2024-2025学年广东省茂名市附属实验中学九年级（下）开学数学试卷

这是一份2024-2025学年广东省茂名市附属实验中学九年级（下）开学数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2B．﹣12a2÷4a＝﹣3a
C．（﹣2a3）2＝﹣4a6D．5a3•3a2＝15a6
3．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．3.14159B．C．D．
4．（3分）某企业车间有20名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：
表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ）
A．7个，7个B．6个，7个C．12个，12个D．8个，6个
5．（3分）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（3分）宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（ ）
A．3.52×10﹣5B．0.352×10﹣5
C．3.52×10﹣6D．35.2×10﹣6
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）
A．18B．27C．72D．81
8．（3分）方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根
C．无实数根D．无法判定
9．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
10．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2B．2C．2D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知x+y＝5，xy＝﹣1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
12．（3分）转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是 ．
13．（3分）分解因式：4x2﹣4＝ ．
14．（3分）如图，直线OA：y＝kx与反比例函数y的图象交于点A（3，m），B，则点B的坐标为 ．
15．（3分）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是 元．
三、解答题（一）（本大题3小题，每题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
17．（8分）已知．
（1）化简T．
（2）若a为二次函数y＝2x2﹣4x+5的最小值，求此时的T值．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，连接AD，过点A作AN∥BC．
（1）尺规作图：过点C作直线CE⊥AN于点E（基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母）；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
20．（9分）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．
21．（9分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）综合探究
素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8．
操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D′落在矩形纸片ABCD的内部．
（1）如图1，将矩形纸片对折，使DC与AB重合，得折痕MN，当D′落在MN上，求∠DAE的度数；
（2）如图2，当D′落在对角线BD上时，求DE的长；
（3）连接CD′，矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD′的长度是否有最小值？若有，请描述线段CD′长度最小时点D′的位置，并求出此时DE的长．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
2024-2025学年广东省茂名市附属实验中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）实数﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【答案】D
【解答】解：实数﹣2的倒数是：．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2B．﹣12a2÷4a＝﹣3a
C．（﹣2a3）2＝﹣4a6D．5a3•3a2＝15a6
【答案】B
【解答】解：A．4a﹣2a＝2a，故不正确；
B．﹣12a2÷4a＝﹣3a，正确；
C．（﹣2a3）2＝4a6，故不正确；
D．5a3•3a2＝15a5，故不正确；
故选：B．
3．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．3.14159B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A、3.14159是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是有理数，故该选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，故该选项符合题意；
D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）某企业车间有20名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：
表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ）
A．7个，7个B．6个，7个C．12个，12个D．8个，6个
【答案】B
【解答】解：根据题意，这组数据中的6出现9次，且次数最多，故这组数据的众数是6个，
这组数据中共有9+8+3＝20个数据，居中的两个数分别是7和7，
故这组数据的中位数是，
故选：B．
5．（3分）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：∵任意多边形的外角和都是360°，
又∵这个多边形的每个外角都相等，且等于60°，
∴该多边形的边数是360°÷60°＝6，
故选：C．
6．（3分）宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（ ）
A．3.52×10﹣5B．0.352×10﹣5
C．3.52×10﹣6D．35.2×10﹣6
【答案】A
【解答】解：0.0000352＝3.52×10﹣5．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）
A．18B．27C．72D．81
【答案】C
【解答】解：∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2＝（）2，
∵△ADE的面积为9，
∴△ABC的面积＝81，
∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积
＝81﹣9
＝72，
故选：C．
8．（3分）方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根
C．无实数根D．无法判定
【答案】A
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【答案】B
【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2B．2C．2D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，如图，
设点B的横坐标为a，
∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴点B的纵坐标为6﹣a，
∵点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，
∴6﹣a＝a2，
解得a1＝﹣3（不符合题意，舍去），a2＝2，
∴6﹣a＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
连接OB，
则OB2，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC＝OB＝2，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知x+y＝5，xy＝﹣1，则代数式x2y+xy2的值为 ﹣5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x+y＝5，xy＝﹣1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝﹣1×5
＝﹣5．
12．（3分）转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，
∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是，
故答案为：．
13．（3分）分解因式：4x2﹣4＝ 4（x+1）（x﹣1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）如图，直线OA：y＝kx与反比例函数y的图象交于点A（3，m），B，则点B的坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【答案】（﹣3，﹣4）．
【解答】解：∵直线OA：y＝kx与反比例函数y的图象交于点A（3，m），B，
∴m4，
∴4＝3k，
解得：k，
∴yx，
联立反比例函数得：
x，
解得：x1＝3，x2＝﹣3，
∴y（﹣3）＝﹣4，
∴B（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
15．（3分）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是 500 元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：
（1+50%）x×80%﹣x＝100，
解得：x＝500，
即：这件衣服的进价500元．
故答案为：500．
三、解答题（一）（本大题3小题，每题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）12；（2）1≤x＜2．
【解答】解：（1）
＝1﹣2+9+4
＝12；
（2），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
∴原不等式组的解集为1≤x＜2．
17．（8分）已知．
（1）化简T．
（2）若a为二次函数y＝2x2﹣4x+5的最小值，求此时的T值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）T＝（）

；
（2）y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5＝2（x﹣1）2+3，
所以当x＝1是有最小值a＝3，
所以原式．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，连接AD，过点A作AN∥BC．
（1）尺规作图：过点C作直线CE⊥AN于点E（基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母）；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图，直线CE即为所求作．
（2）证明：∵AB﹣＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∵AN∥BC，
∴AD⊥AN，
∵CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ 35 ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 18 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，
本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300，
故答案为：300；
（2）喜爱C类电视节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），
补全统计图如下：
（3）m%100%＝35%，故m＝35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°18°，
故答案为：35，18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800180（人），
答：该校喜欢新闻类节目的学生大约有180人．
20．（9分）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：测角仪显示的度数为50°，
∴α＝90°﹣50°＝40°，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，CE⊥AE，
∴∠ABD＝EDB＝AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE＝BD＝10m，ED＝AB＝1.54m，
在Rt△CAE中，CE＝AE•tanα＝8.39（m），
∴CD＝CE+ED＝8.39+1.54＝9.93≈9.9（m）．
答：古树高度CD约为9.9m．
21．（9分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）综合探究
素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8．
操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D′落在矩形纸片ABCD的内部．
（1）如图1，将矩形纸片对折，使DC与AB重合，得折痕MN，当D′落在MN上，求∠DAE的度数；
（2）如图2，当D′落在对角线BD上时，求DE的长；
（3）连接CD′，矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD′的长度是否有最小值？若有，请描述线段CD′长度最小时点D′的位置，并求出此时DE的长．
【答案】（1）∠DAE＝30°；
（2）；
（3）矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD′的长度有最小值；点D′落在对角线AC上时，线段CD′长度最小，此时DE的长为3．
【解答】解：（1）连接DD′，如图1，
由折叠得：AD＝AD′，MN垂直平分AD．∠DAE＝∠D′AE，
∵D′在MN上，
∴D′A＝D′D，
∴D′A＝D′D＝AD，
∴△ADD′是等边三角形．
∴∠DAD′＝60°，
∵∠DAE＝∠D′AE，
∴∠DAE＝30°．
（2）依题意得，AE⊥DD′，
∴∠EDD′+∠ADD′＝∠EAD+∠ADD′＝90°，
∴∠EDD′＝∠EAD，
∴，
∴．
（3）矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD′的长度有最小值；点D′落在对角线AC上时，线段CD′长度最小，此时DE的长为3．理由如下：
由三角形三边关系可得，CD′≥AC﹣AD′，只有当A、C、D′三点共线时，线段CD′长度最小，即当点D′落在对角线AC上时，线段CD′长度最小，如图2，
在Rt△ADC中，，
由折叠得：ED＝ED′，∠AD′E＝90°，AD＝AD′＝6，
设DE＝x，则EC＝8﹣x，D′C＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得，DE′2+CD′2＝CE2，
则x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴线段CD′长度最小时DE的长为3．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），
E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2，
∴当x时，PE的最大值，
则△ACE的面积的最大值是：【2﹣（﹣1）】；
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4，0），F4（4，0），
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；
②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/10 18:22:21；用户：张鑫；邮箱：15056509805；学号：55486067零件个数（个）
6
7
8
人数（人）
9
8
3
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据
如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．测出眼睛到地面的距离AB．测出所站地方到古树底部的距离BD．
α＝ ．
AB＝1.54m．
BD＝10m.
【步骤四】计算古树高度CD．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
C
A
C
A
B
C
零件个数（个）
6
7
8
人数（人）
9
8
3
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据
如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．测出眼睛到地面的距离AB．测出所站地方到古树底部的距离BD．
α＝ 40° ．
AB＝1.54m．
BD＝10m.
【步骤四】计算古树高度CD．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839）