2025-2026学年福建省莆田一中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年福建省莆田一中高二（上）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以点A(2,1)为圆心，半径为2的圆的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y−1)2=1B. (x−2)2+(y−1)2=4
C. (x+2)2+(y+1)2=1D. (x+2)2+(y+1)2=4
2.设l1与l2是平面内不重合的直线，甲：l1与l2的斜率相等；乙：l1//l2，则甲是乙的( )
A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件D. 既不充分条件也不必要条件
3.与直线3x−4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( )
A. 3x−4y+5=0B. 3x−4y−5=0C. 3x+4y−5=0D. 3x+4y+5=0
4.已知圆O1：x2+y2=9与圆O2：(x−4)2+(y−3)2=4，则两圆的公切线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若椭圆x225+y2=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为( )
A. 5B. 2C. 7D. 6
6.方程 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=2表示的轨迹是( )
A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
7.若双曲线x2m−y22=1的焦点与椭圆x24+y23=1的长轴端点重合，则m的值为( )
A. 2B. 4C. −2D. −4
8.斜率为1的直线经过抛物线y=14x2的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为( )
A. 8B. 132C. 112D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：3x−y−6=0被圆C：x2+y2−2x−4y=0截得的弦为AB，则( )
A. 半径为5B. 圆心C(1,2)
C. 圆心C到直线距离为 10D. |AB|= 10
10.若椭圆C：x2m2+y23=1上的一个焦点坐标为F(1,0)，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是( )
A. C的短轴长2b=2 3B. 点Q(−2,0)在椭圆上
C. C的离心率为13D. |PF|≤1+ 3
11.若直线l1：x−y−5=0，l2：Ax−By+3=0，l3：Ax+2y+1=0，且l1//l2，l1⊥l3，则( )
A. A=−2B. B=2
C. l1，l2之间的距离为13 24D. l2，l3的交点坐标为(−1,12)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线y=kx倾斜角为135°，且过点P( 3,a)，则a=______．
13.已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，点M在双曲线E上，|F1F2|：|F2M|：|F1M|=2：3：4，则双曲线E的离心率为______．
14.已知椭圆C：x29+y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)b=1，c= 15，焦点在y轴上；
(2)经过点P(−2 3,0)，Q(0,2)两点．
16.(本小题12分)
已知直线l经过点(1,6)和点(8,−8)．
(1)求直线l的截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
17.(本小题12分)
已知双曲线6x2−4y2=24，F1，F2为双曲线的左、右焦点．
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)设点Q(x,y)是C1上第一象限内的点，QF1⋅QF2=4，求x的值．
18.(本小题12分)
已知两直线l1：x−y−1=0，l2：x+y−5=0．
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；
(2)已知两点A(−1,1)，B(0,2)，
①判断直线l1与以A，B为直径的圆D的位置关系；
②动点P在直线l1运动，求|PA|+|PB|的最小值．
19.(本小题12分)
如图，已知点P(2,4)，圆O：x2+y2=4．
(1)求过点P且与圆O相切的直线方程；
(2)设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B．
①设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，求证：k1+k2为定值；
②设AB的中点为M，点N(1,0)，当|MN|= 102|OM|，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：以点(2,1)为圆心且半径为2的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=4．
故选：B．
利用圆的标准方程写出结果即可．
本题考查圆的标准方程的求法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，即充分性成立；
若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，必要性不成立；
甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
由已知结合直线平行的斜率关系检验充分及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查点、直线间的对称问题，属于基础题．
设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可．
【解答】
解：设所求对称直线上的点的坐标(x,y)，
关于x轴的对称点的坐标(x,−y)在已知的直线上，
所以所求对称直线方程为：3x+4y+5=0．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：因为圆O2：(x−4)2+(y−3)2=4的圆心O2(4,3)，半径r2=2，
圆O1：x2+y2=9的圆心O1(0,0)，半径r1=3，
则两圆的圆心距为d= (4−0)2+(3−0)2=5，又r1+r2=3+2=5，
则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切，
所以有3条公切线．
故选：C．
求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数．
本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：椭圆x225+y2=1，
则a2=25，解得a=5，
点P到椭圆一个焦点的距离为3；
则得到另一个焦点的距离为2a−3=7．
故选：C．
根据给定条件，利用椭圆的定义求解．
本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵ (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=2，
∴方程可表示平面内点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1,0)的距离之和为2的图形，
此时|PA|+|PB|=|AB|，
∴方程 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=2表示的轨迹是线段AB，
故选：A．
根据代数式的几何意义求解即可．
本题主要考查代数式的几何意义，椭圆的定义与区别，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由x2m−y22=1表示双曲线，则m>0，其焦点坐标为(± m+2,0)，
易知椭圆x24+y23=1的长轴端点即其左右顶点坐标为(±2,0)，
若双曲线x2m−y22=1的焦点与椭圆x24+y23=1的长轴端点重合，
则(± m+2,0)与(±2,0)重合，即 m+2=2⇒m=2．
故选：A．
利用椭圆与双曲线的性质计算即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得抛物线方程为x2=4y，
则焦点坐标为(0,1)，
则直线AB方程为y=x+1，
联立y=14x2y=x+1，
消x可得：y2−6y+1=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=6，
即线段AB的长为y1+y2+2=8．
故选：A．
由抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系求解．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：圆C的方程化为标准方程，可得(x−1)2+(y−2)2=5，
所以圆心为C(1,2)，半径r= 5，可知A选项错误，B选项正确；
根据点到直线的距离公式，
可知C到直线3x−y−6=0的距离d=|3−2−6| 9+1= 102，故C选项错误；
根据圆的弦长公式，可知|AB|=2 r2−d2=2 5−52= 10，故D选项正确．
故选：BD．
根据题意，将圆C的方程化简为标准方程，可判断出A、B两项的正误；然后根据点到直线距离公式，结合圆的弦长公式对C、D两项作出判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
10.【答案】AB
【解析】解：椭圆C：x2m2+y23=1上的一个焦点坐标为F(1,0)，所以m2−3=1，解得m=2或m=−2，所以椭圆C的方程为x24+y23=1，
短轴长为2 3，点P(−2,0)在椭圆上，离心率e=12，焦半径|PF|≤a+c=3．
故选：AB．
利用椭圆的焦点坐标，综合求解选项的数据，判断正误即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查两条平行直线间的距离，两条直线间的位置关系．
通过直线的位置关系列方程求解A,B即可判断AB，代入两平行直线距离计算公式判断C，联立直线方程求得交点坐标判断D．
【解答】
解：由l1//l2及l1⊥l3得1×−B=A×−11×A−1×2=0，解得A=B=2，故选项 A错误，B正确；
则l2：2x−2y+3=0，l3：2x+2y+1=0，又l1：x−y−5=0即2x−2y−10=0，
所以l1，l2之间的距离为−10−3 22+22=13 24.故选项C正确；
由2x−2y+3=02x+2y+1=0得x=−1y=12，所以l2，l3的交点坐标为−1,12，故选项 D正确．
故选：BCD
12.【答案】− 3
【解析】解：由直线y=kx倾斜角为135°，
可知k=tan135°=−1，则y=−x，由直线过点P，则得a=− 3．
故答案为：− 3．
由题意求得k，把点P坐标代入即可求解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为|F1F2|：|F2M|：|F1M|=2：3：4，|F1F2|=2c，
所以|F1M|=4c，|F2M|=3c，
又由双曲线的定义，2a=|F1M|−|F2M|=4c−3c=c，
所以双曲线E的离心率e=ca=2．
故答案为：2．
由|F1F2|：|F2M|：|F1M|=2：3：4得|F1F2|=2c，|F2M|=3c，|F1M|=4c，根据双曲线的定义得c=2a，结合离心率的概念即可求解．
本题主要考查求双曲线的定义和离心率，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：由题意可得：a=3，b=2，
则c= a2−b2= 5，
因为点P在椭圆C上，可得|PF1|+|PF2|=6，
又由∠F1PF2=90°，
可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2 5)2=20．
联立方程组|PF1|+|PF2|=6|PF1|2+|PF2|2=20，
可得|PF1||PF2|=8，
所以△F1PF2的面积为S=12|PF1||PF2|=4．
故答案为：4．
根据题意，由椭圆的定义，得到|PF1|+|PF2|=6，再由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=20，联立方程组，求得|PF1||PF2|=8，结合三角形的面积公式，即可求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题．
15.【答案】y216+x2=1；
x212+y24=1
【解析】(1)因为b=1，c= 15，所以a2=b2+c2=16，
因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：y216+x2=1；
(2)由题意得P是椭圆长轴端点，Q是短轴端点，
所以a=2 3，b=2，
所以椭圆的标准方程为x212+y24=1．
(1)根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程．
(2)根据与两条坐标轴的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解．
本题主要考查求椭圆的标准方程，属于基础题．
16.【答案】x4+y8=1；
16
【解析】(1)由直线l经过点(1,6)和点(8,−8)，
得直线l的两点式方程为y−6−8−6=x−18−1，
即y−6−14=x−17，
整理得2x+y=8．
所以截距式方程为x4+y8=1．
(2)由(1)知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，
所以围成的图形的面积为12×4×8=16．
(1)根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式；
(2)由(1)得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积．
本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
17.【答案】顶点坐标为(−2,0)，(2,0)；焦点坐标F1(− 10,0)，F2( 10,0)；离心率为 102；渐近线方程y=± 62x；
x=2 2
【解析】(1)由题意得6x2−4y2=24⇒x24−y26=1，
可得a=2，b= 6，c= 10，
故顶点坐标为(−2,0)，(2,0)，
又F1，F2为双曲线的左、右焦点，
故焦点坐标F1(− 10,0)，F2( 10,0)，
离心率为e=ca= 102，渐近线为y=± 62x；
(2)设Q(x,y)，则y2=6(x24−1)，
∵点Q在第一象限，∴x>2，且F1(− 10,0)，F2( 10,0)，
∴QF1⋅QF2=(− 10−x,−y)⋅( 10−x,−y)=x2−10+y2=52x2−16=4，
解得x=2 2，
∴x=2 2．
(1)先把双曲线方程变形为标准方程，可得a，b，c，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值．
本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】4x−3y−6=0．
①相离；②2 5
【解析】解：(1)两直线l1：x−y−1=0，l2：x+y−5=0.联立方程x−y−1=0x+y−5=0，解得x=3，y=2；如图，
∵所求直线垂直于直线3x+4y−5=0，∴所求直线的斜率为43，
故所求直线方程为y−2=43(x−3)，即4x−3y−6=0；
(2)①以A(−1,1)、B(0,2)为直径的圆的方程为⊙D：(x+1)x+(y−1)(y−2)=0，
整理得(x+12)2+(y−32)2=12，故该圆的圆心为D(−12,32)，半径为 22，
故圆心到直线l1的距离为|−12−32−1| 2=3 22> 22，
故直线l1与圆D的位置关系为相离．
②设点A(−1,1)关于直线l1对称的点为C(m,n)，
则m−12−n+12−1=0n−1m+1=−1，解得m=2，n=−2，即C(2,−2)；B(0,2)，
则|PA|+|PB|=|PB|+|PC|≥|BC|=2 5，
故|PA|+|PB|的最小值为2 5．
(1)求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
(2)①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点A的对称点，利用两点之间线段最短可求答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
19.【答案】解：(1)由于圆O：x2+y2=4的圆心为( 0,0)，半径等于2，显然有一条切线为x=2．
当切线的斜率存在时，
∵点P(2,4)不在圆O上，
∴切线PT的直线方程可设为y=k(x−2)+4，
根据圆心到切线的距离d等于半径r，可得|−2k+4| 1+k2=2解得k=34，所以圆的切线方程为y=34(x−2)+4，即3x−4y+10=0，
综上可得，圆的切线方程为3x−4y+10=0或x=2．
(2)①联立y=k(x−2)+4x2+y2=4，得(1+k2)x2−4k(k−2)x+(2k−4)2−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以x1+x2=4 k(k−2)1+k2，x1⋅x2=(2k−4)2−41+k2，
k1+k2=y1x1−2+y2x2−2=k(x1−2)+4x1−2+k(x2−2)+4x2−2=2k+4(x1+x2−4)x1x2−2(x2+x1)+4=−1，
即k1+k2的值为定值，且是−1．
②设中点M(x0,y0)，由(2)知x0=x1+x22=2k(k−2)1+k2(*)，代入直线l的方程得y0=−2(k−2)1+k2(**)，
又由|MN|= 102|OM|得(x0−1)2+y02=52(x02+y02)，
化简得3x02+3y02+4x0−2=0，
将(*)、(**)式代入得9k2−32k+23=0 解得k=1或239(因为k为整数，故舍)．
当k=1时，x0=−1，y0=1，即M(−1,1)，
可得MN的中点为(0,12)，MN= (1+1)2+(0−1)2= 5．
故以MN为直径的圆的方程：x2+(y−12)2=54．
【解析】本题主要是考查了直线与圆的位置关系处理的几何法与代数法，利用韦达定理结合题目给的等量关系构造方程或不等式是此类问题常考模式，属于中档题．
(1)由于圆O：x2+y2=4的圆心为( 0,0)，半径等于2，显然有一条切线为x=2；当切线的斜率存在时，用点斜式设出直线方程，根据圆心到切线的距离d=半径r，求出斜率的值，即可求得圆的切线方程．
(2)①联立直线l与圆的方程，一直化简到韦达定理，然后将k1与k2坐标化，将韦达定理代入化简即可；
②设中点M(x0,y0)，可得x0=2k(k−2)1+k2，y0=−2(k−2)1+k2，利用|MN|= 102|OM|求得k的值，进而得M的坐标，然后求出圆心坐标、半径即可．