吉林省白城实验高级中学2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省白城实验高级中学2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）将函数f（x）＝sin2x图象上的所有点向右平移个单位（x）的图象，则g（x）（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2csα的值等于（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
3．（5分）函数f（x）＝+lgx的定义域是（ ）
A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（0，1）D．（1，+∞）
4．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线（ ）
A．0B．1C．2D．4
5．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}（ ）
A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}
6．（5分）设x＞0，且1＜bx＜ax，则（ ）
A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b
7．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2}
8．（5分）函数y＝2sin（x+）的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．﹣4πD．4π
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）若a＞b＞0，c∈R，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．＜B．ac2＞bc2C．＜D．a+＞b+
（多选）10．（5分）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费（ ）
A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
11．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实根（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1]
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列判断中错误的是（ ）
A．f（x）的值域为（0，+∞）
B．f（x）的图象与直线y＝2有两个交点
C．f（x）是单调函数
D．f（x）是偶函数
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知角α的终边过点P（5，a），且，则sinα+csα的值为 ．
14．（5分）已知cs（α﹣β）csα+sin（α﹣β）sinα＝m，则sinβ＝ ．
15．（5分）已知函数，则f（x）的单调递增区间是 ．
16．（5分）若a＞0，b＞0，则+b的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．证明：
（1）lgab•lgbc•lgca＝1；
（2）．
18．某大学要修建一个面积为216m2的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路（如图所示）．问如何设计景观水池的边长
19．已知，且cs（α﹣β）＝，sin（α+β），求cs2α的值．
20．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈．图中OA与地面垂直，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h．
（1）求h与θ的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t的函数解析式．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c满足以下条件：
（1）该函数图象过原点；
（2）当x＝﹣1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
（3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4．
求当x＝﹣2时，y的取值范围．
22．已知在△ABC中，sinA+csA＝．
（1）求sinA•csA；
（2）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
（3）求tanA的值．
2024-2025学年吉林省白城实验高级中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）将函数f（x）＝sin2x图象上的所有点向右平移个单位（x）的图象，则g（x）（ ）
A．B．C．D．
【分析】先确定g（x）解析式，再求其对称轴，即可判断．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x图象上的所有点向右平移个单位，
得到函数g（x）的图象，g（x）＝sin7（x﹣），
令7x﹣＝kπ+，x＝，k∈Z，
令k＝﹣1，x＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数性质，属于基础题．
2．（5分）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2csα的值等于（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】由题意可得 x＝﹣3a，y＝4a，r＝﹣5a，可得 sinα＝ 及csα＝ 的值，从而得到 sinα+2csα的值．
【解答】解：∵a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，∴x＝﹣3a，r＝﹣5a，
∴sinα＝＝﹣＝，∴sinα+2csα＝，
故选：A．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出 sinα 和csα 的值，是解题的关键．
3．（5分）函数f（x）＝+lgx的定义域是（ ）
A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（0，1）D．（1，+∞）
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】解：由解，得x＞0且x≠1．
∴函数f（x）＝+lgx的定义域是（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
4．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线（ ）
A．0B．1C．2D．4
【分析】先根据诱导公式进行化简，再由x的范围求出的范围，再由正弦函数的图象可得到答案．
【解答】解：原函数可化为：y＝cs（）（x∈[0，x∈[4．
当x∈[0，2π]时，，π]，
与直线y＝的交点个数是3个．
故选：C．
【点评】本小题主要考查三角函数图象的性质问题．
5．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}（ ）
A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}
【分析】化简集合B，根据交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|2＜x＜4}，集合B＝{x|（x﹣7）（x﹣3）＜0}＝{x|2＜x＜3}，
所以A∩B＝{x|2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
6．（5分）设x＞0，且1＜bx＜ax，则（ ）
A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b
【分析】由已知结合幂函数的单调性得答案．
【解答】解：∵x＞0，且1＜bx＜ax，
∴5＜b＜a，
故选：C．
【点评】本题考查幂函数的单调性，是基础题．
7．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2}
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|﹣5＜x3＜6}，B＝{﹣3，0，7，3}，
（﹣3）4＝﹣27，（﹣1）3＝﹣4，03＝8，23＝2，33＝27，
则A∩B＝{﹣5，0}．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
8．（5分）函数y＝2sin（x+）的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．﹣4πD．4π
【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）的周期等于 T＝，计算求得结果．
【解答】解：函数y＝2sin（x+＝4π，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y＝Asin（ωx+φ）的周期等于 T＝，属于基础题．
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）若a＞b＞0，c∈R，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．＜B．ac2＞bc2C．＜D．a+＞b+
【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴＝＜0，∴，
对于B，当c＝0时2＝bc4，故B错误，
对于C，∵a＞b＞0，∴＝＝＜0，∴，
对于D，举例a＝，满足a＞b＞5＝，b+＝，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费（ ）
A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【分析】根据已知条件，依次求出分段函数，再结合分段函数，即可求解．
【解答】解：当0＜x≤3时，f（x）＝7+1＝9，
当7＜x≤8时，f（x）＝8+6+（x﹣3）×2.15＝4.15x+2.55，
当x＞8时，f（x）＝3+1+5×3.15+（x﹣8）×2.85＝3.85x﹣3.05，
对于A，当x＝4时，故A错误，
对于B，当x＝10时，故B正确，
对于C，当x＝4时，2f（5）＞f（10），
对于D，当x＝8时，
所以当某人乘坐一次出租车付费22.8元，
则2.85x﹣3.05＝22.2，解得x＝9．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查分类讨论的思想，属于中档题．
11．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实根（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1]
【分析】画出函数f（x）＝的图象，和直线y＝k，将关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到．
【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，
和直线y＝k，
关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．
观察得出：
（1）k＞6，或k＜0有且只有1个交点；
（2）4＜k≤1有且只有2个交点．
故实数k的取值范围是（3，1]．
故选：D．
【点评】本题考查方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列判断中错误的是（ ）
A．f（x）的值域为（0，+∞）
B．f（x）的图象与直线y＝2有两个交点
C．f（x）是单调函数
D．f（x）是偶函数
【分析】画出函数f（x）的图象，逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如图，
由图可知，f（x）的值域为[0，故A错误；
f（x）的图象与直线y＝6有两个交点，故B正确；
f（x）的图象不关于原点中心对称，也不关于y轴轴对称，
故C与D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查分段函数的应用和函数的图象与性质，考查数形结合思想，是中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知角α的终边过点P（5，a），且，则sinα+csα的值为 ﹣ ．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求出a的值，进而可求sinα和csα的值，最后代入求出式子的值．
【解答】解：由角α的终边过点P（5，a），且＝，
所以sinα＝＝﹣＝，
故sinα+csα＝﹣+＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
14．（5分）已知cs（α﹣β）csα+sin（α﹣β）sinα＝m，则sinβ＝ ﹣ ．
【分析】由已知结合和差角公式进行化简可求出csβ，然后结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为cs（α﹣β）csα+sin（α﹣β）sinα＝cs（α﹣β﹣α）＝cs（﹣β）＝m，
所以csβ＝m，
因为β为第三象限角，则sinβ＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
15．（5分）已知函数，则f（x）的单调递增区间是 （﹣∞，+∞） ．
【分析】根据题意，结合函数的解析式分析f（x）在[0，+∞）和区间（﹣∞，0）上的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
则在区间[0，+∞）上2+8，为增函数，
在区间（﹣∞，0）上2+8，为增函数，
故f（x）在R上为增函数，即其递增区间为（﹣∞；
故答案为：（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
16．（5分）若a＞0，b＞0，则+b的最小值为 2 ．
【分析】+b＝+b+，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：a＞0，b＞0，则+b+＝6，
当且仅当即a＝b＝，
此时+b的最小值为6．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．证明：
（1）lgab•lgbc•lgca＝1；
（2）．
【分析】（1）结合对数换底公式进行化简即可求解；
（2）结合对数运算性质及换底公式进行化简即可证明．
【解答】证明：（1）．
（2）∵，
∴．
【点评】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题．
18．某大学要修建一个面积为216m2的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路（如图所示）．问如何设计景观水池的边长
【分析】设水池一边长为xm，则另一边为m，表示面积．利用基本不等式求解即可．
【解答】解：设水池一边长为xm，则另一边为m，
总面积y＝（x+4）（+6）＝240+7x+＝240+144＝384m2，
当且仅当x＝12时取等号，
故水池一边长为12m，则另一边为18m，为384m7，
【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，考查计算能力．
19．已知，且cs（α﹣β）＝，sin（α+β），求cs2α的值．
【分析】由α与β的范围求出α﹣β与α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）与cs（α+β）的值，所求式子角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵＜β＜α＜，π＜α+β＜，
∵cs（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣，
∴sin（α﹣β）＝＝，cs（α+β）＝﹣，
则cs5α＝cs[（α﹣β）+（α+β）]＝cs（α﹣β）cs（α+β）﹣sin（α﹣β）sin（α+β）＝×（﹣）×．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
20．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈．图中OA与地面垂直，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h．
（1）求h与θ的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t的函数解析式．
【分析】（1）过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．当θ＞时，∠BOM＝θ﹣，求出|BM|，即可得出h＝|OA|+0.8+|BM|．当0≤θ≤时，上述关系式也适合．
（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，t秒转过的弧度数为t，即可得出．
【解答】解：（1）过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ＞时，∠BOM＝θ﹣，
h＝|OA|+5.8+|BM|＝5.4+4.8sin（θ﹣）．
当0≤θ≤时，上述关系式也适合．
∴h＝7.8sin（θ﹣）+4.6．
（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，
∴t秒转过的弧度数为t．
∴h＝8.8sin（t﹣，t∈[2．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c满足以下条件：
（1）该函数图象过原点；
（2）当x＝﹣1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
（3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4．
求当x＝﹣2时，y的取值范围．
【分析】结合已知及二次函数的性质可分别求出a，b，c的值，然后代入x＝﹣2可得y的表达式，结合不等式的性质可求．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象过原点，
∴c＝0，
∴y＝ax6+bx．
又∵当x＝﹣1时，1≤a﹣b≤7．①
当x＝1时，3≤a+b≤8，②
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣7b．
设存在实数m，n，使得4a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），
而6a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，
∴，解得m＝1，
∴4a﹣5b＝（a+b）+3（a﹣b）．
由①②可知3≤a+b≤3，3≤3（a﹣b）≤8，
∴3+3≤3a﹣2b≤4+8．
即6≤4a﹣8b≤10，
故当x＝﹣2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及不等式的性质的简单应用，属于中档试题．
22．已知在△ABC中，sinA+csA＝．
（1）求sinA•csA；
（2）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
（3）求tanA的值．
【分析】（1）sinA+csA＝，两边平方得1+2sinA•csA＝，可得sinA•csA的值；
（2）sinA•csA即可判断．
（3）利用同角三角函数关系式即可求解；
【解答】解 （1）∵sinA+csA＝，
∴两边平方得6+2sinA•csA＝，
∴sinA•csA＝﹣．
（2）由（1）sinA•csA＝﹣＜7，
可知csA＜0，
∴A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
（3）∵（sinA﹣csA）2＝8﹣2sinAcsA＝，
sinA＞0，csA＜8，
∴sinA﹣csA＝，
∴sinA＝，csA＝﹣，
∴tanA＝＝﹣．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和同角三角函数关系式的运用．属于基础题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
11
答案
A
A
B
C
C
C
A
D
D