高二数学上学期第一次月考03（全国通用，人教A版2019选择性必修第一册：空间向量与立体几何+直线）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值．
【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，
点关于平面的对称点为点，
所以．
故选：B．
2．若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A．B．或3C．D．3
【答案】B
【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可.
【详解】因为两直线平行，所以：
，
所以或.
故选：B
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算原则求解即可.
【详解】由题意，，
，
则，
故选：D.
4．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可.
【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线.
当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意；
所以，令，则，令，则.
由题意，化简得，解得或，
故的所有可能取值之和为.
故选：C.
5．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解.
【详解】由，可得：，
则直线AB的方程为：，即.
又因为动点在线段AB上运动，
所以，
则，当且仅当，即，时等号成立，
所以.最大值为3.
故选：C.
6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案
【详解】

如图所示，为的中点，则，，又，
，
，
，
点E到直线DF的距离为．
故选：C
7．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可．
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，，
则直线方程为，
且的重心为，即，
设，关于直线的对称点为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，
根据光线反射原理知四点共线，且，，
所以直线的方程为，即，
又直线过，
所以，解得或（舍去），
所以，，,
所以，
所以的周长为.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标.
8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解.
【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设A关于平面的对称点为，，
则，．
设平面的法向量，则，
令，则，，所以，
所以A与到平面的距离，
即 ①．
又，所以，即 ②．
由①②得，由可得，，，
所以，
所以，
当且仅当，，三点共线时取等号，
所以的最小值为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.
【详解】A：由表明斜率存在，则，
由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对；
B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错；
C：由正切函数的图象知：
当和时，；
当，时，；
当或时，或不存在，错；
D：因为，结合正切函数的图象知，，
所以，对.
故选：AD
10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得∥面
B．存在点，使得面
C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为
D．若为面的中心，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值.
【详解】由题意，
在正方体中，棱长为4，
动点在正方体表面上（不包括边界），
连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接，
建立空间直角坐标系如下图所示，
A4,0,0,B4,4,0,C0,4,0,D0,0,0,E2,2,0,F2,2,4，A14,0,4,B14,4,4,C10,4,4,D10,0,4.∴A1E=−2,2,−4,FC=−2,2,−4，∴∥，
∵面，面，∴∥面，∴当点在F2,2,4处时，面，
∴存在点，使得∥面，故A正确；
B项，在面中，DA1=4,0,4,DB=4,4,0，设面的法向量为，
DA1⋅n1=0DB⋅n1=0即4x1+4z1=04x1+4y1=0，解得x1+z1=0x1+y1=0，当时，，
若面，则AP=tn1=−t,t,t，P=tn1=4−t,t,t，∵动点在正方体表面上，
∴，此时P=0,4,4，与重合，∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误；
C项，因为，与的夹角为，所以与所成的角为，
则∠A1AP=π6
由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即），
在中，，，，
∴，
∴点的轨迹长度为：，C正确；
D项，为面的中心，作点关于平面的对称点，
连接A2M，当最小时，，
∴A24,0,8，，
∴AP＋PM=A2P＋PM=A2M=4−02+0−22+8−22=214，D正确.
故选：ACD.
11．定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ）
A．若，则直线与直线平行
B．若，则直线与直线垂直
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
【答案】BCD
【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误.
【详解】设，
对于A，即为，
故，
所以直线的方程为：，
因为，直线与直线平行，故A正确；
对于B，设直线，取，
则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误；
此时也成立，故C错误；
对于D，仍取直线，取，
此时，故成立，此时与直线重合，故D错误.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ．
【答案】或13
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案．
【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或．
在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13.
故答案为：或13.
13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长.
【详解】由条件知CA→·AB→=0,BD→·AB→=0,CD→=CA→+AB→+BD→，
又二面角α−l−β的平面角为，则BD→,AC→=π3，所以
CD→2=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→·AB→+2AB→·BD→+2CA→·BD→=62+42+52+2×6×5csπ−π3=47，
所以CD→=47．
故答案为：.
14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解.
【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接，
则由正方体性质有，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又且都在面，所以平面平面，
又面，所以平面，
所以的轨迹是以的中点为端点的线段，
因为，
所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大，
此时，点与的中点重合，
取中点O，连接，则由正方体性质可得平面，
所以三棱锥的外接球球心在所在直线上，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，球心为，则
于是，，所以外接球半径为，
所以.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大．
(1)求直线的方程；
(2)若点在直线上，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程；
（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.
【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则的倾斜角为，可知的斜率，
所以的方程为，即；（6分）
（2）表示与点连线的斜率，
又是直线在部分上的动点，如下图示：
则，直线AB的斜率不存在，则，
即的取值范围为.（13分）
16.（15分）如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可.
法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可.
【详解】（1）取中点，连接，，则为的中位线.
∴GF//CD， 又且. 四边形为平行四边形.
又平面，平面∥平面.(6分）
（2）法一：延长，交于，连接
是等边三角形，为的中点, 又且.
为的中位线,为的中点又为的中点，为的中位线，，.
∵平面平面ACD，平面平面ACD=AC，平面平面.
平面，.因此，二面角的平面角为.
因此，平面与平面夹角的余弦值为. （15分）
法二：∵平面平面ACD，平面平面， 平面.
平面. 又等边三角形，为的中点
所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.
因为， 所以，，，
设为平面的一个法向量，则AD⋅n=0AE⋅n=0 即3y+4z=033x2+3y2+2z=0
令，解得 设为平面的一个法向量.易得.
设平面与平面夹角为， csθ=csn,m=n⋅mnm=35.
因此，平面与平面夹角的余弦值为.（15分）
17.（15分）
已知的三个顶点是．
(1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；
(2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程.
（2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值.
【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即；
（3分）
②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．
综上：直线的方程为或．（7分）
（2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，取得最小值24，所以面积，
所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．（15分）
18.（17分）
如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．
(1)求该圆台的侧面积；
(2)若是线段的中点，求证：直线平面；
(3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解；
（2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明；
（3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可.
【详解】（1）因为，
所以圆台的侧面积为；（3分）
（2）取中点，连接，如图，
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；（9分）
（3）延长交于点，作直线，
因为两点分别在平面与平面内，
所以直线即为直线，
又平面，
所以点，即为点，
，则，
以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
则有：，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.（17分）
19.（17分）
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥.
(1)在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥；
(2)已知三棱锥中，为正三角形，.
①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；
②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)①不是，证明见详解；②
【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到，再结合向量垂直的性质得到证明等式即可.
（2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可.
②由棱锥为完美三棱锥可得长，由两点间距离公式求得点坐标，进而求出关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可.
【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得
，
，
因为，所以，
即，
故该三棱锥是完美三棱锥，（4分）
（2）
①该三棱锥不是完美三棱锥，为正三角形，，故，，又，
得到，由勾股定理逆定理得，
即，同理可得，
所以，
则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分）
②如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
因为，由余弦定理得，
所以，，
因为该三棱锥为完美三棱锥，
所以，
，
解得，由余弦定理得，解得，
设，，解得，
即，设平面的一个法向量，
则，不妨取，则，
设平面的一个法向量，则，
不妨取，则，则，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.(17分）