2025-2026学年福建省莆田一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年福建省莆田一中高二（上）开学数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以点A(2,1)为圆心，半径为2的圆的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y−1)2=1B. (x−2)2+(y−1)2=4
C. (x+2)2+(y+1)2=1D. (x+2)2+(y+1)2=4
2.设l1与l2是平面内不重合的直线，甲：l1与l2的斜率相等；乙：l1//l2，则甲是乙的( )
A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件D. 既不充分条件也不必要条件
3.与直线3x−4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( )
A. 3x−4y+5=0B. 3x−4y−5=0C. 3x+4y−5=0D. 3x+4y+5=0
4.已知圆O1：x2+y2=9与圆O2：(x−4)2+(y−3)2=4，则两圆的公切线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若椭圆x225+y2=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为( )
A. 5B. 2C. 7D. 6
6.方程 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=2表示的轨迹是( )
A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
7.若双曲线x2m−y22=1的焦点与椭圆x24+y23=1的长轴端点重合，则m的值为( )
A. 2B. 4C. −2D. −4
8.斜率为1的直线经过抛物线y=14x2的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为( )
A. 8B. 132C. 112D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：3x−y−6=0被圆C：x2+y2−2x−4y=0截得的弦为AB，则( )
A. 半径为5B. 圆心C(1,2)
C. 圆心C到直线距离为 10D. |AB|= 10
10.若椭圆C：x2m2+y23=1上的一个焦点坐标为F(1,0)，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是( )
A. C的短轴长2b=2 3B. 点Q(−2,0)在椭圆上
C. C的离心率为13D. |PF|≤1+ 3
11.若直线l1：x−y−5=0，l2：Ax−By+3=0，l3：Ax+2y+1=0，且l1//l2，l1⊥l3，则( )
A. A=−2B. B=2
C. l1，l2之间的距离为13 24D. l2，l3的交点坐标为(−1,12)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线y=kx倾斜角为135°，且过点P( 3,a)，则a=______．
13.已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，点M在双曲线E上，|F1F2|：|F2M|：|F1M|=2：3：4，则双曲线E的离心率为______．
14.已知椭圆C：x29+y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)b=1，c= 15，焦点在y轴上；
(2)经过点P(−2 3,0)，Q(0,2)两点．
16.(本小题15分)
已知直线l经过点(1,6)和点(8,−8)．
(1)求直线l的截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
17.(本小题15分)
已知双曲线6x2−4y2=24，F1，F2为双曲线的左、右焦点．
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)设点Q(x,y)是C1上第一象限内的点，QF1⋅QF2=4，求x的值．
18.(本小题17分)
已知两直线l1：x−y−1=0，l2：x+y−5=0．
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；
(2)已知两点A(−1,1)，B(0,2)，
①判断直线l1与以A，B为直径的圆D的位置关系；
②动点P在直线l1运动，求|PA|+|PB|的最小值．
19.(本小题17分)
如图，已知点P(2,4)，圆O：x2+y2=4．
(1)求过点P且与圆O相切的直线方程；
(2)设圆O与x轴的正半轴的交点是Q，斜率为k的直线l过点P，且与圆O交于不同的两点A，B．
①设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，求证：k1+k2为定值；
②设AB的中点为M，点N(1,0)，当|MN|= 102|OM|，且k为整数时，求以MN为直径的圆的方程．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.C
6.A
7.A
8.A
9.BD
10.AB
11.BCD
12.− 3
13.2
14.4
15.y216+x2=1；
x212+y24=1
16.x4+y8=1；
16
17.顶点坐标为(−2,0)，(2,0)；焦点坐标F1(− 10,0)，F2( 10,0)；离心率为 102；渐近线方程y=± 62x；
x=2 2
18.4x−3y−6=0．
①相离；②2 5
19.解：(1)由于圆O：x2+y2=4的圆心为( 0,0)，半径等于2，显然有一条切线为x=2．
当切线的斜率存在时，
∵点P(2,4)不在圆O上，
∴切线PT的直线方程可设为y=k(x−2)+4，
根据圆心到切线的距离d等于半径r，可得|−2k+4| 1+k2=2解得k=34，所以圆的切线方程为y=34(x−2)+4，即3x−4y+10=0，
综上可得，圆的切线方程为3x−4y+10=0或x=2．
(2)①联立y=k(x−2)+4x2+y2=4，得(1+k2)x2−4k(k−2)x+(2k−4)2−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以x1+x2=4 k(k−2)1+k2，x1⋅x2=(2k−4)2−41+k2，
k1+k2=y1x1−2+y2x2−2=k(x1−2)+4x1−2+k(x2−2)+4x2−2=2k+4(x1+x2−4)x1x2−2(x2+x1)+4=−1，
即k1+k2的值为定值，且是−1．
②设中点M(x0,y0)，由(2)知x0=x1+x22=2k(k−2)1+k2(∗)，代入直线l的方程得y0=−2(k−2)1+k2(∗∗)，
又由|MN|= 102|OM|得(x0−1)2+y02=52(x02+y02)，
化简得3x02+3y02+4x0−2=0，
将(∗)、(∗∗)式代入得9k2−32k+23=0 解得k=1或239(因为k为整数，故舍)．
当k=1时，x0=−1，y0=1，即M(−1,1)，
可得MN的中点为(0,12)，MN= (1+1)2+(0−1)2= 5．
故以MN为直径的圆的方程：x2+(y−12)2=54．