湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025 年 8 月高二数学入学考试试题
一、单选题（每题 5 分，共 40 分）
复数 z 满足 z 1 i   i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
 1
1
1 iD．  1 i
2222
设a, b  R ，则“ 1  b  0 ”是“ a  1 ”的（ ）
ab
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
从装有 3 个黄球和 4 个蓝球的口袋内任取 2 个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”
互为对立的是（ ）
A．都是蓝球B．都是黄球C．恰有一个蓝球D．至少有一个蓝球
→→→→→→→
已知向量a, b ，满足 a  2, 4a  b  b  4 ，则 2a  b  （ ）
5
A． 2
B． 2
C．20D．5
3
已知tan 2θ 4 ，θ  0, π  ，若cs π θ  m cs  π θ ，则实数 m 的值为（ ）
34  4 4
3

2

C．3D．2
如图，已知四棱锥M  ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱长相等且为 4，E
为 CD 的中点，则异面直线 CM 与 AE 所成的角的余弦值为（ ）
3
5
9 5
40
5
15
3 5
20
在如图所示的电路中，5 个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B 两个盒子并联后 FG 段畅通的概率为 1
3
B．D，E 两个盒子串联后 GH 段畅通的概率为 7
12
C．C，D，E 三个盒子混联后 GK 段畅通的概率为 3
4
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率
3
在V ABC 中，M 为BC 上一点且满足 BM  2MC ，AMC  120 ，AM  2 ，若S△ABM  3 ，
5
3
则V ABC 的外接圆半径为（ ）
3
A． 2
B．
C．1D． 3 
二、多选题（每题 5 分，共 15 分）
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，P 为线段 A1C1 的中点，Q 为线段 BC1 上的动点（不包括端点），则（ ）
存在点 Q，使得 PQ / / BDB．存在点 Q，使得 PQ ⊥平面 AB1C1D
C．三棱锥Q  APD 的体积是定值D．二面角Q  AC  D 的余弦值为 1
1 13
把函数 f  x  1 4 sinωx  cs ωx  π 0 ω π 的图象向右平移 π 个单位长度，得到
6 12

的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
f  x 的最小正周期为2π
f  π  x   f  x
 3

当 x  0, π  时， f  x 的值域为1, 2
3 
若方程 f  x  1 在区间π, m 上恰有六个不等实根，则实数 m 的取值范围为
 2π, 7π 
3 

已知正四棱台 ABCD  A1B1C1D1 （上下底面都是正方形的四棱台）．下底面 ABCD 边长
2
为 2，上底面边长为 1，侧棱长为
，则（ ）
7
它的表面积为5  3
它的外接球的表面积为 8 2 π
3
侧棱与下底面所成的角为 60°
2
它的体积比棱长为
的正方体的体积大
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
若事件 A 和 B 互斥，且 P  A ∪ B  0.5 ， P  B  0.3 ，则 P  A ．
如图 1 是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文，碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.
如图 2 是这个图形的示意图，那么图 2 中圆锥O2O1 与球O 的表面积的比值为.
3222
4
如图，在四边形 ABCD 中，V ABC 的面积为S1  AC  AB  BC  ，记V ACD 的面
积为S2 ， CD  3BC ，设CAD  30， BCD  120，若存在常数λ，使S1  λS2 成立，
则λ的值为
四、解答题（共 80 分）
15．（本题 16 分）甲袋子中装有 2 个红球、1 个白球，乙袋子中装有 1 个红球、2 个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）.
现从甲、乙两个袋子中各任选 1 个球，求选出的 2 个球的颜色相同的概率；
从甲、乙两袋 6 个球中任选 2 个球，求选出的 2 个球来自同一袋子的概率. 16．（本题 16 分）已知锐角V ABC 的三个角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
a cs C  3a sin C  b  c  0 ．
求 A；
若a  2 ，求V ABC 周长的取值范围．
17．（本题 16 分）已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且
a cs C  3a sin C  b  c  0 ．
求 A；
若a  7 ．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 b，c．
条件①：中线 AD 长为 19 ；条件②：△ABC 的面积为 3 3 ．
22
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本题 16 分）如图，四面体 ABCD 中， O、E 分别 BD、BC 的中点， AB  AD  2 ，
2
CA  CB  CD  BD  2.
求证： AO  平面 BCD ；
求点 D 到平面 ABC 的距离.
ex  e x
ex  e x
19．（本题 16 分）设函数 f  x ， g  x ．
22
判断函数 f  x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
求证：     ；
f  x  y   f  x  y 
f x g y
2
8
若h  x  22 x  f ln 4x   2t  f ln 2x  在区间1,1 上的最小值为−7 ，求t 的值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
A
C
D
D
D
BD
BCD
题号
11
答案
ACD
12．0.8/ 4
5
13． 1
5 : 4
14． 3  3
3
15．(1) 4
9
(2) 2
5
16．(1) A  π
3

(2) 2  2 3, 6
17．(1) A  π
3
(2) b  3 ， c  2 或b  2 ， c  3 ．
18．(1)（1）
连接OC ，
∵BO  DO ， AB  AD ， AO  BD ，
2
6
2
m BO＝DO ， BC＝CD ，CO  BD ，在△AOC 中，由题设知
2
AO ， CO 
3  2
2
， AC  2，
 AO2  CO2  AC 2 ，AOC  90∘ ，即 AO  OC ，
m BD ∩ OC＝O ， BD, OC  平面 BCD ，
 AO  平面 BCD ；
(2) 2 42
7
19．(1)奇函数， ,  上单调递增
ex  e xe y  e yex  e x ey  e y 
（2）因为 f  x g  y  ，
224

ex y  e x y ex y  e x y 
f  x  y   f  x  y   22
22
，
ex ey  e y   e x ey  e y ex  e x ey  e y 
44
所以可得     
f  x  y   f  x  y 
f x g y(3) 2
2
；
2 xxx
2 x4x  4 x2x  2 x4x  4 x2x  2 x
（3）由h  x  2  f ln 4   2t  f ln 2
  2
 2t  2t ，
2222
令m  2x  2 x ，由 x 1,1 ，则m   3 , 3  ，
 2 2 
2x  2 x 2  2x x
m2  2m1
又h  x  2t  2  2，则令 H m  2t   m2  t  m 1 ，
22
m  t t
222
对称轴
3
2  1，
2
3
 3 
1  3 2
 3 
3177
当t   2 ，即t  2 时， H mmin  H   2   2   2   t   2  1   2 t  8
  ，
8

解得t  2 ；
当 3  t  3 ，即 3  t  3 时， H m H t   1 t 2  t t  1   1 t 2 1   7 ，
2222
min
228
解得t   15 ，又 3  t  3 ，因此不符合题意，舍去；
222
33
 3 
1  3 2
33177
  
当t  2 ，即t   2 时， H mmin  H  2   2  2 
 t  1  t 
228
  ，
8
解得t  2 ， 综上知， t  2 .