高二数学上学期第一次月考02（人教A版2019选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章空间向量与立体几何~第二章2.3直线。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即．故选：C.
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为直线可化为，则其斜率为，设其倾斜角为，
则，所以.故选：B.
3．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】空间向量，，则，故以为单位正交基底时的坐标为.故选：B.
4．过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，整理得，即直线的一般式方程为.故选：C.
5．已知空间向量，则在上的投影的模为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【详解】由向量，得，，则在上的投影向量为，所以在上的投影的模为．故选：A
6．已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
直线恒过定点，直线过点时，设直线的斜率为，所以，
直线过点时，设直线的斜率为，所以，要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为.故选：.
7．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】因为点，到直线l：的距离相等，所以，即，化简得，解得或。
8、在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由点在直线上运动，故可设，，
则，，
所以
，故当时，取得最小值.
故选：D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A，由点分别为的中点，得，而，因此，A正确；对于B，，B错误；对于C，长度相等，方向不同，C错误；对于D，，D正确．故选：AD
10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．直线l恒过点
D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为
【答案】AC
【详解】对于A项，若，则，解得或，经检验，均符合，故A项正确；
对于B项，若，则，解得或，故B项不成立；对于C项，因为，则由得，所以l恒过点，故C项正确；对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点，则，得，所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立．故选：AC.
11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ）
A．长为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意有：，所以
，所以，故A正确；
，所以，所以
，
所以，故B错误；
由，，所以
，所以，故C正确；
由，所以，故D正确；故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于 .
【答案】
【详解】因为、、三向量共面，所以存在唯一实数对，使得，
即，所以，解得.
13．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 .
【答案】或
【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离．设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为，所以，解得．因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或．
14．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，又，
所以，所以，因为共面，
所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)；
(3)三点共线．
【详解】（1）证明：由，，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
（2）证明：由，，，得
，．
（3）证明：由（2）知，所以，．
即，又与有一个公共点，所以三点共线．
16．（15分）已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【详解】（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．
17．（15分）已知空间中三点，，．
(1)设，且，求的坐标；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；
(3)求的面积．
【详解】（1）由已知得．因为，所以可设，
所以，解得，所以或．
（2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，由，，，
得，，所以，故．
（3）由题可得，，所以，，
所以，又，
所以，
所以的面积．
18．（17分）如图，在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．
【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面，
因为平面，所以，又，，，平面，
所以平面，因为平面，所以．
因为，，，所以，，
所以∽，所以，
因为，所以，所以，
又，，平面，所以平面．
（2）因为底面，平面，所以，
因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，
因为，，所以，即，令，可得．
所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）设，，则，，
设到直线的距离为，则
，
所以当时，，即到直线距离的最小值为．
（17分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的
中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形．
(1)证明：为平行四边形；
(2)是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)证明：点和形成的多面体的体积为定值．
【详解】（1），截面，当在点处时，在平面内的射影为，
当在点时，在平面内的射影为，令分别为的中点，过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为，当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为，过的截面为与和均垂直，即与垂直，即截面为，当在上移动时，截面绕转动，当在点时，在面射影为，
由面面平等的性质可知截面总为平行四边形；
（2）不存在
理由：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
过作于，由题意得平面，是平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，为和底面的夹角，，
存在，使得和底面的夹角大于；不否存在，使得和底面的夹角为．
（3）设截面与交于点，与交于，四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥，两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正方体的棱长，三棱锥，三棱锥的体积为定值，点和形成的多面体为定值．