2025_2026学年四川省内江市威远县凤翔中学九年级上册入学调研数学试题

这是一份2025_2026学年四川省内江市威远县凤翔中学九年级上册入学调研数学试题，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 卷（复习篇）一、单选题（每小题 3 分，共 36 分）
1 ．-2025 的绝对值是( )
A ．2025 B ． C ．-2025 D ．
2 ．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小 长度的单位“忽”，经现代换算，1 忽约等于0.0000033 米．则0.0000033 用科学记数
法表示为( )
A ．0.33 × 10-6 B ．3.3 × 10-5 C ．0.33 × 10-5 D ．3.3 × 10-6
3 ．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A ． B ． C ． D ．
4．如图，反比例函数 和 的部分图象与直线y = a (a > 0) 分别交于A ， B 两点，如果 △ABO 的面积是9.5 ，则k 的值为( )
A ．11 B ．-11 C ． D ．-
5 ．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点 O，再添加一个条件，仍不能判 定四边形ABCD 是正方形的是( )
A ．AB = AD B ．OA = OB C ．AC = BD D ．DC 丄 BC
6 ．已知点A (m, y1 ) ，B (-m -1, y2 ) 在反比例函数 的图象上，下列推断正确
的是( )
A ．当m > 0 时，y2 > y1 B ．当 时，y1 > y2
时，y1 > y2 D ．当m < —1时， y1 > y2
7 ．下列计算中正确的是( )
A ．m2 . m4 = m8 B ．(—m2 )4 = m8 C ．(m2n)3 = m6n D ．m6 ÷ m2 = m3
8 ．在 △ABC 中，AC = 7 ，BC 边上的中线AD 把 △ABC 分成周长差为 5 的两个三角 形，则AB 的长为( )
A ．2 B ．19 C ．2 或 19 D ．2 或 12
9 ．如图，上AOB = 上COD = 上EOF = 90。，则 上1 ，上2 ，上3之间的数量关系为( )
A ．上1+ 上2 + 上3 = 90° B ．上1+ 上2 — 上3 = 90°
C ．上2 + 上3 — 上1 = 90° D ．上1— 上2 + 上3 = 90°
10 ．如图，已知AB ⅡCD ，则 上1 、上2 、上3 、上4 的关系是( )
A ．上1+ 上3 + 上4 — 上2 = 180° B ．上1+ 上2 + 上4 = 上3
C ．上3 + 上2 = 上4 + 上1 D ．上1+ 上2 + 上3 — 上4 = 180°
11 ．当x = 1 时，代数式px3 + qx +1的值为 2021，则当 x = —1时， px3 + qx +1的值为 ( )
A ．2021 B ． —2021 C ． —2019 D ．2019
12 ．如图，在 △AOB 和△COD 中，OA = OB，OC = OD (OA < OC )，
上AOB = 上DOC = a ，直线 AC，BD 交于点 M，连接OM ，下列结论：① AC = BD ， ② 上OAM = 上OBM ，③ 上AMB = a ，④ 上OCM = a ，其中正确结论的个数是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13 ．若关于x 的方程无解，则m 的值是 ．
14 ．已知长方体的长为1cm 、宽为1cm 、高为4cm （其中
AC = 1cm,BC = 1cm,CG = 4cm ）．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 F 点，最 短的路程 ．
15 ．如果 a ，b ，c 满足a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 6c + 9 = 0 ，那么 2024a - 2023b + 2022c = ．
16 ．若关于 x 的不等式组 无解，则满足条件的正整数 n 有 个．
三、解答题（6 个小题，共 44 分）
计算
（2）解方程组 ．
18 ．先化简 再对x 取一个你喜欢的数代入求值．
19 ．我县某学校开展以“书香校园”为主题的读书活动．3 月初，学校对七年级学 生在此次活动中的读书量进行了抽样调查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计 图表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生中，被调查学生的总人数为______人，读书量是 2 本的学生数 占被调查学生总数的百分比为______；
(2)补全学生课外读书数量条形统计图；
(3)若该校七年级共有学生 1500 人，请根据抽样调查的结果，估计该校七年级学 生本学期开学以来课外读书数量不少于 3 本的学生人数是多少？
20 ．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高5 米，如图2 ，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 B 处有一老人需要救援，救人时消防 车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A 与楼房的距离OA 为15 米．
(1)求B 处与地面的距离．
(2)完成B 处的救援后，消防员发现在B 处的上方4 米的D 处有一小孩没有及时撤 离，为了能成功地救出小孩，消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少 米？
21 ．如图，点E 、F 是。ABCD 对角线AC 上的两点，且AE = CF ，连接BE 、DE ，
BF ， DF
(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；
(2)若AB 丄 BF，AB = 4，BF = 3，AC = 8 ．
①求线段EF 的长；
@求四边形BEDF 的面积．
22 ．【教材呈现】
(1)如图 1，连接 △ABC 的顶点 A 和它所对的边BC 的中点 D，所得线段AD 叫做
△ABC 的边BC 上的中线．写出图 1 中的一个等量关系 ． 【尝试感悟】
(2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在△ABC 中，AB = 8，AC = 6，D 是BC 的中点，求BC 上的中线AD 的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：如图 2，延长 AD 到 E，使DE = AD，请完成证明
“ △ADC≌△EDB”的推理过程．
①求证： △ADC≌△EDB ． @求AD 的取值范围．
【问题解决】
(3)如图 3，在 △ABC 中， 上B = 90°, AB = 2，AD 是 △ABC 的中线， CE 丄 BC，CE = 4 ， 且上ADE = 90° ,求 AE 长．
B 卷（预习篇）一、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
23 ．若 则x -y 的值为 ．
24 ．若 与n-都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则
m + n = ．
25 ．若xm+1 + 6x - 7 = 0 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 ．
26 ．已知 α , β 是方程x2 - 3x - 4 = 0 的两个实数根，则a2 + aβ - 3a 的值为 ．
二、解答题（每小题 6 分，共 18 分）
27 ．计算：
(1) - +
(2) ( + )( - )
28 ．解方程：
(1) x2 - 4x - 5 = 0 ；
(2) 2x2 + 5x + 3 = 0 ．
29．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜 爱，某商店以每件 45 元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件 68 元的价格出售， 经统计，2025 年 3 月份的销售量为 256 件，2025 年 5 月份的销售量为 400 件．
(1)设该款吉祥物 2025 年 3 月份到 5 月份销售量的月平均增长率为 x，则根据题 意，可列方程______；
(2)从 5 月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥 物每降价 1 元，月销售量就会增加 20 件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售 利润能达到 8400 元？
1 ．A
【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解： —2025 的绝对值是 2025，
故选：A．
2 ．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为a ×10—n ，其中
1≤a 0 ，
: 图象的两支位于第一、三象限，每个象限 y 随 x 的增大而减小，
当m > 0 时，点A(m, y1 ) 在第一象限、B (-m -1, y2 ) 在第三象限，y2 < 0 < y1 ，故 A 选项错误， 不符合题意；
当 时，则 -m -1 < m < 0 ，点 A(m, y1 ) 、 B (-m -1, y2 ) 均在第三象限， 0 > y2 > y1 ， 故 B 选项错误，不符合题意；
当 时，则-1 < m < -m -1 < 0 ，点A(m, y1 ) 、B (-m -1, y2 ) 均在第三象限，0 > y1 > y2 ， 故 C 选项正确，符合题意；
当m < -1 时，则-m -1 > 0 ，点A(m, y1 ) 在第三象限、B (-m -1, y2 ) 在第一象限，y1 < 0 < y2 ， 故 D 选项错误，不符合题意；
故选：C
7 ．B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法， 幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解 题的关键．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.原式= m6 ，故本选项不符合题意；
B.原式= m8 ，故本选项符合题意；
C. 原式= m6 n3 ，故本选项不符合题意；
D. 原式= m4 ，故本选项不符合题意． 故选：B.
8 ．D
【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得BD = CD ，再 进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作 答．
【详解】解：: AD 是△ABC 的中线， : BD = CD ，
依题意，当AB > AC 时，如图所示：
∵ BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长差为 5 的两个三角形，
: AB + BD + AD - (AC + CD + AD ) = AB - AC = 5 ， : AC = 7 ，
: AB = 5 + 7 = 12 ；
当AB < AC 时，如图所示：
∵ BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长差为 5 的两个三角形，
: AC + BD + AD - (AB + CD + AD ) = AC - AB = 5 ， : AC = 7 ，
: AB = 7 - 5 = 2 ；
综上：AB 的长为 2 或 12，
故选：D
9 ．D
【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出 Ð 1 、 Ð 2 、 Ð 3 之间的联系进而 代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关 键．
【详解】解：∵ Ð AOB = Ð COD = Ð EOF = 90
: Ð 1+ ÐDOE = 90 ， Ð COE + ÐDOE = 90 ，上3 + 上BOC = 上BOC + 上BOD = 90° , : Ð 1 = Ð COE = 上2 + Ð BOC ，上3= 上BOD = 上2 + 上DOE ，
: 上1+ 上2 + 上3 = 上1+ 上2 + 上2 + 上DOE = 90° + 2上2 ≠ 90° ,故 A 项错误；
上1+ 上2 - 上3 = 上1+ 上2 - 上2 - 上DOE = 上1- 上DOE ≠ 90° ,故 B 项错误；
上2 + 上3 - 上1 = 上2 + 上3 - 上2 - 上BOC = 上3 - 上BOC ≠ 90° ,故 C 项错误；
上1- 上2 + 上3 = 上2 + 上BOC - 上2 + 上3 = 上BOC + 上3 = 90° ,故 D 项正确；
故选：D．
10 ．A
【分析】本题考查了平行线的性质，过点 E 作EG Ⅱ AB ，过F 作FH∥AB ，得 AB∥FH∥EG∥CD ，则 上FHE = 上4 ，上EGC = 上1，由三角形外角的性质得
上FEG = 上1— 上2 ，根据 FH∥EG 得上FHE + 上HEG = 180° ,再代入计算可得结论． 【详解】解：过点 E 作EG Ⅱ AB ，过F 作FH∥AB ，
∵ AB∥CD ，
: AB∥FH∥EG∥CD
: 上FHE = 上4 ，上EGC = 上1 ，上FHE + 上HEG = 180° , ∵ 上EGC = 上FEG + 上2 ，
: 上1= 上FEG + 上2 ， : 上FEG = 上1— 上2 ，
∵ 上FHE + 上HEG = 180° ,
: 上4 + 上3 + 上FEG = 180° , : 上1+ 上3 + 上4 — 上2 = 180° .
故选：A．
11 ．C
【分析】本题考查代数式求值，把 x =1 代入px3 + qx +1，得到 p + q = 2020 ，把 x = —1 ， p + q = 2020 代入px3 + qx +1中，进行计算求值即可．
【详解】解：把 x =1 代入px3 + qx +1，得： p + q +1 = 2021， : p + q = 2020 ，
把x = —1 ，p + q = 2020 代入px3 + qx +1，得：
—p — q + 1 = — (p + q ) + 1 = —2020 + 1 = —2019 ；
12 ．B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定 理．
先证明 Ð AOC = Ð BOD ，即可证明 △AOC≌△BOD 得到AC = BD ， Ð OAC = Ð OBD 即可判 断①②；设 AM于BO 的交点为 E，在 △AOE 中由三角形外角的性质可得
上AEB = 上OAE + 上AOE ，在△BEM 中由三角形外角的性质可得上AEB = 上EBM + 上EMB ， 则上EBM + 上EMB = 上OAE + 上AOE ，即可判断③,无法得出 上OCM = a ，进而判断④ .
【详解】解： 在 △AOB 和△COD 中，OA = OB，OC = OD (OA < OC ) ，上AOB = 上DOC = a ， : 上AOB + 上BOC = 上COD + 上BOC ，
即 Ð AOC = Ð BOD ， 在△AOC 和 △BOD 中，
: △AOC≌△BOD (SAS) ，
: AC = BD ， Ð OAC = Ð OBD ，故①正确，符合题意；
: 上OAM = 上OBM ，故②正确，符合题意； 设AM与BO 的交点为 E，
在 △AOE 中由三角形外角的性质可得上AEB = 上OAE + 上AOE ， 在△BEM 中由三角形外角的性质可得上AEB = 上EBM + 上EMB ， : 上EBM + 上EMB = 上OAE + 上AOE ，
: 上EMB = 上AOE = a ，故③正确，符合题意；
同理可得上CMD = 上COD = a，上OCM = 上ODB ，而上ODB 未知，则上OCM 未知，故④不 一定正确，
故选：B．
13 ．2
【分析】先解分式方程得到 ，再根据分式方程无解，即分式方程有增根即可得到关 于m 的方程，解方程即可得到答案．本题主要考查了分式方程无解的问题，分两种情况：
一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整 式方程有解，但这个解使分式方程的分母为 0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关 键．
去分母得m - 2 = 3 (x -1)， 去括号得m - 2 = 3x - 3 ， 解得
Q 关于x 的方程无解，
:m = 2 ，
故答案为：2． 14 ．2 cm
【分析】考查了平面展开-最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关 键.
把长方体展开，根据利用两点之间线段最短和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况：
沿AE、EG、GF、FB 、BC 剪开，得图（1）， 则AF2 = AB2 + BF2 = (1+1)2 + 42 = 20 ，
沿AC、CG、GF、FH、HE、EA 剪开，得图（2）， 则AF2 = AC2 + FC2 = 12 + (4 +1)2 = 26 ，
沿AD、DH、HF、FG、GE、EA 剪开，得图（3）
则AF2 = AD2 + FD2 = 12 + (4 +1)2 = 26 ， 综上所述，最短路径应为图（1）所示， 所以AF2 = 20 ，
即AF = 2cm ，
故答案为：2 cm
15 ．6069
【分析】本题主要考查完全平方公式， 因式分解的应用，把a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 6c + 9 通过拆分重新组合成完全平方式的和的形式，写成非负数之和等于 0 的形式，即可求解．熟 记公式结构，把多项式利用完全平方公式写成平方和的形式是解题的关键．
【详解】解：∵ a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 6c + 9 = 0 ，
即：a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 6c + 9 = 0 ， : (a - b)2 + (b - c )2 + (c - 3)2 = 0 ，
: (a - b)2 = 0 ，(b - c )2 = 0 ，(c - 3)2 = 0 ， : a = b ，b = c ，c = 3，即： a = b = c = 3 ， : 2024a - 2023b + 2022c
= 2024 × 3 - 2023 × 3 + 2022 × 3 ， = (2024 - 2023 + 2022)×3
= 6069 ，
故答案为：6069．
16 ．2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌 握解不等式组的步骤和解集的意义．
求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可．
【详解】解： í
ì3x - 4 > x①
l x ≤ n② 解不等式①得，x > 2 ， :不等式组无解，
: n ≤ 2 ，
满足条件的正整数 n 有：1,2，共 2 个，
故答案为：2．
17 ．（1） -1
（2）
【分析】本题主要考查了含有二次根式的实数的混合运算， 解二元一次方程组，解题的关键 是熟练掌握各运算法则和步骤．
（1）先进行乘方，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，二次根式的化简，绝对值 化简，再进行加减即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解
（2） ② ×3 得，9x - 6y = 9③ , ①+③ 得，16x = 32 ，
解得x = 2 ，
将x = 2 代入①得，7 × 2 + 6y = 23 ，
,
解得y = 1.5
所以，原方程组的解为
当x = -1 时，值为 （答案不唯一）
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 x 的值（不能使原式分 母为零）代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解 题的关键．
【详解 一
Qx 一1 ≠ 0, x ≠ 0, x 一 2 ≠ 0,
:x ≠ 1, 0, 2,
当x = 一1 时，原式
19 ．(1)50 ，40% ；
(2)见解析；
(3) 780 ；
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图， 样本估计总体．解题的关键是熟练掌握基本 概念，灵活运用所学知识解决问题．
（1）用 4 本及以上对应的频数除以所占百分比可得总人数；根据 3 本所占的百分比求出读 书量为 3 本的人数解答；
（2）先求出读书量为 1 本和 3 本的人数，再补全统计图即可；
（3）用读书数量不少于 3 本的学生人数，除以样本人数 50，再乘以全校总人数 1500 可得 结果．
【详解】（1）解：被调查的学生中，被调查学生的总人数为：10 ÷ 20% = 50 人，
:读书量达到 2 本的学生数占被调查学生总数的百分比为： ．
故答案为：50 ，40% ；
（2）解：读书为 3 本的人数：50 × 32% = 16 （人），
读书为 1 本的人数：50 一 20 一10 一16 = 4 （人）， 补全统计图如下：
解 （人）， 故答案为：780 ．
20 ．(1) 25 米；
(2)8 米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出 OB 的长，进而可得出结论；
（2 ）由勾股定理求出 OC 的长，利用AC = OA - OC 即可得出结论． 【详解】（1）解：在 Rt△OAB 中，∵ AB = 25 米，OA = 15 米，
（米），
: BE = OB + OE = 20 + 5 = 25 （米) ， 答：B 处与地面的距离是25 米；
（2）解：在 Rt△OAB 中，
∵ CD = 25 米，OD = OB + BD = 20 + 4 = 24 （米），
: AC = OA - OC = 15 - 7 = 8 （米），
答：消防车从A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为8 米．
21 ．(1)见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积等知识， 掌握平行四 边形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接 BD ，交 AC 于点 O，由平行四边形的性质得 OA = OC ，OB = OD ，再证 OE = OF ，即可得出结论；
（2）①由勾股定理得AF = 5 ，则 CF = AC - AF = 3 ，得 AE = CF = 3 ，即可得出结论；②
求出S△AB . BF = 6 ，再由三角形面积关系得S△△ 然后由平行四边形 的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接 BD ，交 AC 于点 O，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
: OA = OC，OB = OD ， ∵ AE = CF，OA = OC ， : OA + AE = OC + CF ， 即OE = OF ，
又∵ OB = OD ，
:四边形BEDF 是平行四边形；
（2）解：①∵ AB 丄 BF ， : 上ABF = 90° ,
∵ AC = 8 ，
: CF = AC - AF = 8 - 5 = 3 ， ∵ AE = CF = 3 ，
: EF = AF - AE = 5 - 3 = 2 ； ②∵ AB 丄 BF ，
: 上ABF = 90° ,
由①可知，EF = 2，AF = 5 ，
由（1）可知，四边形 BEDF 是平行四边形，
22 ．(1) BD = CD
(2)①见解析；②1 < AD < 7 (3)6
【分析】本题主要考查了中线的定义， 垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形 的性质和判定，构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线 是解本题的关键．
（1）根据中线的定义求解即可．
（2）①利用已知条件证明△ADC≌△EDB 即可；②根据三角形三边关系可得 AB - BE < AE < AB + BE ，再用全等三角形的性质可得 AD 的取值范围．
（3）延长AD 交EC 的延长线于F，求证 △ABD≌△FCD (ASA )，可得出CF = AB = 2, AD = DF ， 再利用垂直平分线的性质即可求得AE 的长．
【详解】（1）解：Q AD 是△ABC 的边BC 上的中线， :BD = CD ，
故答案为：BD = CD ；
（2）①由（1）可得 BD = CD ， 在△EDB 和 △ADC 中，
:△ADC≌△EDB (SAS)， ② Q△ADC≌△EDB ，
:BE = AC = 6 ，
在 △ABE 中，AB = 8，BE = 6 ，
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， 即AB - BE < AE < AB + BE ，
Q AE = 2AD ，
:8 - 6 < 2AD < 8 + 6 ，
:1 < AD < 7 ；
（3）延长 AD 交EC 的延长线于 F，如图所示：
Q AB 丄 BC, EF 丄 BC ，
:.上ABD = 上FCD = 90° , 在△ABD 和△FCD 中，
:△ABD≌△FCD (ASA )，
: CF = AB = 2, AD = DF ，
Q 上ADE = 90° ,
:ED 垂直平分AF ，
: AE = EF ，
Q EF = CE + CF = CE + AB = 4 + 2 = 6 ，
: AE = 6 ．
23 ．3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件求出 x 的值，即可 得出y 的值，再计算即可．
ìx - 5 ≥ 0
l5 - x ≥ 0
【详解】解：根据题意得 í ,
解得x = 5 ， : y = 2 ，
: x -y = 5 - 2 = 3 ， 故答案为：3．
24 ．5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义， 即化成最简二次根式后，被开方数相同的二 次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【详解】解：∵ 与n-都是最简二次根式、并且是同类二次根式， : m = 2 ，n -1 = 2 ，
解得：m = 2 ，n = 3 ，
此时被开方数2m + 2n - 5 = 2 × 2 + 2 × 3 - 5 = 5 ，m + n = 2 + 3 = 5 ，被开方数相同，满足同类二 次根式的条件。
: m + n = 2 + 3 = 5 ， 故答案为：5；
25 ．1
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只 含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程，根据定义得到
m +1 = 2 ，求解即可．
【详解】解：xm+1 + 6x - 7 = 0 是关于x 的一元二次方程，
: m +1 = 2 ，
解得m = 1，
故答案为：1．
26 ．0
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一 种经常使用的解题方法．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出
a2 - 3a = 4, aβ= -4 ，再将其代入 a2 + aβ - 3a = (a2 - 3a)+ aβ 中，即可求出结论． 【详解】解：∵ a, β 是方程x2 - 3x - 4 = 0 的两个实数根，
: a2 - 3a - 4 = 0, aβ = -4 ， : a2 - 3a = 4 ，
: a2 + aβ - 3a = (a2 - 3a)+ aβ = 4 + (-4) = 0 ；
故答案为：0．
27 ．(1) 0
(2) 4
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： - +
= 3 - 4 +
= - + = 0 ；
（2）解： ( + )( - )
= 10 - 6
= 4
28 ．(1) x1 = -1，x2 = 5
【分析】（1）利用因式分解法解答即可；
（2 ）利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ x2 - 4x - 5 = 0 ，
: (x +1)(x - 5) = 0 ， : x +1 = 0 或x - 5 = 0 ， : x1 = -1 ，x2 = 5 ；
（2）解：∵ 2x2 + 5x + 3 = 0 ，
: (2x + 3)(x +1) = 0 ， : 2x + 3 = 0 或x +1 = 0 ，
29 ．(1) 256(1+ x)2 = 400
(2)应降价 8 元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据平均增长率的等量关系 a (1+ x)2 = b ，列出方程进行求解即可；
（2）设应降价 m 元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可列方程为：256 (1+ x)2 = 400 ；
（2）设应降价 m 元，由题意，得：(68 - m - 45)(400 + 20m) = 8400 ， 整理，得：m2 - 3m - 40 = 0 ，
解得：m = 8 或m = -5 （舍去）；
答：应降价 8 元．