2026年高考数学一轮专题复习资料 103.马尔科夫链最全讲义

这是一份2026年高考数学一轮专题复习资料 103.马尔科夫链最全讲义，共10页。
1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.
2.马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.
3.完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：
（1）；
（2）.
则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.
4.全概率公式： 设是一个完备事件组，则有
5.一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者
（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：
有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.
二．典例分析
例1．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
解析：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．
（3）因为，，所以当时，，故．
例2．（23届杭州二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
（1）请直接写出与的数值．
（2）证明是一个等差数列，并写出公差d．
（3）当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
解析：（1）当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,即，
所以，所以是一个等差数列，设，则，累加得，故，得，
（3），由得,即,当时，，当时，，当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
例3.（2023广东茂名二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
（1）求的分布列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的期望.
解析：（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
（2）由全概率公式可知：
，
即：，所以，所以，
又，所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,又,所以,
所以,又,
所以,所以,所以,
所以.
例4．足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（1）求（直接写出结果即可）；
（2）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．
（2）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，则，
从而，又，是以为首项，公比为的等比数列．
则，∴，，
，故第19次触球者是甲的概率大
例5．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
（1）求的分布列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的期望.
解析：（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
（2）由全概率公式可知：
，即：，
所以，所以，又，所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,又,所以,
所以,又,
所以,所以,
所以,所以.
例6（山东省济南市2023高三下学期开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．
（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；
（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．
解析：（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率，的可能值为1，2，3，4，
，，，，
所以的分布列为；
期望.
（2）设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为，依题意，，当时，，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，则，当时，甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率，显然当时，满足上式，
所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为.
三．习题演练
1.（23届佛山二模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．
解析：记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故答案为：；.
2．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求.
解析：（1）可能取值为，；；，所以随机变量的分布列为
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，则有 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，所以
即，所以，且，所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以所以，即次传球后球在甲手中的概率是.
3.（2019全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
（i）证明：为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
解析：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也直接把给出，并没有让考生推导这个递推关系，实际上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就是一维随机游走模0
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