高一数学上学期第一次月考02（人教A版2019必修第一册第一章~第二章）

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第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．或.14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.已知，，则，解得.
故实数的取值范围为.（5分）
（2）当时，因为，所以，解得，此时成立；（7分）
当时，，解得.因为，，则或，
解得或，故此时.（11分）
综上，若，则实数的取值范围为.（13分）
16．（15分）
【详解】（1）不等式，
当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.（6分）
（2）当时，，（9分）
当时，或；
当时，；
当时，或，（13分）
所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.（15分）
17．（15分）
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，解得，又，
所以调整后的技术人员的人数最多75人;（6分）
（2）假设存在实数满足条件.由技术人员年人均投入不减少得, 解得.（8分）
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有,
两边同除以得,整理得,故有,（11分）
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,（14分）
，即存在这样的m满足条件，其值为7.（15分）
18．（17分）
【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”.因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.（3分）
有理数集是“好集”. 理由： 因为，，对任意的，，有，且时，，
所以有理数集是“好集”.（6分）
（2）证明:因为集合是“好集”，所以，若，，则，即.所以，即.（8分）
（3）命题、均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集”，任取，，若，中有0或1时，显然.若，均不为0，1，
由定义可知，，，所以，即，所以.
由（2）可得，即.同理可得. （11分）
若或，则，
若且，则.（13分）
所以，所以. 由（2）可得，所以.（15分）
综上可知，，即命题为真命题，若，且，则，所以，即命题q为真命题.（17分）
19．（17分）
【详解】（1），
当且仅当，即时，等号成立，得证．（4分）
（2），
当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是（9分）
（3），（11分）
令，原式，令，
原式，（15分）
当且仅当，即，时，等号成立．所以的最大值为（17分）1
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