湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025_2026学年高三上学期开学考试数学试卷

这是一份湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025_2026学年高三上学期开学考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数， 则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．27
6．设，.若是与的等比中项，则的最小值（ ）
A．2B．4C．D．8
7．已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ）
A．190B．210C．220D．420
8．若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共15分）
9．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．是奇函数
D．有4个零点
11．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ）
A．
B．
C．直线与相切
D．（为坐标原点）有最大值
三、填空题（共15分）
12．已知圆，则过原点且与相切的直线方程为 .
13．网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）：
根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为 .
14．一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望 ．
四、解答题（共80分）
15．（本题16分）已知等差数列的前项的和为.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.并证明.
16．（本题16分）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
17．（本题16分）设数列满足
(1)证明：为等差数列并求；
(2)设，求．
(3)求
18．（本题16分）已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直．
(1)求实数a的值；
(2)若存在，使得恒成立，求实数k的最大值．
19．（本题16分）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
1
2
3
4
5
（万人）
20
50
100
150
180
12．或
13．8
14．
15．(1).
(2)，
令，由（1）有：
，
所以
，
，，，
.
16．(1)1）在三棱台中，为中点，则，
又，，
，四边形为平行四边形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
(2)
17．(1)由题意证明如下，，
在数列中，，，
所以，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)
(3)
18．(1)1
(2)-1
19．(1)
(2)证明：由题意点坐标适合，即点A在E上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设，，则，，

因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线：，即，
所以直线BD经过定点.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
A
D
B
B
A
ACD
BD
题号
11









答案
BC