湖南省汨罗市第二中学2026届高三上学期8月入学考试数学试卷[含解析]

这是一份湖南省汨罗市第二中学2026届高三上学期8月入学考试数学试卷[含解析]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】∵ ，，,
故，
∴，
故选：C．
2. 已知复数， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】，
，，
所以，
故选：A
3. 已知双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，
故该双曲线的离心率为，解得.
故选：A.
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【详解】由，
当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4，
故选：A.
5. 已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A. 9B. 8C. 3D. 27
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，则由得
，解得，，
所以，
当且仅当或时的最大值为.
故选：D.
6. 设，.若是与的等比中项，则的最小值（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】B
【详解】解：是与的等比中项，
，
．
，．
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
故选：B．
7. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ）
A. 190B. 210C. 220D. 420
【答案】B
【详解】解：依题意等比数列各项都为正数，且当时有
所以，所以
所以
所以数列的前20项和为
故选：B
8. 若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，求导得，
当时，易知函数单调递增，函数值域为R，则不合题意；
当时，令，解得，可列下表：
则，
可得，
令，求导得，
令，可得，可得下表
则，则，
故选：A
二、多选题（共15分）
9. 已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 是奇函数
D. 有4个零点
【答案】BD
【详解】对于A，
，故错误；
对于B，
，故正确；
对于C，
，令，
则
，故错误；
对于D，由，则，解得，
则有两个解，因为，，，
令，则，，
由，则在内有两个根，
故正确.
故选：BD.
11. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ）
A.
B.
C. 直线与相切
D. （为坐标原点）有最大值
【答案】BC
【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，所以，故A错误；
设，则，
所以，则直线的方程为，
令，得，即，
所以，则，故，故B正确；
因为，所以直线的方程为，
由，消去整理得，显然，所以直线（）与相切，故C正确；
设，，：，由，可得，
显然，所以，，
所以，，
所以
，
所以当时有最大值，故D错误.
故选：BC
三、填空题（共15分）
12. 已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
【答案】或
【详解】圆的圆心坐标，半径，
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，
由圆心到切线的距离等于半径得，解得，
所以直线方程为.
故答案为：或.
13. 网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）：
根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为__________.
【答案】8
详解】由题设，，
所以，即，则，
令，可得，又x为整数，
所以的最小值为8.
故答案为：8
14. 一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望_______________．
【答案】
【详解】由题意得：，
总的选取可能数为，
当时，三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，
故，
当时，恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，
故事件的可能情况有种，
故，
当时，三种不同球被取出，
由排列数可知事件的可能情况有种，
故，
所以，
故答案为：.
四、解答题（共80分）
15. 已知等差数列的前项的和为.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前项和.并证明.
【答案】（1）.
（2），证明见解析.
【小问1详解】
设的公差为d，由题意得：
，解得，
所以.
【小问2详解】
令，由（1）有：
，
所以
，
，，，
.
16. 在三棱台中，为中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
在三棱台中，为中点，则，
又，，
，四边形为平行四边形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
【小问2详解】
，，，
又，，平面，平面，
连接，，，为中点，；
以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，
，解得：，即，
平面，平面平面，平面，
.
17. 设数列满足
（1）证明：为等差数列并求；
（2）设，求．
（3）求
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
由题意证明如下，，
在数列中，，，
所以，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
【小问2详解】
由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，所以，即，
在中，，
所以，所以，
当且时，两式相减得，
所以；
当时，；
当时，；
综上，；
【小问3详解】
当时，
.
18. 已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若存在，使得恒成立，求实数k的最大值．
【答案】（1）1 （2）-1
【小问1详解】
∵，∴，
∵切线与直线垂直，∴切线的斜率为3，
∴，即，故.
【小问2详解】
由（1）知，，
，
令，，则，，
由对恒成立，故在上单调递增，
又∵，而，
∴存，使，
∵在上单调递增，
∴当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
∴在处取得最小值，
∵恒成立，所以；
由得，，所以，
∴
，
又，∴，
∵，∴k的最大值为．
19. 在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
设圆心，半径为，
因为圆心为C的动圆过点，所以，
因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，
所以，即，所以曲线E是抛物线.
【小问2详解】
证明：由题意点坐标适合，即点A在E上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设，，则，，

因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线：，即，
所以直线BD经过定点.极小值
极大值
1
2
3
4
5
（万人）
20
50
100
150
180