河南省南阳市镇平县2024–2025学年九年级上册期中考试数学试题【附答案】

这是一份河南省南阳市镇平县2024–2025学年九年级上册期中考试数学试题【附答案】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A.20B.2C.12D.0.2

2.如图，在电线杆离地面8米高的点A处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成52∘角，则该缆绳AC的长为（ ）
A.8sin52∘B.8cs52∘C.8tan52∘D.8⋅sin52∘

3.下列运算正确的是（ ）
A.2+6=8B.32−2=3C.1÷2×12=1D.3×15=35

4.如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD,OB=3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得CD的长度，便可知AB的长度．本题依据的主要数学原理是（ ）

A.三边成比例的两个三角形相似
B.两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D.平行线分线段成比例

5.若关于x的方程x2+4x+c=0配方后得到方程x+22=c，则c的值为（ ）
A.4B.2C.0D.−2

6.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为1:2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）

A.4mB.25mC.8mD.45m

7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF // AB交BC于点F．若CD=8，则EF的长为（ ）
A.1B.2C.83D.4

8.已知一元二次方程x2−4x−1=0的两根分别为m，n，则2m+2n−mn的值是（ ）
A.9B.−9C.7D.−7

9.如图，将45∘的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37∘的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为（ ）
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75

10.如图①，在Rt△ABC，∠ACB=90∘，点D为AC边的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图②所示，则边AB的长是（ ）
A.5B.22C.41111D.161111
二、填空题

11.方程x2−3x=0的解是____________．

12.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC=____________．

13.若关于x的方程x2−x+12c=0有两个相等的实数根，则c的值是____________．

14.如图，在平面直角坐标系中，边长为10的正方形ABCD的边AB在x轴上，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在y轴上的点F处．若CE:BC=1:2，则点F的坐标为____________．

15.我们把宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为5−1，则该矩形的周长为 ________________________．
三、解答题

16.计算
（1）1−20−2×32；
（2）3−12−3+13−1．

17.解方程：
（1）x2−4x−3=0．（用公式法）
（2）x4−x=−5．（用适当方法）

18.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，延长AC到E，使CE=AC，连接BE．点F为BE上一点，若∠ECF=∠A，请判断四边形CDBF的形状，并进行证明．

19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内出画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C位似，且位似比为2:1．并写出△ABC与△A2B2C2的而积之比为______；
（3）在1、2的条件下，设△ABC内一点P的坐标为a,b，则△A2B2C2内与点P对应的对应点P2的坐标为______．

20.某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件．第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7500元？
解：设……
根据题意，得80−x−50200+20x=7500
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
（1）数学问题中横线处短缺的条件是______；
（2）所列方程中未知数x的实际意义是______；
（3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．

21.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．
如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD、EF在AH两侧，CD=EF=1.5m，点C与点E相距175m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45∘，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53∘．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53∘≈45，cs53∘≈35，tan53∘≈43）

22.郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万．
1求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率；
2为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙AB，BC周围用篱笆围成一个跑马场，墙AB长为36米，BC无限长，篱笆MN，NQ，PB把跑马场隔成跑马区（矩形MNPB）和饲养区（等腰直角三角形PBQ）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为84米．设MN的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？

23.综合与实践
垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
（1）操作判断
如图（1）所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，BC=25，AE=1，则CE=______，AB=______．
（2）性质探究
如图（2），若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD=3，求AF的长；
（3）知识迁移
如图（3）所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形．（温馨提示：不限作图工具）
要求：
①点A在垂中平行四边形的一条边上；
②画出图形，标上字母，写出垂中平行四边形的名称．
参考答案与试题解析
河南省南阳市镇平县2024–2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式的判断
【解析】
根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【解答】
A、20=25，则20不是最简二次根式，此项不符题意；
B、2是最简二次根式，此项符合题意；
C、12=22，则12不是最简二次根式，此项不符题意；
D、0.2=15=55，则0.2不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
2.
【答案】
A
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题
【解析】
本题考查了解直角三角形的应用：根据sin∠ACB=ABAC，代入求解即可．
【解答】
解：由题意得，sin∠ACB=ABAC，而AB=8,∠ACB=52∘，
∴AC=8sin52∘，
故选：A．
3.
【答案】
D
【考点】
二次根式的加减混合运算
利用二次根式的性质化简
二次根式的乘除混合运算
二次根式的乘法
【解析】
本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可．
【解答】
解：A、2+6，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；
B、32−2=22，原式错误，故本选项不符合题意；
C、1÷2×12=1×12×12=12，原式错误，故本选项不符合题意；
D、3×15=35，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
4.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据题意可得OAOD=OBOC=3，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证得△AOB∽△DOC，得到AB=3CD，即可得解．
【解答】
解：∵OA=3OD,OB=3OC，
∴OAOD=OBOC=3，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴ABCD=OBOC=3，AB=3CD，
∴若量得CD的长度，便可知AB的长度．
故此题答案为C.
5.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
本题考查了配方法解一元二次方程．
根据完全平方式的特征对x2+4x+c=0配方可得x+22=4−c，x+22=c，则4−c=c，即可求出答案．
【解答】
解：∵对x2+4x+c=0配方可得到x+22=4−c，x+22=c，
∴4−c=c，
∴c=2，
故选：B．
6.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为1:2，株距（相邻两树间的水平距离）为4m，则上升的高度为2米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【解答】
∵坡比为1:2，株距（相邻两树间的水平距离）为4m，
∴铅直高度为2米，
由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为22+42=25m，
故选：B．
7.
【答案】
B
【考点】
利用平行四边形的性质求解
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】
解∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC，AB=CD=8，
∵点E为OC的中点，
∴CE=12OC=14AC，
∵EF // AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC，即EF8=14，
∴EF=2，
故选：B．
8.
【答案】
A
【考点】
根与系数的关系
已知式子的值，求代数式的值
【解析】
此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数关系即可求解．
【解答】
解：由题意得，m+n=4,mn=−1，
∴2m+2n−mn=2m+n−mn=2×4−−1=9，
故选：A．
9.
【答案】
C
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题
【解析】
本题考查了解直角三角形，作BD⊥OA于D，作CE⊥OA于E，解Rt△BOD得到BD=2cm，再证明CE=BD=2cm，即可解Rt△COE求出OE的长，即可得到答案．
【解答】
解：作BD⊥OA于D，作CE⊥OA于E，如图：
依题意得：OD=2cm，
在Rt△BOD中，∠BDO=90∘，∠BOD=45∘，OD=2cm，
∴BD=OD⋅tan∠BOD=2cm，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，且BC // OA，
∴CE=BD=2cm，
在Rt△COE中，∠CEO=90∘，∠COE=37∘，CE=2cm，
∴tan∠COE=CEOE，即：tan37∘=2OE，
解得：OE≈2.7cm，
∴点C在尺上的读数约为2.7cm，
故选：C．
10.
【答案】
D
【考点】
动点问题的函数图象
勾股定理的应用
解直角三角形的相关计算
【解析】
本题考查用函数图象解决问题、勾股定理和锐角三角函数，过点C作CP1⊥AB，垂足为P1，先从函数的图象获取数据求得AP1的长度，再根据勾股定理求P1C，最后通过tan∠A建立等式，最后在运用勾股定理即可求得答案．
【解答】
解：由图②可得，当x=0时，CP=CD=AD=2，当x=2+11时CP的最小值，
∴AC=2AD=4
如下图所示，过点C作CP1⊥AB，垂足为P1，
∵垂线段最短，
∴当x=2+11时，AD+AP1=2+11，
∴AP1=2+11−2=11，
∵AC2=AP12+PC2，
∴16=11+PC2，
∴PC=5，
∵在Rt△AP1C中，tan∠A=P1CAP1=511=5511，在Rt△ABC, tan∠A=BCAC=BC4,
∴BC4=5511，
∴BC=45511，
∴AB=AC2+BC2=42+455112=161111
故选：D．
二、填空题
11.
【答案】
x1=0,x2=3
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
本题利用因式分解法求解．
【解答】
解：x2−3x=0
xx−3=0
x=0或x−3=0
解得：x1=0,x2=3
故答案为：x1=0,x2=3．
12.
【答案】
32/1.5
【考点】
由平行截线求相关线段的长或比值
【解析】
如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，AD=DE=EF=ℎ，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】
解：如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，AD=DE=EF=ℎ，
所以ABBC=AEEF=2ℎℎ=2=3BC．
解得BC=32．
故答案为：32．
13.
【答案】
12/0.5
【考点】
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
此题考查一元二次方程根的判别式：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∴x=−b±b2−4ac2a=4±272×1，
解得：x1=2+7,x2=2−7；
（2）解：x4−x=−5，
∴x2−4x−5=0，
∴x−5x+1=0，
∴x−5=0或x+1=0，
解得：x1=5,x2=−1．
18.
【答案】
菱形
【考点】
证明四边形是菱形
相似三角形的性质与判定
平行四边形的性质与判定
直角三角形斜边上的中线
【解析】
先根据直角三角形的性质得到CD=DB=12AB，可证明△ECF∽△EAB，继而CF=12AB，那么先证明四边形CDBF为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形．
【解答】
解：四边形CDBF为菱形，
证明：由题意得，EC=CA，则EC=12EA
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=DB=12AB，
∵∠ECF=∠A，
∴CF∥AB，
∴△ECF∽△EAB，
∴CFAB=ECEA=12，
∴CF=12AB，
∴BD=CF，
∵CF∥AB，
∴四边形CDBF为平行四边形，
∵CD=DB，
∴四边形CDBF为菱形．
19.
【答案】
（1）见解析
1:4
−2a,2b
【考点】
求位似图形的对应坐标
作图-轴对称变换
在坐标系中画位似图形
利用相似三角形的性质求解
【解析】
（1）根据轴对称图形的定义和性质作图即可；
（2）根据位似图形的定义作图即可作图，再根据位似比的平方等于面积比即可求解；
（3）根据位似比的性质即可求解．
【解答】
（1）解：△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，作图如下，
∴△A1B1C1即为所求图形；
（2）解：以原点O为位似中心，在第一象限内出画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C位似，且位似比为2:1，作图如下，
∴△A2B2C2即为所求图形，
∵△A2B2C2与△A1B1C位似，且位似比为2:1,
∴S△A1B1C1S△A2B2C2=122=14，
∵△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，
∴S△ABC=S△A1B1C1，
∴S△ABCS△A2B2C2=14，
故答案为：1:4；
（3）解：根据题意，△ABC与△A2B2C2的相似比为1:2，
∵△ABC内一点P的坐标为a,b在第二象限，
∴a0，
∵△A2B2C2在第一象限，
∴P2−2a,2b，
故答案为：−2a,2b．
20.
【答案】
单价每降低1元，月销售量可增加20件
单价降低了x元
（3）见解析
【考点】
营销问题(一元二次方程的应用)
【解析】
（1）根据所列方程即可得到结论；
（2）根据所列方程即可得到结论；
（3）设单价降低了x元，根据题意列一元二次方程，解方程即可得到答案．
【解答】
（1）解：∵ 80−x−50200+20x=7500，
∴数学问题中横线处短缺的条件是单价每降低1元，月销售量可增加20件，
故答案为：单价每降低1元，月销售量可增加20件；
（2）解：∵ 80−x−50200+20x=7500，
∴所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了x元，
故答案为：单价降低了x元；
（3）解：设单价降低了x元，
根据题意得80−x−50200+20x=7500，
解得x1=5，x2=15，
∵第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，
∴x=15，
80−15=65（元），
答：单价定为65元．
21.
【答案】
101.5m
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，可得GH=CD=1.5m，DG=CH，再证明四边形EFGH是矩形，则FG=HE，∠HGF=90∘，进一步证明D、G、F三点共线，得到DF=175m；设AG=xm，解Rt△ADG得到DG=xm；解Rt△AFG得到FG≈34xm；则x+34x=175，解得x=100，即AG=100m，可得AH=101.5m．
【解答】
解：如图所示，过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，
∴GH=CD=1.5m，DG=CH，
∵CD=EF=1.5m，
∴GH=EF，
由题意可得GH⊥CE,EF⊥CE，
∴GH∥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴FG=HE，∠HGF=90∘，
∴∠DGH+∠FGH=180∘，
∴D、G、F三点共线，
∴DF=DG+FG=CH+HE=CE=175m；
设AG=xm，
在Rt△ADG中，tan∠ADG=AGDG，
∴tan45∘=xDG
∴DG=xm；
在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，
∴tan53∘=xFG
∴FG≈34xm；
∴x+34x=175，
解得x=100，
∴AG=100m，
∴AH=AG+GH=101.5m，
∴风电塔筒AH的高度约为101.5m．
22.
【答案】
25%
20
【考点】
一次函数的实际应用——几何问题
一元一次方程的应用——几何问题
二元一次方程组的应用——几何问题
一元二次方程的应用——几何问题
【解析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列方程求解，
1设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y，利用2021年郑州黄河水利风景区游玩人数＝2019年郑州黄河水利风景区游玩人数×（1−2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率）的平方，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
2根据各边之间的关系，可得出MB=90−3x米，结合跑马区的面积为600平方米，可列出关于x的一元二次方程解的x，再结合墙AB长为36米，即可确定结论．
【解答】
1解：设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y，
根据题意得：1.44×1−y2=0.81，
解得：y1=0.25=25%，y2=1.75（不符合题意，舍去）．
答：2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为25%；
2∵篱笆总长为84米，且MN=x米，四边形MNPB为矩形，△PBQ为等腰直角三角形，
∴PB=PQ=MN，
∴MB=84+2×3−3x=90−3x．
根据题意得：x90−3x=600，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
当x=10时，90−3x=90−3×10=60>36，不符合题意，舍去；
当x=20时，90−3x=90−3×20=30