【数学】辽宁省丹东市2024-2025学年九年级上学期10月月考试题（解析版）

这是一份【数学】辽宁省丹东市2024-2025学年九年级上学期10月月考试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 有两边相等的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D. 有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A为假命题；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B为假命题；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C为假命题；
D：有三个角是直角的四边形是矩形，故D为真命题；
故选：D
3. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.∵，∴四条线段不成比例；
B.∵，∴四条线段不成比例；
C.∵，∴四条线段成比例；
D.∵，∴四条线段不成比例；
故选：C．
4. 若关于的方程有一个根为2．则为（ ）
A. B. 1C. 4D.
【答案】B
【解析】∵关于的方程有一个根为2．
∴
解得：
故选：B．
5. 如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选B．
6. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”和“兔”的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】列表如下：
共有12可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有2种，
两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为．
故选：C．
7. 如图，在矩形中，平分交于点，交于点，若，，则等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
在矩形中，∠ADC=∠C=90°，
∵，
∴∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∴矩形CDFE是正方形，
∵EF=3，
∴DF=EF=3，
∴AD=AF+DF=4+3=7．
故选C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形（点与点C重合），则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，延长交轴于点，

∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，
∴，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，
∴，则，
∴
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A. x＋（x＋1）x＝36B. （x＋1）2＝36
C. 1＋x＋x2＝36D. x＋（x＋1）2＝36
【答案】B
【解析】设1人每次能教会x名同学，根据题意可得：
1＋x＋x（1＋x）＝36，
即（x＋1）2＝36，
故选：B.
10. 四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法：
① ② ③是等边三角形 ④
正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
，，
沿折叠，使点落在上的点处，
，，
，
在中，，
∴，
；故②正确
在中
∵,
∴,
∴故①不正确
∵
∴,
∴
∴是等边三角形，故③正确；
∴
而
∴
故④正确
故选：C
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 一元二次方程x2＝2x的解为________．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案为：
12. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是______．
【答案】18
【解析】设红球有x个，则总球数为；由摸到白球的频率稳定在，得；
解方程得．
经检验：是方程的解，
故答案为：18．
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，即，解得：且．
故答案为：且．
14. 如图，为正方形的对角线，．动点分别从点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿向终点运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为_____．
【答案】或
【解析】以为x轴的正半轴、以为y轴的正半轴建立直角坐标系（如图）．
设正方形中，，，，，
动点P从A出发沿运动，时，；
动点Q从C出发沿运动，时，．
交于O，因，
∴，则，
由中点坐标公式可得；
，交于E，设点，连接，
由两点间距离公式：
在直角三角形中，由勾股定理得：，
∴
即，解得：
故．
∴，
将四边形分为（面积和（面积两部分；
由面积比得：若，解得；若，解得．
故答案为：或．
15. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为______.

【答案】
【解析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．

，，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
16. 用配方法解下列方程：
解：
∴
则
∴
开平方得到，
∴，
17. 用公式法解下列方程：
解：，
∴，
方程中的，，，
方程根的判别式，
∴，
则方程的解为，．
18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，∴
在中，，
在中，，
∵四边形是菱形，
∴，∴．
19. 我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)
解：（1）所调查的四个班总数为：(件)，B作品的件数为：12-2-5-2=3(件)；补充图如下
（2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件）
估计全年级共征集到作品： （件）
（3）列表如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
所以 即恰好抽中一男一女的概率为.
20. 忠县柑橘品种主要包括有爱媛、沃柑、金秋砂糖橘等．A网店仅将“爱媛”和“沃柑”装箱售卖，张老师买了2箱“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110元；王老师买了1箱“爱媛”，2箱“沃柑”，支付了130元．
（1）问A网店每箱“爱媛”和“沃柑”的售价是多少元？
（2）A网店经市场调查，按以上售价两种柑橘每天共能销售100箱，但若一箱“沃柑”的售价每降低2元，则每天两种柑橘的销售总量将增加4箱．所以，该店决定对“沃柑”降价销售，“爱媛”价格不变．降价销售后的第一天统计，销售总量中有是“爱媛”，且总销售金额为4080元，若降价后“沃柑”的单价还是不低于“爱媛”的单价．求每箱“沃柑”的售价降低了多少元？
（1）解：设每箱“爱媛”x元，每箱“沃柑”y元，
由题意得，，
解得，
答：每箱“爱媛”30元，每箱“沃柑”50元；
（2）解：设每箱“沃柑”的售价应降低a元， 由题意得，
整理得：，即，
解得：，，
由题意可知，
∴，
∴，
答：每箱“沃柑”的售价降低了10元．
21. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．
（1）求证：四边形是正方形：
（2）若，，求的长．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∵的平分线交于点E，
，
等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵平分
∴
在和中，
∴
∴
由（1）可知，四边形是正方形
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
22. 如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当时，四边形的面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是？
（3）当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）
（1）解： ∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∴．
答：四边形面积是 5cm²；
（2）解：如图1， 作于E，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
在中， 由勾股定理， 得
，
解得：；
如图2，作于E，

∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
综上所述： 或；
（3）解：如图3， 当时， 作于E，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴ ，
在中， 由勾股定理， 得
，
解得：．
如图4， 当时， 作于E，

∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∴，
解得：；
如图5， 当时，

∵，
∴，
∵，
中，由勾股定理，得
解得， (舍去)，
综上所述：或或或．
故答案为：或或或．
23. 如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究与的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
解：（1）如图1，延长交于点，

∵四边形和四边形是正方形，
，，，，
，
∵点P是的中点，
，
又，
在和中，
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
又，
，，；
（2）猜想：线段与的位置关系是，；
理由如下：∵P是线段DF中点，
如图2，延长到交于点H，

∵点P是的中点，
，
由题意可知，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵四边形是菱形，，
，，
，
是等腰三角形，
又，
，，
，
，
，
；
（3）（2）中得到的两个结论仍成立，
理由如下：如图3，延长到H，使，连接，，，

是线段的中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
∵四边形是菱形，
，，点A、B、G又在一条直线上，
，
∵四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，，
，，
，
，，
．
鼠
牛
虎
兔
鼠
（鼠，牛）
（鼠，虎）
（鼠，兔）
牛
（牛，鼠）
（牛，虎）
（牛，兔）
虎
（虎，鼠）
（虎，牛）
（虎，兔）
兔
（兔，鼠）
（兔，牛）
（兔，虎）
男1
男2
男3
女1
女2
男1
______
男1 男2
男1 男3
男1 女1
男1 女2
男2
男2 男1
______
男2 男3
男2 女1
男2 女2
男3
男3 男1
男3 男2
______
男3 女1
男3 女2
女1
女1 男1
女1 男2
女1 男3
______
女1 女2
女2
女2 男1
女2 男2
女2 男3
女2 女1
______