茂名市第一中学2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份茂名市第一中学2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在实数-3，，0，-1中，最小的数是（ ）
A．-3B．0C．-1D．
2．单项式的系数和次数分别是（ ）
A．无系数，3B．1，2C．1，3D．2，2
3．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000000次，360000000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．数据7，7，10，14，8的众数和中位数分别是（ ）
A．7，10B．8，7C．7，8D．7，7.5
5．已知一次函数的图像经过第一，三，四象限，则b的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（ ）
A．2500(1＋x)2＝9100B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100
C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100D．9100(1＋x)2＝2500
7．如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，两正方形相邻，大正方形的边长为，涂色部分的面积是斜线部分面积的2倍，则小正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③；
④对于任意实数，总有；
⑤关于的方程的另一个根在和之间．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
11．分式方程的解是 ．
12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是： ．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
15．如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中x满足．
18．如图，的三边分别为、、．
(1)利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数．
19．某中学校志愿者社团为了解全校名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查：
1．本学期您参加志愿服务的时长大约是 （每项含最大值，不含最小值）；
． ． ． ．以上
2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是 ．
．山西博物院 ．晋商博物馆．地质博物馆．中国煤炭博物馆
形成了如下不完整的调查报告：
回答以下问题
(1)参与本次抽样调查的学生人数为_______，将条形统计图和扇形统计图补充完整；
(2)请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数；
(3)若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到最想去山西博物院的女生的概率是________．
20．如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长．
21．某新商品每件进价是10元，在试销期间发现，当每件商品售价为15元时，每天可销售8件，当每件商品售每降价0.5元，日销售量就多售出2件．
(1)若使该商品每天的销售利润为48元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
(2)为了每日所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
22．如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围．
23．如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标．
《广东省茂名市某校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案
1．A
解：∵-3＜-1＜0＜，
∴在实数，，0，中，最小的数是．
故选：A．
2．C
解：的系数为1，次数为，
故选：C．
3．A
解：，
故选：A．
4．C
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
中位数位于第个数，是，故中位数为，
这组数据中出现次数最多的是，故众数为，
故选：C．
5．A
解：∵一次函数的图像经过第一，三，四象限，
∴，只有A选项符合题意，
故选：A．
6．B
解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]=9100，
故选：B．
7．C
解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
8．A
解：
由①得x＞3
由②得x＞5
所以不等式组的解集为x＞5．
故答案为A．
9．C
解：如图，
由图形得涂色部分的面积和斜线部分的面积是大正方形的面积的一半为，
∵涂色部分的面积是斜线部分面积的2倍，
∴斜线部分面积为，
∴，
∵大正方形的边长为，即，
∴，
设小正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴小正方形的边长是，
故选：C．
10．B
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴直线，
∴，
∵抛物线交的正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点与关于直线对称，
∵时，，
∴时，，即，故③错误；
∵，
∴变形可得：，
∵当时，，此时二次函数的值最大，即，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，故⑤正确；
综上正确的有：①②⑤；
故选：B．
11．
解：
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
故答案为：．
12．
解：点关于原点的对称点的坐标是：，
故答案为：．
13．
解： 关于的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．
14．
解：∵底面半径为，
∴圆锥底面圆的周长为，
即扇形纸片的弧长为，
∵母线长为，
∴圆锥的侧面积．
故答案为：
15．
解：∵四边形是矩形，
∴，，又，
∴，
∴即
∴，
∴
∴
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆周上，设为中点，连接，与圆交于，
即此时最短，
∴，
∴，
∴此时，
故答案为：．
16．
解：
．
17．，2
解：
；
∵，
∴，
∴或，
∴，，
∵，且，
∴且，
∴，
∴原式．
18．(1)见解析；
(2)
（1）解：如图，为所作．
（2）解：由（）的作图可知，平分，平分，
∴，
∵，，
∴
，
∴
∴．
19．(1)，补全统计图见解析
(2)人
(3)
（1）解：人，
∴、志愿时间为的有：人，
、志愿时间为以上的占比为：，
补全的条形统计图和扇形统计图如下：
故答案为：．
（2）解：人，
答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有人．
（3）解：∵被调查的女生总人数：人，
∴想去山西博物院的女生的概率：，
答：被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是．
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
21．(1)当该商品每月销售利润为48元，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为13元
(2)13.5元
（1）解：设该商品降低元，则销量上涨件，依题意得
，解得：，，
当该商品每月销售利润为48，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
（2）解：设每月总利润为w，售价降低，依题意得
,
，
∵,此图象开口向下，
∴当，w有最大值49
为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为13.5元．
22．(1)，
(2)
(3)
（1）解：将代入得，，
，
当时，，
，
将，代入得，，
解得：，
；
（2）如下图，直线与x轴相交与点C，
把代入得，，解得：，
，
；
（3）如下图，由图象可得：当时，．
23．(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
（1）解：将点B、C的坐标代入抛物线表达式．
可得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：，
.
，
．
，
，
，
是直角三角形，，
；
（3）解：∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，的对称轴为直线，
.
又，
可设直线的解析式为，将点B、E的坐标代入，
得，
解得，
∴直线为，
当时，，
；
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点P在x轴上，
，
，
，
，
和相似，
；
②时，
，
.
和相似，
，
，
解得，
∴点的纵坐标为，
．
综上所述，点P的坐标为或．