浙江省金华市2025-2026学年九年级上学期9月开学考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省金华市2025-2026学年九年级上学期9月开学考数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了 已知，则下面结论成立的是， 已知圆内接四边形中，等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 已知，则下面结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是，
故选：C．
3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
4. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆内接四边形对角互补，
，．
：：：：，设，，．
，
解得．
．
故选：B．
5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵P为的黄金分割点，，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴，
∴的长度是，故选：A．
6. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A. 至多有1个球是红球B. 至多有1个球是黑球
C. 至少有1个球是红球D. 至少有1个球是黑球
【答案】C
【解析】∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；故选：C．
7. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
8. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，过点A作于点D
∵是直径
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
9. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形正方形，
∴，，
∴，
∵由旋转得到，
∴，，
∵，
∴点H是中点，
∵，，
∴，
∴在中，，
∵点H是的中点，
∴．
故选：D
10. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是_____．
【答案】
【解析】由题意，共有3种等可能结果，其中符合题意有1种，
∴小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是，
故答案为：．
12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则表格中m的值是______．
【答案】
【解析】由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
13. 如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为________

【答案】
【解析】∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵的面积是面积的9倍，
∴与的相似比为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）．
【答案】
【解析】∵六边形是正六边形，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故答案为．
15. 已知二次函数在时有最小值，则______．
【答案】3或
【解析】∵二次函数，
∴对称轴为直线，
①，抛物线开口向上，时有最小值，
∴时，有最小值，
解得：；
②，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
又时有最小值，
∴时，有最小值，
解得：；
故答案为：3或．
16. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为____________．
【答案】
【解析】如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴PH为的中位线，
∴，，
∵四边形EPFN是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17. 已知线段、、满足，且．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
解：（1），
设，，，
又，
，
解得，
，，；
（2）是、的比例中项，
，
，
或（舍去），
即的值为．
18. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴，又，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
19. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，
∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件．
故选B．
（2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，
根据题意列表如下：
则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2．
所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为．
20. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）在图2的网格中作出与相似的最小格点．
（1）解：如图1，即为所求．
（2）解：如图2，即所求．
21. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，
．
（2）由题意得，D点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
（3）当时，，
，
∴不会碰到水柱．
22. 如图，四边形内接于为的直径，且．
（1）试判断的形状，并给出证明．
（2）若．
①求线段的长．
②求的值．
（1）解：是等腰直角三角形，理由为：
∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：①∵，
∴，
，
∵为的直径，
，
；
②如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，．
23. 抛物线的图象如图．
（1）若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值．
（3）若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，
∴点关于直线的对称点为，
∴当时，x的取值范围为或；
（2）解：∵，
∴点M与点N关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：当时，函数的值；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点，
∴这两点关于对称轴直线对称，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
即函数值与解析式中的系数c有关．
24. 已知为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，．
（1）如图1，当C为的三等分点，且时， ．
（2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得．
①求的值；
②连接，记，直接写出d的最小值．
（1）解：过点D作于点E，如图，
为的三等分点，且，
∴．
∴．
故答案为：2；
（2）解：由旋转的性质得：，，
∵，
∴．
为的直径，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴y与x之间的关系式为．
∵点C在半径上（点C不与点O重合），
∴，
∵，
∴．
（3）解：①连接，如图，
为的直径，
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，如图，
由（3）①知：，
∴，
为的中点，
∴，
∵，，
∴，
，
．
∵，
∴当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值．
∵，
∴d的最小值为．
x
3
4
5
6
7
8
…
y
m
…
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C