吉林省白城市实验高级中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份吉林省白城市实验高级中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 s(单位：cm)和时间 t(单位：s)的函数关系式为 s＝2sin(ωt＋φ)，其中 ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 s0(－21D. p：a>b，q： ?>
已知 α 满足 sin α>0，tan α0 有解，则 a 的取值范围是()
A. {a|a1}C. {a|a4}
22
二、多项选择题（本大题共 3 小题.每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.）
下列命题中，正确的是( )
幂函数 y＝x－1 是奇函数B. 幂函数 y＝x2 是偶函数
1
C. 幂函数 y＝x 既是奇函数又是偶函数 D. y＝?2既不是奇函数，又不是偶函数
如图，从 1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动， 而一条移动路线由若干次移动构成， 如从 1 移动到 9 ， 1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从 1 移动到数字?(? = 2,3, ⋅⋅⋅ ,9)的不同路线条数记为??，从 1 移动到 9 的事件中，跳过数字?(? = 2,3, ⋅⋅⋅ ,8)的概率记为??，则下列结论正确的是（ ）
?6
= 8B. ?
9
?+1
> ??
?5 = 34
?7
> ?8
11.如图所示，四边形????为梯形，其中??//??，?? = 2??，?，?分别为??，??的中点，则下列结论正确的是()
A.
→
??
→
= ??
1 →
2??
→
B.
??
1 →
2??
1 →
4??
→
C.
??
→
= ??
1 →
4??
→
D.
??
→
= ??
1 →
2??
+
=
+
―
+
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生 30 人，其平
均数和方差分别为 x  52, s2  13 ；抽取男生 20 人，其平均数和方差分别为 y  57, s2  11 ，
12
则总样本平均数为；总样本的方差为.
→→→→→
已知向量a, b 共线，且 a  2 b  2 ，则 a  b  ．
下列函数表达式中， 对数函数的个数有.① y  lgx 2 ； ② y  lga x a  R ； ③
y  lg8 x ；④ y  lnx ；⑤ y  lgx  x  2 ；⑥ y  2 lg4 x ；⑦ y  lg2  x 1 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
已知函数 f  x  4 sin  ωx  π  cs ωx 在 x  π 处取得最值，其中ω 0, 2 ．
4 4

求函数 f  x 的最小正周期；
将函数 f  x 的图象向左平移 π
36
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
2
3 倍，纵坐标不变，得到函数 y  g  x 的图象，若α 为锐角， g α   4 
3
，求cs α ．
某次考试后，年级组抽取了 100 名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．
根据图中数据计算参数a 的值，并估算这 100 名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；
已知这 100 名同学中，成绩位于80, 90 内的同学成绩方差为 12，成绩位于90,100 内的同学成绩方差为 10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在 80 分及以上的同学的成绩的平均数和方差．
3
某市政广场有一块矩形绿地，如图， AB  200 米， AD  100
米.为了满足通行及市民
休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在 AB 的中点 G 处，分别向 AD, BC
边修两条互相垂直的小路GE, GF ，再修建小路 EF ，设∠??? = ?.
试将△ GEF 的周长 l 表示成关于?的函数关系式，并求出定义域；
根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为 500 米，求此时sin ?的
值.
 3
18.（1）计算： ( 3 4) 2  (lg 5)2  lg 2 lg 5  lg 2  eln2 ；
（2）已知： 1 2 sin θ cs θ  3 ，求tan θ .
cs2 θ  sin2 θ
19.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有

 1 , x  p ( p, q  N , p 为既约真分数)

广泛的应用，黎曼函数定义在0,1上， R  x  qq q．

0, x  0或1或0,1内的无理数
3
（1）求 R  1  ， R  2  ， R  ；
 3 
 3 
 3 
  
请用描述法写出满足方程 R  x  x, (x  0) 的解集；
解不等式 R  x  1 x  1 ；
55
白城一中 2025 级高三开学考试数学试卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 s(单位：cm)和时间 t(单位：s)的函数关系式为 s＝2sin(ωt＋φ)，其中 ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 s0(－21D. p：a>b，q： ?>
【答案】A
【解析】根据充分条件的概念逐一判断．
A 项，∵ab≠0，∴ a≠0 且 b≠0，∴ p 是 q 的充分条件；
B 项，当 a=-1，b=-2 时，满足 a2＋b2≥0，但不满足 a≥0 且 b≥0, ∴ p 不是 q 的充分条件；
C 项，当 x=-2 时，满足 x2>1，但不满足 x>1，∴ p 不是 q 的充分条件；
D 项，当 a=-1，b=-2 时，满足 a>b，但 ?> ?无意义，∴ p 不是 q 的充分条件.
已知 α 满足 sin α>0，tan α0，tan α0 可化为 a>－x＋5，因为 y＝－x＋5为减函数，
??
所以当 x＝2 时，－x＋5有最小值1，所以 a 的取值范围是 a>1.故选 B.
?22
二、多项选择题（本大题共 3 小题.每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.）
下列命题中，正确的是( )
幂函数 y＝x－1 是奇函数B. 幂函数 y＝x2 是偶函数
1
C. 幂函数 y＝x 既是奇函数又是偶函数D. y＝?2既不是奇函数，又不是偶函数
【答案】ABD
【解析】因为 x－1＝1， 1 ＝－1，所以 A 正确；(－x)2＝x2，所以 B 正确；－x＝x 不恒成立，
?―??
1
所以 C 不正确；y＝?2的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以 D 正确．
如图，从 1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动， 而一条移动路线由若干次移动构成， 如从 1 移动到 9 ， 1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从 1 移动到数字?(? = 2,3, ⋅⋅⋅ ,9)的不同路线条数记为??，从 1 移动到 9 的事件中，跳过数字?(? = 2,3, ⋅⋅⋅ ,8)的概率记为??，则下列结论正确的是（ ）
?6
= 8B. ?
9
?+1
> ??
?5 = 34
?7
> ?8
【答案】ABC
【解析】画出树状图，结合图形
结合树状图可知：?2 = 1,?3 = 2,?4 = 3,?5 = 5,?6 = 8,?7 = 13,?8 = 21,?9 = 34，对于选项 A：可知?6 = 8，故 A 正确；
对于选项 B： 均有??+1 > ??，故 B 正确；
对于选项 C：因为?9
= 34，不经过数字 5 的路线有 9 条，所以?5
= 9 ，故 C 正确；
7
34
对于选项 D：因为?7
故选：ABC.
= 8 ?
,
8
34
= 13，所以? 34
< ?8，故 D 错误.
11.如图所示，四边形????为梯形，其中??//??，?? = 2??，?，?分别为??，??的中点，则下列结论正确的是()
A.
→
??
→
= ??
1 →
+
2??
→
B.
??
1 →
=
2??
1 →
+
4??
→
C.
??
→
= ??
1 →
―
4??
→
D.
??
→
= ??
1 →
+
2??
【答案】AC
??
【解析】A 选项： →
→
= ??
→
+ ??
→
= ??
+ 1 → ，A 选项正确；
??
2
B 选项： → = →
+ → = 1 →
→→
1
2
+=
→+ → = 1 →
+ 1 → ，B 选项错误；
??
??
??
2??
??
?? + ??
??
2??
2??
C 选项：
→
??
→
= ??
→
+ ??
→
+ ??
1 →
= ―
2??
→
+ ??
1 →
+
4??
→
= ??
― 1 → ，C 选项正确；
??
4
D 选项：
→
??
故选：AC.
→
= ??
→
+ ??
→
+ ??
→
= ― ??
→
+ ??
1 →
+
2??
→
= ??
― 1 → ，D 选项错误.
??
2
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生 30 人，其平
均数和方差分别为 x  52, s2  13 ；抽取男生 20 人，其平均数和方差分别为 y  57, s2  11 ，
12
则总样本平均数为；总样本的方差为.
【答案】5491
5
【解析】设 z , s2 分别为总样本均值和方差，
则 z  30 x  20 y  30  52  20  57  54 ，
50505050

s2  30 13  (52  54)2   20 11 (57  54)2   91  18.2 ，
50505
故答案为： 54 ； 91 .
5
→→→→→
已知向量a, b 共线，且 a  2 b  2 ，则 a  b  ．
【答案】1或3
→→
【解析】由向量a, b 共线，故向量a, b 可能同向、可能反向，
→→→→→→→
当向量a, b 同向时，由 a  2 b  2 ，则 a  b  2b  b  3 ，
→→→→→→→
当向量a, b 反向时，由 a  2 b  2 ，则 a  b  2b  b  1.
→→
即 a  b 可能为1或3 .
故答案为：1或3 .
下列函数表达式中， 对数函数的个数有.① y  lgx 2 ； ② y  lga x a  R ； ③
y  lg8 x ；④ y  lnx ；⑤ y  lgx  x  2 ；⑥ y  2 lg4 x ；⑦ y  lg2  x 1 .
【答案】3
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数a  R 不能保证a  0 ，且a  1，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为 x  2 ，  x 1 ，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中 y  2 lg4 x  lg2 x ，⑥是对数函数；
同时③④符合对数函数的定义．故答案为：3．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
已知函数 f  x  4 sin  ωx  π  cs ωx 在 x  π 处取得最值，其中ω 0, 2 ．
4 4

求函数 f  x 的最小正周期；
将函数 f  x 的图象向左平移 π
36
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
2
3 倍，纵坐标不变，得到函数 y  g  x 的图象，若α 为锐角， g α   4 
3
，求cs α ．
1π
【答案】解：（ ）?(?) = 4sin (?? ― 4)cs ??
= 4π
π cs ?? = 2
sin ? xcs ?? ―2
cs2 ?? =
sin 2?? ―
2
sin ? xcs 4 ― cs ? xsin 4
(1 + cs 2??) = 2(sin 2?? ― cs 2??) ―
2
2
2
π
2
.
= 2sin (2?? ― 4) ― 2
π
因为?(?)在? = 4处取得最值，
πππ
所以2? ⋅ 4 ― 4 = ?π + 2，? ∈ ?，
化简得? = 2? + 3，
2
又? ∈ (0,2)，当? = 0时，? = 3．
2
π2π
则?(?) = 2sin (3? ― 4) ― 2，最小正周期? = 3 ．
2ππ
（ ）将?(?) = 2sin (3? ― ) ― 2的图象向左平移个单位，
436
πππ
2
得到ℎ(?) = 2sin [3(? + 36) ― 4] ―= 2sin (3? ― 6) ― 2．
π
再将ℎ(?)图象上各点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到?(?) = 2sin (? ― 6) ― 2．
2
π
4
因为?(?) = 2sin (? ― 6) ―= 3 ― 2，
π2
所以sin (? ― 6) = 3．
ππππ
因为?为锐角，即0 < ? < 2，所以― 6 < ? ― 6 < 3，
π
则cs (? ― 6) =
2
1 ― ( )2
3
= 5． 3
ππππ
ππ5
321
15―2
所以cs ? = cs [(? ― 6) + 6] = cs (? ― 6)cs 6 ― sin (? ― 6)sin 6 = 3 × 2 ― 3 × 2 =6 ．
某次考试后，年级组抽取了 100 名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．
(1)根据图中数据计算参数a 的值，并估算这 100 名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；
(2)已知这 100 名同学中，成绩位于80, 90 内的同学成绩方差为 12，成绩位于90,100 内的同学成绩方差为 10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在 80 分及以上的同学的
成绩的平均数和方差．
【答案】解(1)依题意， 20a  30a  70a  60a  20a  1 ，得a 
各组的频率依次为0.1, 0.15, 0.35, 0.3, 0.1，
1 ，
200
平均数为0.1 55  0.15 65  0.35 75  0.3 85  0.1 95  76.50 分，
中位数为70 10  0.25  77.14 分．
0.35
(2)分数在80, 90 区间内的人数为100  0.3  30 ，分数在90,100 区间内的人数为100  0.1  10 ，
所以成绩在 80 分及以上的同学的成绩的平均数为 30  85 10  95  87.5 分，
30 10
30  12  87.5  852  10  10  87.5  952 
方差为  30.25 .
30 10
3
某市政广场有一块矩形绿地，如图， AB  200 米， AD  100
米.为了满足通行及市民
休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在 AB 的中点 G 处，分别向 AD, BC边修两条互相垂直的小路GE, GF ，再修建小路 EF ，设∠??? = ?.
试将△ GEF 的周长 l 表示成关于?的函数关系式，并求出定义域；
根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为 500 米，求此时sin ?的值.
【答案】解：（1）在Rt △ ???中，?? = 100，∠??? = ?，则?? = 100 .
cs ?
在Rt △ ???中，π，，则?? = 100 .
∠??? = 2 ―?
?? = 100
sin ?
?? =
=100.
??2 + ??2
sin ?cs ?
所以? = ?? + ?? + ?? = 100 + 100 +100
= 100(sin ?+cs ?+1).
cs ?sin ?sin ?cs ?
sin ?cs ?
因为??，??分别向??，??边修建，所以π .
? ∈ (0,2)
3
6
当点 F 在 D 处时，?最大，此时? = π，当点 E 在 C 处时，?最小，此时? = π，
6,3
故定义域为[π π].
（2）已知三条小路总长为500米，即? = 500，则100(sin ?+cs ?+1) = 500.
sin ?cs ?
π
设? = sin ? + cs ? = 2sin (? + 4)，? ∈ (1, 2]，
两边平方得?2 = 1 + 2sin ?cs ?，sin ?cs ? = ?2―1.
2
100(?+1)
2(?+1)27
原方程化为
2
? ―1
2
= 500，即
?2―1
= 5，
?―1
= 5，解得? = .
5
由? = sin ? + cs ? = 7，sin2 ? + cs2 ? = 1，
5
联立可得25sin2 ? ― 35sin ? + 12 = 0.
即(5sin ? ― 3)(5sin ? ― 4) = 0，
解得sin ? = 3或sin ? = 4.
55
 3
18.（1）计算： ( 3 4) 2  (lg 5)2  lg 2 lg 5  lg 2  eln2 ；
（2）已知： 1 2 sin θ cs θ  3 ，求tan θ .
cs2 θ  sin2 θ
【答案】解：（1）原式 =+ lg 5 + lg 2 += 1 + lg 5 + lg 2 + 1 = 2.
41
232222
（2）因为1+2sin ?cs ? = ―3，且cs ? ≠ 0，
cs2 ?―sin2 ?
2
分子分母同除以2 ?得1+tan ?+2tan ? = ―3.
cs
1―tan2 ?
整理得tan2 ? ― tan ? ― 2 = 0，
因式分解为(tan ? ― 2)(tan ? + 1) = 0，解得tan ? = 2或tan ? = ―1.
又cs2 ? ― sin2 ? ≠ 0，即tan2 ? ≠ 1，舍去tan ? = ―1，所以tan ? = 2.
19.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有

 1 , x  p ( p, q  N , p 为既约真分数)

广泛的应用，黎曼函数定义在0,1上， R  x  qq q．

0, x  0或1或0,1内的无理数
3
（1）求 R  1  ， R  2  ， R  ；
 3 
 3 
 3 
  
请用描述法写出满足方程 R  x  x, (x  0) 的解集；
解不等式 R  x  1 x  1 ；
55
【答案】解：（1）根据黎曼函数?(?)的定义：
当? = 1时，1是既约真分数，
33
1
所以?() = 1；
33
当? = 2时，2是既约真分数，
33
2
所以?() = 1；
33
当? = 3， 3是(0,1)内的无理数，
33
所以?( 3) = 0.
3
（2）已知? ≠ 0，分情况讨论：
当? = 1时，?(1) = 0，方程?(?) = ?即0 = 1，无解.
当?为(0,1)内的无理数时，?(?) = 0，
方程?(?) = ?即0 = ?（?为非零无理数），无解.
??1
当? = ?（?,? ∈ ?+，?为既约真分数）时，?(?) = ?.
1?
由?(?) = ?，可得? = ?，即? = 1，
?
所以? = 1（?为大于1的正整数）.
1
所以方程?(?) = ?（? ≠ 0）的解集为{?|? = ?,? ∈ ?+,? > 1}.
311
（ ）分情况讨论不等式?(?) >
? + ：
55
当? = 0或? = 1或?为(0,1)内的无理数时，?(?) = 0.
此时1
5
? + 1
5
> 0，不满足?(?) >
1? + 1.
55
??1
当? = ?（?,? ∈ ?+，?为既约真分数）时，?(?) = ?.
由11，即11 ?1.
?(?) > ? +
55
? > 5 ⋅ ? + 5
两边同乘5?得5 > ? + ?.
?
因为?,? ∈ ?+且?为既约真分数，
满足? + ? < 5的有 ? = 1,? = 2，即? = 1，? = 1.
? = 1,? = 323
{ , }
所以不等式?(?) > 1? + 1的解集为 1 1 .
552 3