高一数学上学期第一次月考03（全国通用，人教A版2019必修第一册第1~2章：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程与不等式）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）必修第一册第1--2章集合与逻辑+一元二次函数、方程与不等式。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.
【详解】集合，集合，则，
由韦恩图得或.
故选：D
2．命题“，或”的否定形式是
A．，或
B．，或
C．，且
D．，且
【答案】D
【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，故选D.
考点：全称命题与特称命题．
【易错点晴】全称量词与全称命题：（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．存在量词与特称命题：（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
3．若a＞b，c＞d，则（ ）
A．B．a－c＞b－d
C．a－d＞b－cD．ac＞bd
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可.
【详解】 选项A：若，则.所以选项错误.
选项B：若,满足，但是.所以选项B错误.
选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确
选项D：若,满足，但是,所以选项D错误.
故选：C.
4．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4B．7C．8D．15
【答案】B
【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得.
【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于．
因为集合，，
所以集合可为，共7个．
方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，
所以满足的集合有（个）．
故选：B．
5．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得．
【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3．
若集合中的两个整数是2，3，则解得；
若集合中的两个整数是0，1，则解得．
综上可得，或，即的取值范围是．
故选：A
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可.
【详解】已知，得，
代入得：
由于，，
得：
当且仅当，即：，时等号成立.
故的最小值为.
故选：A
7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解.
【详解】，
若，则，BA，
若，则，BA，
若，则，BA，
∴BA的一个充分不必要条件是.
故选：B
8．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（ ）
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，
图象与轴交点为，所以，
顶点在第一象限，对称轴，又，所以，
所以，①说法正确；
因为图象经过、两个点，所以，解得，
因为，，所以，②说法正确；
由得，即，③说法正确；
因为图象顶点在第一象限，且经过，
由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，
所以当时，，
又，，，所以，即，④说法正确；
综上①②③④正确；
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围.
【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确；
由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确；
设，得，得，
即，且，，
所以的范围是，故C正确；
设，得，得，
即，且，，
所以的范围是，故C正确；
设，得，得，
即，且，，
所以的范围是，故D错误.
故选：ABC
10．关于的不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况．
【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确．
当时，为一元二次不等式，
且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况．
当时，．
当，即时，不等式的解集为，故C正确．
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为．
当时，，此时显然，
不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】由得到，利用基本不等式可判断选项A正确，选项B错误；利用可得选项C正确；根据，通过分离参数结合基本不等式可得选项D正确.
【详解】由得，，
由得，，整理得，
解得或（舍去），当且仅当时等号成立，
故的最小值为，选项A正确.
由得，，即，
解得（舍去），当且仅当时等号成立，
故的最小值为，选项B错误.
由得，，所以，解得，选项C正确.
，
当且仅当，即时等号成立，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是根据把代数式等价变形为，利用基本不等式可得结果.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组的解集结合条件解的范围即可.
【详解】由解得，
由解得，
所以不等式组的解集为，
因为不等式组的最小整数解为，
所以，解得，
所以符合条件的的取值范围为，
故答案为：
13．已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为 ．
【答案】
【分析】作差法比较大小即可.
【详解】
，
由x＞0，y＞0且x≠y知，，
,
即
故答案为：
14．命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，分类讨论，构造不等式即可得求出实数a的取值范围.
【详解】因为，，使成立．
若为真命题，设，
则可将问题转化为，，
，当且仅当，即时等号成立，故，
的对称轴为，且开口向上，
当，则，函数在上单调递增，
所以，解之可得，此时无解，故舍之
当时，即，，
解之可得，则可得，
当时，，函数在单调递减，
，解之可得，则可得，
综上可知实数的取值范围为.故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设集合，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可；
（2）由，分和两种情况讨论求参数即可；
【详解】（1）因为，所以．
当时，，解得；(3分）
当时，解得．
综上所述，的取值范围为．(6分）
（2）由题意，需分和两种情形进行讨论：
当时，由（1）得；
当时，因为，所以解得，或无解．
综上所述，的取值范围为．(13分）
16.（15分）
已知集合，非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由构造不等式即可求解；
（2）由构造不等式即可求解；
【详解】（1）非空集合．可得：，解得：
由是的必要条件，可得：,
所以，解得：，综上实数的取值范围；(7分）
（2）存在，由是的充分条件，则,
所以，解得：，所以实数的取值范围(15分）
17.（15分）
已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解；
（2）就、、分类讨论后可得不等式的解；
（3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
所以方程的根为或－3，
所以不等式的解集为．(4分）
（2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方，
不等式的解集为；
②若，即，此时方程为，
只有一个根，不等式的解集为；
③若，即，
此时方程的两根分别为，，
不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．(9分）
（3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上，
而不等式的解集中恰有三个整数解，
故且，在不等式的解集中（、关于对称），
，不在不等式的解集中（、关于对称），
故，
故.(15分）
18.（17分）
已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题．
(1)请根据基本不等式，证明；
(2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）；
(3)若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)3
【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可；
（2）令，结合（1）的结论，即可证明；
（3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．(5分）
（2），当且仅当时等号成立．
推导如下：
由于，当且仅当时等号成立，
令， 得，
即，故，
所以，当且仅当时等号成立.(11分）
（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，
因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3．(17分）
19.（17分）
已知函数.
(1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;
(2)已知，当时，，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;
②求的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)①，②36
【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集；
（2）由条件得，再利用基本不等式求解问题.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，即
所以不等式可转化为，
又，所以，即，
当，即时，解得;
当，即时，解得;
当，即时，解得，
综上所述:当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.(5分）
（2）因为当时，，所以，
即，所以，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，则，
，
当且仅当，即时，，
所以，解得或，
即的取值范围是.(11分）
②由，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为36.(17分）
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式.