则他们各自与A地之间的距离s(单位:km)都是骑行时间t(单位:h)的一次函数。骑行1 h乙距离A地 80 km;骑行2 h甲距离A地30 km。 问:经过多长时间两人相遇?说出你的方法,并与同学们交流。 小亮:可以分别画出两人s与t之间关系的图象,找出两个图象交点的横坐标就行了! 小明:对于乙,s是t的一次函数,可设s=kt+b。当t=0时,s=100;当t=1时,s=80。将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,即可以求出乙的s与t之间的函数表达式为s=-20t+100。同样可以求出甲的s与t之间的关系式,再联立这两个关系式,求解方程组就行了! 答:因为甲为正比例函数,设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30,即30=2k,k=15,所以s=15t。 联立,得s=−20t+100,s=15t,解得s=3007,t=207。 所以,经过207 h后两人相遇。 小颖:骑行1 h乙距离A地80 km,即乙的速度是20 km/h,骑行2 h甲距离A地30 km,即甲的速度是15 km/h,设经过t h后两人相遇,则15t+20t=100, 所以t=207,即经过207 h后两人相遇。探究交流 在以上的解题过程中你受到什么启发? 小亮:用图象法可以解决问题。 小明:用列方程组的方法可以解决问题。 小颖:用一元一次方程的方法可以解决问题。 用画图象的方法可以直观地获得结果,但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果,我们一般用代数方法。 意图说明 通过交流讨论,培养学生独立思考问题、解决问题的能力,培养学生思维的严密性和灵活性。通过实际问题情境,进一步加强函数与方程的联系,让学生体会画图象的方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫,同时也认识到知识之间有着广泛的联系。 探究二　例题讲解 例题 在某汽车客运站,乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李,超过该质量需购买行李票,且行李费y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数。已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元。 (1)写出y与x之间的关系式; (2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李? 解:(1)设y=kx+b,根据题意,得5=60k+b,10=90k+b。 解这个方程组,得k=16,b=−5。 所以y=16x-5。 (2)令y=0时,即16x-5=0,解得x=30; 当x>30时,y>0。 所以,每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。 归纳总结:像这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法。 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤 1.设:用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b。 2.代:将已知条件代入上述表达式中得到关于k,b的二元一次方程组。 3.解:解这个二元一次方程组得k,b。 4.求:代入k,b的值,求出一次函数的表达式。 意图说明 通过对例题的探索,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法;在设计本例题时,考虑到两种基本类型的题目:一种是利用文字提供的信息,一种是利用图象提供的信息。前面已解决了图象信息的题目,本例题主要解决文字信息的题目,进一步强化学生数形结合的思想。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计用二元一次方程组确定一次函数表达式 1.二元一次方程与一次函数的关系 2.图象方法与代数方法各自的特点 3.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤教学反思课标摘录能解三元一次方程组。素养目标1.了解三元一次方程组的概念。 2.会用“消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决。 3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。教学重难点重点:会用“消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决。 难点:在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想。教学策略通过生活中三种货币的总额,构建一个需要用三元一次方程组解决的情境,让学生感受到数学与生活的紧密联系,从而激发学生的学习兴趣和探究欲望。再对比二元一次方程组,引导学生类比思考三元一次方程组的定义,强调“三元”即三个未知数,“一次”指含未知数的项的次数都是1,且方程是整式方程。继续对得到的二元一次方程组进行消元,转化为一元一次方程求解。解出一元一次方程后,再将结果代回二元一次方程组求出另一个未知数,最后将这两个未知数的值代回原三元一次方程组求出第三个未知数。最后总结消元的一般步骤和技巧。情境导入 老师手中有10张面额分别是1元,5元,10元的纸币,共计44元,其中1元的纸币比10元的纸币多2张。你能猜出老师手中有1元,5元,10元的纸币各多少张吗?新知初探 探究一　三元一次方程组 活动1:《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?” 题目大意:有上禾3束,中禾2束,下禾1束,可得米39斗;上禾2束,中禾3束,下禾1束,可得米34斗;上禾1束,中禾2束,下禾3束,可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗? 　　在这个问题中,设每束上禾可得米x斗,每束中禾可得米y斗,每束下禾可得米z斗,根据题意可得方程组:3x+2y+z=39,2x+3y+z=34,x+2y+3z=26。 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系? 观察方程3x+2y+z=39,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26 问题1:它们有什么共同特点? 它们都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1。 问题2:类比二元一次方程,你能说出这三个方程是什么方程吗? 是三元一次方程。 问题3:你能得出什么是三元一次方程组的解吗? 三元一次方程组中各个方程的公共解。 归纳总结: 像这样,共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组。 三元一次方程组必须满足的三个条件: 1.共含有三个不相同的未知数。 2.未知数的项的次数都是1。 3.共有三个一次方程。 注意: 三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数,只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程,就是三元一次方程组。活动2:尝试·思考 1.怎样解上述这个三元一次方程组呢? 2.解二元一次方程组的基本思路是什么?你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗?请你试一试? 意图说明 通过问题情境,使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,强调审题抓住的三个等量关系,从而表示成三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这三个方程联立起来,引出三元一次方程组的概念。 探究二　例题讲解 例题 解方程组:3x+2y+z=39,2x+3y+z=34,x+2y+3z=26。　　①②③ 解:由①得,z=39-3x-2y。　　　　　　　 ④ 把④分别代入②③并化简,得 　　　　　　x-y=5,　　　　　　　 ⑤ 　　　　　　8x+4y=91。　　　　 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得x=374,y=174。 把x=374,y=174代入④,得z=114。 经检验,x=374,y=174,z=114适合原方程组。 所以原方程组的解是x=374,y=174,z=114。 活动3:尝试·交流 (1)在解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数x(或y),从而得到方程组的解吗? (2)你还有其他方法吗?与同伴分享各自的解法,并思考不同方法之间的区别和联系。 活动4:思考·交流 回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程,说说求解三元一次方程组的基本思路,并与同伴进行交流。 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”,再化为“一元”。 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组 意图说明 通过代入消元法和加减消元法解三元一次方程组,使学生理解,解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。同时理解一个问题可以有不同的解决途径。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计三元一次方程组 1.三元一次方程与三元一次方程组的概念　　　　　2.三元一次方程组的解 3.解三元一次方程组的思路教学反思课标摘录1.经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念。 2.能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力。素养目标1.让学生理解并掌握“逐步确定”的问题解决策略,能运用该策略分析和解决实际问题。 2.培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力和有条理的表达能力。 3.激发学生对数学问题的探究兴趣,体会数学在生活中的广泛应用。教学重难点重点:理解“逐步确定”策略的内涵,掌握运用该策略解决问题的步骤。 难点:能根据具体问题情境,灵活运用“逐步确定”策略,找到解决问题的思路。教学策略情境教学法:通过创设生活中的实际问题情境,让学生在具体情境中感受问题,激发学习兴趣。 小组合作法:组织学生小组讨论、合作探究,培养学生的合作能力和交流能力。 启发式教学:在教学过程中,通过提问、引导等方式启发学生思考,帮助学生逐步掌握策略。情境导入 周末,小明一家准备去超市购物,妈妈列了一张购物清单,上面有水果、蔬菜和日用品三类物品。水果有苹果、香蕉、橙子可选;蔬菜有白菜、萝卜、西红柿可选;日用品有牙膏、洗发水、沐浴露可选。妈妈要求小明每种物品只能选一样,且预算有限。那么小明该如何选择才能满足妈妈的要求呢?新知初探 探究　问题解决策略:逐步确定 问题:今有物不知其数:三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?(选自《孙子算经》) 你知道物品最少有多少个吗? 活动1:理解问题 (1)你能用自己的语言叙述一下这个问题吗? (2)所求物品的个数应同时满足哪些条件? 学生活动:学生讨论,交流,寻找解决问题的途径,并得出正确结论。活动2:拟订计划 (1)解决这个问题你有什么困难? (2)怎样逐步满足每个条件呢?写出你的方案,并与同伴进行交流。 师生活动:给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨。 活动3:实施计划 (1)找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数,需要符合三个条件:①除以3余2;②除以5余3;③除以7余2。 (2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,…(A) 在(A)中,符合条件②的正整数有8,23,38,…(B) 在(B)中,符合条件③的正整数有23,… 因此,同时满足三个条件的最小正整数是23。所以,物品最少有23个。 活动4:回顾反思 (1)通过解决上述问题,你对“逐步确定”的策略有怎样的认识? (2)在以往的学习中,还有哪些问题的解决实际上采用了“逐步确定”的策略? 归纳总结: 采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程:根据题意找出问题的解需要满足的各个条件;按照某个顺序,逐步满足这些条件,最终确定问题的解。 意图说明 让学生初步体会“逐步确定”的过程,从简单的问题入手,逐步增加问题的复杂性,帮助学生理解该策略的基本操作方法,培养学生有序思考和全面分析问题的能力。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计☆问题解决策略:逐步确定 1.情境导入　　　　2.问题解答　　　　　3.变式练习　　　4.归纳总结教学反思