河南省郑州市第七初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省郑州市第七初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。

A．B．
C．D．
2．（3分）关于x的方程2x2﹣mx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
3．（3分）小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（ ）
A．相等B．互相垂直
C．互相平分D．平分一组对角
4．（3分）电影《长安三万里》于2023年7月8日上映，第一天票房约1亿，第三天票房约2.4亿，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．1+x＝2.4B．（1+x）2＝2.4
C．1+（1+x）＝2.4D．1+（1+x）+（1+x）2＝2.4
5．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，是绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（ ）
A．y2＜0＜y1B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y1＜0＜y2
8．（3分）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，若反比例函数的图象经过点A，且△ABC的面积3，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一个矩形窗框在太阳光下的投影形状可能是 ．（写出一种即可）
12．（3分）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则m2+2m+2022的值是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F两点分别从A，B两点同时出发，C移动，连接EF，EF的最小值为 ．
14．（3分）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，则y与x之间的函数关系式是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，点A的坐标为（﹣4，3），点P在矩形ABOC的内部，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时 ．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
17．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根
18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；
（3）求△A2B2C2的面积．
19．（10分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法
20．（10分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能
21．（10分）如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，使点B落到点C处，点E落到点F处．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BD＝4，DF＝4，求AC的长．
22．（10分）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌
23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当CE＝BC，△EDC旋转至A，D，C三点共线时
2023-2024学年河南省郑州七中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）举世瞩目的杭州第19届亚运会圆满落幕，各大场馆陆续对外开放，场馆中的颁奖台如图所示（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可．
【解答】解：这个颁奖台的左视图为：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
2．（3分）关于x的方程2x2﹣mx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【分析】先计算出Δ的正负，然后即可判断根的情况．
【解答】解：∵2x2﹣mx﹣7＝0，
∴Δ＝m2﹣5×2×（﹣2）＝m3+16＞0，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
3．（3分）小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（ ）
A．相等B．互相垂直
C．互相平分D．平分一组对角
【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分．
【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分、矩形．
故选：C．
【点评】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质．
4．（3分）电影《长安三万里》于2023年7月8日上映，第一天票房约1亿，第三天票房约2.4亿，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．1+x＝2.4B．（1+x）2＝2.4
C．1+（1+x）＝2.4D．1+（1+x）+（1+x）2＝2.4
【分析】根据第一天的票房及每天票房的增长率，可得出第二天的票房约（1+x）亿元，第三天的票房约（1+x）2亿元，结合第三天票房约2.4亿，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵第一天票房约1亿，每天票房的增长率为x，
∴第二天的票房约（1+x）亿元，第三天的票房约（2+x）2亿元．
根据题意得：（1+x）4＝2.4．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，是绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
【解答】解：一共是60秒，绿的是25秒＝，
故选：D．
【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，8﹣5＝8，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（ ）
A．y2＜0＜y1B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y1＜0＜y2
【分析】根据反比例函数y＝的图象在第一、三象限，利用x1＜0＜x2，即可求得y1，y2的关系．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，5＞2，
∴反比例函数y＝图象在第一．
∵x1＜6＜x2，
∴A（x1，y6）在第三象限，B（x2，y2）在第一象限．
∴y8＞0，y1＜5．
∴y1＜0＜y2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，利用双曲线所在的象限确定函数值的符号是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，
∴S△ABC：S△ADE＝4：4，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴或（不符合题意
∵，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9．（3分）如图，若反比例函数的图象经过点A，且△ABC的面积3，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【解答】解：连接OA，AB∥OC，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△ABC＝S△AOB．
∴S△AOB＝|k|＝6．
∴k＝±6．
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k＞0．
∴k＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长DH交AG于点E，根据正方形的性质结合已知条件证得△ABG和△CDH全等，再根据勾股定理的逆定理证得ABG和△CDH是直角三角形，再证△ABG和△DAE全等，从而得出△EHG是等腰直角三角形，利用勾股定理求出GH的长即可．
【解答】解：如图，延长DH交AG于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠BAG＝∠DCH，
∵AG2+BG2＝62+38＝25，AB2＝58＝25，
∴AG2+BG2＝AB8，
∴△ABG是直角三角形且∠AGB＝90°，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，
∵CH2+DH2＝62+35＝25，CD2＝56＝25，
∴△CDH是直角三角形且∠CHD＝90°，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAG+∠DAE＝90°，∠CDH+∠ADE＝90°，
∴∠ABG＝∠DAE，∠DCH＝∠ADE，
∴∠BAG＝∠ADE，
在△ABG和△DAE中，
，
∴△ABG≌△DAE（ASA），
∴AE＝BG＝3，DE＝AG＝4，
∴EG＝AG﹣AE＝7，EH＝DE﹣DH＝1，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴GH＝EH＝，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，得出△EHG是等腰直角三角形是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一个矩形窗框在太阳光下的投影形状可能是 平行四边形（或矩形或线段） ．（写出一种即可）
【分析】根据矩形的摆放方式与光线的夹角的不同，其投影的形状不同进行求解即可．
【解答】解：当矩形倾斜摆放时，其投影为平行四边形，
当矩形与光线垂直摆放时，其投影为矩形，
当矩形与光线平行摆放时，其投影为线段，
故答案为：平行四边形（或矩形或线段）．
【点评】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
12．（3分）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则m2+2m+2022的值是 2023 ．
【分析】根据m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，可得m2+2m＝1，故m2+2m+2022＝2023．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴m2+5m﹣1＝0，
∴m3+2m＝1，
∴m5+2m+2022＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F两点分别从A，B两点同时出发，C移动，连接EF，EF的最小值为 2 ．
【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2＝∠1，DE＝DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF＝DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．
【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝2，
∴DH＝2，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴∠2＝∠1，DE＝DF，
∴∠7+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，
∴EF的最小值为3，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
14．（3分）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，则y与x之间的函数关系式是 y＝ ．
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.5，200）在此函数解析式上，故可先求得k的值．
【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，
由于点（0.5，200）在此函数解析式上，
∴k＝6.5×200＝100，
∴y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，点A的坐标为（﹣4，3），点P在矩形ABOC的内部，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时 （）或（﹣2，） ．
【分析】根据题意，连接BC，由点E在边BO上，△PBE∽△CBO，可知P在线段BC上，当△APC是等腰三角形时，分CP＝CA，PC＝PA，AC＝PA三种情况求解，逐一分析，即可得到结果．
【解答】解：∵矩形ABOC，A（﹣4，
∴B（﹣4，3），3），
如图，连接BC，
∵点E在边BO上，△PBE∽△CBO，
∴∠PBE＝∠CBO，
∴P在线段BC上，
当△APC是等腰三角形时，分CP＝CA，AC＝PA三种情况求解；
①当CP＝CA＝4时，如图中P6，作P1D∥x轴，交OC于D，
∴△CDP1∽△COB，
∴，
即，
设CD＝3a，
则DP1＝7a，
由勾股定理得，，
∴5a＝6，
解得，，
∴，，，
∴，
②当PC＝PA时，如图中P2，
∴P2为线段AC的垂直平分线与矩形对角线BC的交点，
∴P2为线段BC的中点，
∴，
③当AC＝PA时，P、C重合；
综上所述，点P的坐标为（，），
故答案为：（）或（﹣2，）．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质并分类讨论是解题的关键．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵（3x﹣1）5＝2（3x+8），
∴（3x﹣1）4﹣2（3x+6）＝0，
∴（3x﹣2）（3x﹣3）＝6，
则3x﹣1＝6或3x﹣3＝3，
解得x1＝，x2＝1；
（2）∵4x2﹣4x+4＝0，
∴2x5﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+5＝﹣+2，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
解得x1＝5+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根
【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到Δ＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到k﹣1＝2或k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣3×（2k﹣2）＝k7﹣6k+9＝（k﹣8）2≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：解方程x5﹣（k+1）x+2k﹣4＝0，
得x＝，
∴x1＝k﹣3，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴k﹣3＝2或k﹣1＝7，
∴k＝3或4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）把三角形的面积转化为正方形与四个直角三角形面积之差进行计算便可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C8的面积＝＝5．
【点评】本题考查了轴对称变换，三角形的面积，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
19．（10分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；
（2）用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）这次活动共调查的人数为30÷15%＝200（人），
故答案为：200；
（2）“支付宝”的人数为200﹣（200×30%+30+50+15）＝45（人），
所以表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：81°；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，列表格如下：
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
20．（10分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能
【分析】（1）设边AB的长为x米，则AD＝（80﹣4x）米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得x（80﹣4x）＝440，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣5x）米，
根据题意可得x（80﹣4x）＝300，
解得x1＝7，x2＝15，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，不合题意，
∴x＝15米．
答：边AB的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 x（80﹣5x）＝440，
整理，得 x2﹣20x+110＝0，
∵Δ＝（﹣20）4﹣4×1×110＝﹣40＜3，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
21．（10分）如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，使点B落到点C处，点E落到点F处．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BD＝4，DF＝4，求AC的长．
【分析】（1）由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，则四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出平行四边形AEFD是矩形；
（2）由勾股定理求出BF＝8，再由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，AB＝BC＝CD，设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△CDF再，由勾股定理得（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，则AB＝5，然后由勾股定理求出OA，即可求解．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形AEFD是矩形，
∴∠DFE＝90°，
∴BF＝＝＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝，AC⊥BD，
设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝4﹣x，
在Rt△CDF再，由勾股定理得：（8﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝8，
∴AB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形AEFD为矩形是解题的关键．
22．（10分）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y＝，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效．
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞7）代入（8，6）为3＝8k1
∴k5＝，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0），
∵经过点（6，6），
∴6＝，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤6）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝；
（2）结合实际，令y＝，
答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室；
（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4，
把y＝3代入y＝，得：x＝16，
∵16﹣2＝12＞10，
所以这次消毒是有效的．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时，＝ 2 ；②当α＝180°时，＝ 2 ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当CE＝BC，△EDC旋转至A，D，C三点共线时
【分析】（1）①当α＝0°时，＝＝2，②当α＝180°时，如图所示：＝＝2；
（2）如图2所示，旋转过程中，AC、BC、CE、CD长度不变，故：△ACE∽△BCD，＝2，的大小无变化；
（3）当△CED旋转BC右侧，AB＝AE＝＝4，由＝2，得：BD＝2；当在BC左侧，此时，BC＝CE＝CE′＝4，DE是△ABC的中位线，∴ED＝D′E′＝AB＝2，由勾股定理的即可求解．
【解答】解：（1）①当α＝0°时，＝＝2，
②当α＝180°时，如图所示：
＝＝3，
故答案为2，3；
（2）如图6所示，旋转过程中、BC、CD长度不变，
即：，而∠ACE+∠CBD＝∠CBD+∠BCD＝90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴＝2，
故：当0°≤α＜360°时，的大小无变化；
（3）当△CED旋转到如图位置A，D，C三点共线时（BC右侧），
由题意得：AB＝AE＝＝4，
由＝6，
由勾股定理得：CD′＝＝2，
AD＝AC+CD′＝8+4＝10，
当△CED旋转到如图位置A，D，C三点共线时（BC左侧），
此时，BC＝CE＝CE′＝4，
DE是△ABC的中位线，∴ED＝D′E′＝，
由勾股定理得：CD′＝＝2，
AD′＝AC﹣CD′＝8﹣4＝6，
故：线段AD的长为10或6．
【点评】本题考查的主要内容是图形的旋转，涉及到三角形的相似、中位线等知识点，核心通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系，是一个综合性的难度较大的题目．
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B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）