浙江省金华市金东区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题卷（原卷版+解析版）

这是一份浙江省金华市金东区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题卷（原卷版+解析版），共29页。试卷主要包含了不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分．
2．答题前，请在答题卷的相应区域内填写学校、班级、姓名、考场号、座位号、以及准考证号等．
3．不能使用计算器．
4．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应．
卷I
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1. 若，则下列等式成立是（ ）
A. B. C. D.
2. 将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为（ ）
A B.
C. D.
3. 下图是一个由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A. 小明夺冠的可能性较大
B. 小明夺冠的可能性较小
C. 小明肯定会赢
D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局
6. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了( )
A. 0.6 mB. 0.8 mC. 1 mD. 1.2 m
9. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A. 1B. C. D.
卷II
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为________．
12. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2.
13. 如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为________．
14. 在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为________．
15. 如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段________，阴影部分的面积为________．
16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线．
（1）若，则的值为________；
（2）若，则取值范围为________．
三、简答题（17~21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17. 计算：
18. 已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
19. 仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的中点；
（3）画出的外心．
20. 赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
21. 某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
22. 根据以下素材，探索完成任务．
23. 已知二次函数（为常数，且）．
（1）当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，．
①若，求最小值；
②若，求的最大值．
24. 如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：为等腰三角形．
（3）若，，求的长．
2024学年第一学期九年级期末检测
数学试题卷
温馨提示：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分．
2．答题前，请在答题卷的相应区域内填写学校、班级、姓名、考场号、座位号、以及准考证号等．
3．不能使用计算器．
4．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应．
卷I
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1. 若，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意；
B．因为，所以，，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，，故D不符合题意；
故选：C．
2. 将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．解题的关键是正解掌握平移规律．
【详解】解：将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为，
故选：B．
3. 下图是一个由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．左视图是从物体的左面看得到的视图．
【详解】解：从左面看，是一列两个相邻的正方形．
故选：D．
4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比，然后化简即可．
【详解】解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
5. 某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A. 小明夺冠的可能性较大
B. 小明夺冠的可能性较小
C. 小明肯定会赢
D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．根据概率的意义分别对各选项进行判断即可．
【详解】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义，
A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意；
B、小明夺冠的可能性较大，故选项不符合题意；
C、小明赢的可能性较大，故选项不符合题意；
D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故选项不符合题意．
故选：A．
6. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，首先利用勾股定理求出，根据在直角三角形中一个锐角的正弦等于这个角的对边比上斜边，可得．
【详解】解：如下图所示，
中，，，，
，
．
故选：D ．
7. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理；由及互补关系，可求得，再圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
8. 如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了( )
A. 0.6 mB. 0.8 mC. 1 mD. 1.2 m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，证明△DAB∽△DEF，根据对应边成比例解答即可．
【详解】解：如图：
∵由题意可得AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴
∴
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能将实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应边成比例，列出方程是解决此题的关键.
9. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确；
②时，函数值小于0，则，故正确；
③与轴交于点和点，则对称轴，故，即，故③正确；
④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③，有3个．
故选：C．
10. 如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连结，由是的半径，弦，根据垂径定理得，则，而，可证明，得，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连结，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故选：B．
卷II
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式解答即可．熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
【详解】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，
从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率．
故答案为：．
12. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2.
【答案】40π
【解析】
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】圆锥侧面积S=2π×5×8÷2=40π（cm2）
故答案为40π.
【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13. 如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理以及四边形内角和定理，得出的度数是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理得出，再利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】解：连接，
∵、是的两条切线，切点分别为，
∴，
，
，
在四边形中，
．
故答案为：．
14. 在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解．
【详解】解：由题意知：N是的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段________，阴影部分的面积为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，
为等腰直角三角形，，
，，，
绕点顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：，．
16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线．
（1）若，则的值为________；
（2）若，则的取值范围为________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解．
（1）根据对称点，即可求解对称轴；
（2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案．
详解】解：（1）若，则点关于直线对称，
∴，
故答案为：4；
（2），
图象开口向上，与轴的交点坐标为，
图象有点，点，且，
∴
∴，
故答案为：．
三、简答题（17~21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18. 已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）15
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，，，，求得，，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；
（2）由相似三角形的性质得，因为，所以．
【小问1详解】
证明：，，，，
，，
，，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
的值为15．
19. 仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的中点；
（3）画出的外心．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）作图见解析
【解析】
【分析】（1）取格点，连接、，连接交于点即可；
（2）取格点、，连接交于点即可；
（3）交于点即可．
【小问1详解】
解：取格点，连接、，连接交于点，
如图，设小正方形的边长为个单位长，
∴，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
∴为边上的中线，
则即为所作；
【小问2详解】
取格点、，连接交于点，
∵，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
则点即为所作；
【小问3详解】
∵垂直平分，垂直平分，交于点，
∴点为的外心，
则点即为所作．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了勾股定理，垂直平分线的判定和性质，三角形中线的定义，三角形的外接圆与外心．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20. 赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
【答案】（1）50；216°．（2）
【解析】
【分析】根据三本的人数为16占据了32％即可得出总人数,二本的百分之等于二本的人数比总人数，再计算出一本的百分比即可推出4本的百分比即可推出4本的人数.
列出树状图即可解答.
【详解】解：（1），
所以随机抽取学生共50名，
2本所在扇形的圆心角度数；
4本的人数为 （人），
补全折线统计图为：
故答案为50，216°．
（2）画树状图为：（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4，
所以这两名学生读书数量均为4本的概率．
【点睛】本题考查概率，熟练掌握计算法则是解题关键.
21. 某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】（1）米
（2）约米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解；
（2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
【小问2详解】
解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1）；；（2）每条售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元；（3）①当每条加绒裤售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润；②每星期至少要销售该款童装件
【解析】
【分析】（1）根据售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系即可得到结论；
（2）设每星期利润为元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题；
（3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
【详解】解：（1）设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条，
∵该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条，且每降价元，每星期可多卖条，
∴，
∴当时，（条），
故答案为：；；
（2）依题意，得：，
∵，
∴时，，
∴每条售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元；
（3）①由题意得：，
解得：或，
∴当每条加绒裤售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润；
②由题意得：，解得：，
∵，
∴，
∴每星期至少要销售该款童装件．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次不等式的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．
23. 已知二次函数（为常数，且）．
（1）当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
【答案】（1）①；②
（2）①的最小值为；②的最大值为1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）①依据题意，将代入二次函数解析式，即可判断得解；
②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可；
（2）①根据，以及开口方向向下进而可以判断得解；
②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可．
【小问1详解】
解：当时，
∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
【小问2详解】
解：由得，
抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
24. 如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：为等腰三角形．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题重点考查等膘三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）因为过点作直线的垂线，垂足为点，所以，由，得，推导出，而，所以，则，求得，即可证明是的切线；
（2）延长交于点，由是的直径，得，可证明，则，所以垂直平分，则，所以为等腰三角形；
（3）作于点，可证明四边形和四边形都是矩形，则，所以，而，由勾股定理得，则，，求得，，所以．
【小问1详解】
证明：过点作直线的垂线，垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
证明：延长交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形．
【小问3详解】
解：作于点，则，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的长为．
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售．
素材1
已知该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条．
素材2
为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖条．设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条．
【问题解决】
任务1
填空：
售价（元/条）
…
…
每星期可卖条数（条）
________
…
________
…
任务2
当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
任务3
当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售．
素材1
已知该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条．
素材2
为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖条．设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条．
【问题解决】
任务1
填空：
售价（元/条）
…
…
每星期可卖条数（条）
________
…
________
…
任务2
当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
任务3
当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？