2025_2026学年九年级上册数学第一次月考02[江西专用 北师大版九年级上册第一章~第二章]

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2025－2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将 答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.测试范围：北师大版九上第一章~第二章．
第一部分（选择题 共 18 分）
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ．y = x2 B ．x + 2 = x2 C ． D ．2x +1 = 5
2 ．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC = 4 ，上AOD = 120° , 则AB 的长 为( )
A ．2 B ． C ．4 D ．
3 ．关于 x 的一元二次方程(a -1)x2 + x + a2 -1 = 0 的一个根是 0，则 a 的值为( )
A ．1 B ．-1 C ．1 或-1 D ．0
4 ．如图，在边长为 5 的正方形ABCD 内作上EAF = 45° , AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点 F ，连接 EF ．若DF = 2 ，则 BE 的长为( )
A ． B ． C ． D ．2
5 ．傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需 稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等， 展现了 傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的傣族 剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2 ，设金 色纸边的宽度为xcm （风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为( )
A ．(50 + x)(80 + x) = 5400 B ．(50 - x)(80 - x) = 5400
C ．(50 + 2x)(80 + 2x) = 5400 D ．(50 - 2x)(80 - 2x) = 5400
6．如图①, 在菱形ABCD 中，上A = 60° , 动点P 从点A 出发，沿折线AD -DC-CB 的方向 匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ， △APB 的面积为y ，y 与x 的函数图 像如图②所示，则AB 的长为( )
A ． B ．2 C ．3 D ．4
第二部分（非选择题 共 102 分）
二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
7 ．如图，在菱形ABCD 中，已知上ABO = 26° ,则 上DCO = ° .
8 ．关于 x 的一元二次方程x2 - 6x + c = 0 有两个相等的实数根，则 c 的值为 ．
9 ．若 x1 ，x2 是一元二次方程x2 - x - 2 = 0 的两个根，则x - x1 - x1x2 的值是 ．
10 ．如图，正方形ABCD 的边长为 8，点 M 在DC 上，且DM = 2 ，N 是AC 上的一动点， 则DN + MN 的最小值为 ．
11．若关于x 的一元二次方程mx2 + nx + 2 = 0 (m ≠ 0) 有一个根为x =5 ，则关于x 的一元二次 方程m (x -1)2 + nx - n = -2 必有一个根为 ．
12 ．矩形ABCD 中，AB = 4 ，AD = 5 ，点 E 在AD 边上，AE = 3 ．若点 F 是矩形ABCD 边 上一点，且与点 A ，E 构成以AE 为腰的等腰三角形，则等腰△AEF 的底边长是 ．
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步理）
13 ．解方程：
(1) x2 - 5x + 3 = 0
(2)3x (x + 2) = 5x +10
14 ．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点 D ，E 分别作DE Ⅱ AC ，
CE ∥ BD ，连接OE ．
(1)求证：四边形ODEC 是菱形．
(2)若上AOB = 60° , DE = 4 ，求 BC 的长．
15 ．已知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，如果a，b，c 满足3a + 2b + c = 0 ，我 们就称这个一元二次方程为“和谐方程”．
(1)判断方程2x2 - x - 4 = 0是否为“和谐方程”，并说明理由．
(2)已知关于x 的“和谐方程” ax2 - 2x + c = 0 的一个根是-1，求这个方程的另一个根．
16 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + (2m +1)x + m2 - 3 = 0 ．
(1)当 m 为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为、 的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的 2 倍，求 m 的值．
17 ．如图，利用一面墙（墙长 25 米），用总长度 49 米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩 形围栏ABCD ，且中间共留两个 1 米的小门，设栅栏BC 长为x 米．
(1) AB = ________米（用含x 的代数式表示）；
(2)若矩形围栏ABCD 面积为 210 平方米，求栅栏BC 的长；
(3)矩形围栏ABCD 面积是否有可能达到 270 平方米？若有可能，求出相应x 的值；若不可能， 则说明理由．
四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步理）
18 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (2m -1)x + m2 = 0 有两个实数根．
(1)求实数 m 的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根x1 和x2 满足(x1 - 2)(x2 - 2) = 11，求实数 m 的值．
19 ．小明家新房买了一盏简单而精致的吊灯（图 1），其正面的平面图如图 2 所示，四边形 ABCD 是一个菱形外框架，对角线AC ，BD 相交于点O ，四边形 AECF 是其内部框架，且 点 E、F 在BD 上，BE = DF ．
(1)判断四边形内部框架AECF 的形状为___________，请证明你的结论．
(2)若AE 丄 AD ，F 为DE 的中点，求证：DE = 2AE ．
(3)在（2）的条件下，若 ，直接写出四边形 AECF 的周长．
20 ．某公司投入研发费用 80 万元（80 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公 司按订单生产（产量= 销售量），此产品年销售量y（万件）与售价 x（元/件）之间满足的函 数关系式y = -x + 26 ．
(1)第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件．若公司希望该产品第一年的利润W1 为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？
(2)第二年，该公司将第一年的利润 20 万元（20 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使 产品的生产成本降为 5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年 的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 12 万件．请计算该公司第二年的利润 W2 为 90 万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步理）
21 ．问题解决：
如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在AB, BC 边上，DE = AF ，且 DE 与AF 相交于 点 G．
（1）DE 与AF 的位置关系为 ；
（2）延长CB 到点 H，使得 BH = AE ，判断 △AHF 的形状，并说明理由． 类比迁移：
（3）如图 2，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在AB, BC 边上，DE 与AF 相交于点 G， DE = AF ，上AED = 60° , AE = 7 ，BF = 2 ，求 DE 的长．
22 ．如图（1），四边形 ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，BE ．
(1)求证：BE = DE ；
(2)如图（2），过点 E 作EF 丄 DE ，交边BC 于点 F，以 DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连 接CG ．
①求证：矩形DEFG 是正方形；
@若正方形ABCD 的边长为 9 ， ，求正方形 DEFG 的边长．
六、（本大题共 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
23 ．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】
如图 1，已知矩形 ABCD 是“等邻边四边形”，则矩形 ABCD ______（填“一定”或“不一定”） 是正方形；
【尝试运用】
如图 2，在菱形 ABCD 中，上ABC = 120° ,点 M 、N 分别在AD 、CD 上（不含端点），连 接BM ，BN ，若 上MBN = 60° ,证明四边形 BMDN 是“等邻边四边形”；
【拓展延伸】
如图 3，现有一个平行四边形材料ABCD ，连接 点E 在 BC 上，且BE = 4 ，在边 AD 上有一点P ，使四边形 ABEP 为“等邻边四边形”，请直接写出 此时四边形ABEP 的面积．
1 ．B
【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且 未知数的最高次数为 2 的整式方程．对各选项逐一判断即可．
【详解】解：选项 A：方程 y= x2 中含有两个未知数y 和x ，不符合“一元”条件，排除．
选项 B：方程x + 2 = x2 可整理为x2 - -x 2 = 0 ，仅含未知数x ，且最高次数为 2 ，是整式方程， 符合定义．
选项 C：方程 中含分式 ，不是整式方程，排除．
选项 D：方程 2x +1 = 5 为一次方程，最高次数为 1，排除．
故选：B．
2 ．A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点．根据矩形的对角线 相等且互相平分可得 ，由上AOD = 120° 可得上AOB = 60° , 从而△AOB 是 等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解得．
【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形，
∵ 上AOD = 120° ,
: 上AOB = 180° - 上AOD = 60° , : △AOB 是等边三角形，
: AB = OB = 2 ．
故选：A．
3 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一 元二次方程的解．把 x = 0 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于 0，然 后舍去不满足的取值即可．
【详解】解：把 x = 0 代入(a -1)x2 + x + a2 -1 = 0 ， 得到：a2 -1 = 0
: a = 1或a = -1
∵ 方程(a -1)x2 + x + a2 -1 = 0 是一元二次方程，
: a -1≠ 0 ， : a ≠ 1，
: a = -1 ；
故选：B ．
4 ．A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理， 添加辅助线构造 全等三角形是解题的关键．延长CB 至G 使得BG = DF = 2 ，连接 AG ，根据正方形的性质 证明 △ABG≌△ADF ，得出 AG = AF ，上BAG = 上DAF ，进而再证出 △AEG≌△AEF ，得到
EG = EF ，设 BE= x ，在 Rt△CEF 中利用勾股定理列出方程，求出x 的值即可解答． 【详解】解：如图，延长CB 至G 使得BG = DF = 2 ，连接 AG ，
:边长为 5 的正方形ABCD ，
: AB = AD = CD = BC = 5 ，上BAD = 上ABC = 上C = 上D = 90° , : 上ABG = 90° = 上D ，CF = CD - DF = 5 - 2 = 3 ，
又: BG = DF ，
: △ABG≌△ADF (SAS) ，
: AG = AF ，上BAG = 上DAF ，
: 上EAF = 45° ,
: 上BAE + 上DAF = 90° - 45° = 45° ,
:∠BAE +∠BAG = 45° ,即 上EAG = 45° , : 上EAG = 上EAF ，
又: AE = AE ，
: △AEG≌△AEF (SAS) ， : EG = EF ，
设BE = x ，则 EF = EG = BE + BG = x + 2 ，CE = BC - BE = 5 - x ， :在Rt△CEF 中，CE2 + CF2 = EF2 ，
: (5 - x )2 + 32 = (x + 2)2 ， 解得： ，
即 ．
故选：A．
5 ．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意、弄清等量关系是解题关键． 设金色纸边的宽为，根据整个挂图的长为(80 + 2x )cm ，宽为(50 + 2x )cm ，然后根据长方形 的面积公式是列方程即可．
【详解】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为 (80 + 2x )cm ，宽为(50 + 2x )cm ， 由长方形的面积公式可得：(50 + 2x)(80 + 2x) = 5400 ．
故选：C．
6 ．B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数的图象，含 30 度角的直角三角形的性质等知识， 解题的关键是掌握菱形的性质和通过函数图象获取信息．过点D 作DE ^ AB 交 AB 于点E ，
设菱形的边长为x ，求出 结合函数图象得出S△ 解方程即可．
【详解】解：如图，过点 D 作DE ^ AB 交AB 于点E ，设菱形的边长为 x ，
在菱形ABCD 中，AD = AB = x ，上A = 60° , 在Rt△ADE 中，上ADE = 90° - 上A = 30° ,
由图 2 得S△APB = S△
解得x = 2 ，（负值已舍去），
所以，AB 的长度为2 ， 故选：B．
7 ．64
【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角， 是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形ABCD 中，上ABO = 26° ,
: 上ABC = 2上ABO = 52° ,
∵菱形ABCD 中，AB∥CD ，
: 上BCD = 180° - 上ABC = 128° ,
故答案为：64．
8 ．9
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到 Δ = 0 ，列出 方程进行求解即可．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2 - 6x + c = 0 有两个相等的实数根， : Δ = (-6)2 - 4c = 0 ，
解得：c = 9 ；
故答案为：9．
9 ．4
【分析】根据题意，得 x1.x2 = -2 ，x12 - x1 - 2 = 0 ，变形代入 x - x1 - x1x2 ，计算解答即可．
本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题 的关键．
【详解】解： x1 ，x2 是一元二次方程x2 - x - 2 = 0 的两个根， 则x1.x2 = -2 ，x12 - x1 - 2 = 0 ，
: x12 - x1 = 2 ，
: x - x1 - x1x2 = 2 - (-2) = 4 ，
故答案为：4．
10 ．10
【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道 根据正方形的性质得到DN + MN 的最小值即为线段BM 的长．
连接BD ，BM ，根据点D 与点B 关于AC 对称和正方形的性质得到DN + MN 的最小值即为 线段BM 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， :点D 关于AC 的对称点是点B ．
连接BD ，BM ，且 BM 交AC 于点N ，AC 与BD 交于点O ，此时 DN + MN 的值最小．
∵ DM = 2 ，正方形的边长为 8， : MC = 6 ，BC = 8 ．
由BM 2 = MC2 + BC2 = 62 + 82 = 102 ，知 BM = 10 ．
又∵点D 与点B 关于AC 对称， : AC ^ BD 且平分BD ．
: DN = BN ．
: DN + MN = BN + MN = BM = 10 ．
: DN + MN 的最小值是 10． 故答案为：10
11 ．x = 6
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二
次方程是解题的关键．将题干中的一元二次方程m (x -1)2 + nx - n = -2 通过变量代换令
t = x -1转换为关于t 的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解， 再根据t 与x 的关系式求出一元二次方程m (x -1)2 + nx - n = -2 的解即可．
【详解】解：把一元二次方程m (x -1)2 + nx - n = -2 整理得：m(x -1)2 + n (x -1) + 2 = 0 ． 设t = x -1，则 mt2 + nt + 2 = 0 ．
Q 关于x 的一元二次方程mx2 + nx + 2 = 0 有一个根为x = 5 ，
:mt2 + nt + 2 = 0有一个根为t = 5 ，
:x -1 = 5 ， 解得x = 6 ，
:一元二次方程m (x -1)2 + nx - n = -2 必有一个根为x = 6 ． 故答案为：x = 6 ．
12 ．3 或
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，对点 F 的位置分两种情 况讨论是解题的关键．当点 F 在AB 上时，AE = AF = 3 ，根据勾股定理即可求得 EF 的长； 当点 F 在CD 上时，AE = EF = 3 ，连结EF ，AF ，则DE = 2 ，根据勾股定理即可求得DF 和AF 的长．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是矩形，
:上A = 上D = 90° , CD = AB = 4 ， 当点 F 在AB 上时，AE = AF = 3 ，
:EF = AE = 3 ；
当点 F 在CD 上时，AE = EF = 3 ， 连接EF ，AF ，
:DE = AD - AE = 2 ，
:DF = = = ，
综上所述，等腰△AEF 的底边长是3或 ．
故答案为：3或 ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、 配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）方程可以配方成 则可得 再方程两边开平方解方程 即可得；
（2）方程可以因式分解为(3x - 5)(x + 2) = 0 ，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】（1）解：x2 - 5x + 3 = 0 ，
x2 - 5x = -3 ，
所以方程的解为x1 = 5 + , x2 = 5 - ．
2 2 2 2
（2）解：3x (x + 2) = 5x +10 ， 3x (x + 2) = 5 (x + 2) ，
3x (x + 2) - 5(x + 2) = 0 ，
(3x - 5)(x + 2) = 0 ， 3x - 5 = 0 或x + 2 = 0 ，
所以方程的解为
14 ．(1)见解析
【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知 识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先证明四边形ODEC 是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是 菱形即可证明结论；
（2）由菱形的性质和矩形的性质求出 AC 的长，证明 △AOB 是等边三角形，求出AB 的值， 再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ DE Ⅱ AC ，CE ∥ BD ， : DE Ⅱ OC ，CE∥OD ，
:四边形ODEC 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形， :OD = OC = OA = OB ， :四边形ODEC 是菱形．
（2）解：∵ DE = 4 且四边形ODEC 是菱形， : OD = OC = DE = CE = OA = 4 ，
: AC = OA + OC = 8 ，
Q 上AOB = 60°, AO = OB ， :△AOB 是等边三角形，
: AB = OA = OB = 4 ，
在Rt△ABC 中，AC = 8, AB = 4 ，
15 ．(1)是和谐方程，理由见解析
【分析】（1），先明确方程中 a 、b 、c 的值，再将其代入3a + 2b + c 计算，根据结果判断是 否为和谐方程．
（2）先把已知根代入方程得到一个等式，再结合和谐方程的条件得到另一个等式，联立求 解出a 、c 的值，进而得到方程，最后求解方程得到另一个根．
本题主要考查了新定义下一元二次方程的相关知识，熟练掌握方程的解的定义以及解一元二 次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：是和谐方程
理由：∵ a = 2，b = -1，c = -4 ， :3a + 2b + c = 6 + (-2) + (-4) = 0 ， 故此方程为和谐方程．
（2）解：将 x = -1 代入方程ax2 - 2x + c = 0 ，得 a + 2 + c = 0 ① ∵方程ax2 - 2x + c = 0 为和谐方程，
:3a + (-4) + c = 0② , 由
:这个和谐方程为3x2 - 2x - 5 = 0 ， 解得
:这个方程的另一个根为
16 ．
(2) m = -3
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾 股定理的应用；
（1）根据 Δ ≥ 0 ，再建立不等式求解即可；
（2）设方程的两根分别为 a 、b ，由根与系数的关系得：a + b = -2m -1, ab = m2 - 3 ，结合 菱形的边长为 两条对角线的长为2a, 2b ，满足 即：
(a + b)2 - 2ab = 13 ，再建立方程求解并检验即可．
【详解】（1）解：Q方程x2 + (2m +1)x + m2 - 3 = 0 有两个实数根，
:Δ = (2m +1)2 - 4(m2 - 3) = 4m2 + 4m +1- 4m2 +12 = 4m +13 ≥ 0 ， 解之得 ．
: 当 时，方程有两个实数根；
（2）解：设方程的两根分别为 a 、b ，
由根与系数的关系得：a + b = -2m -1, ab = m2 - 3 ，
由题意可知：菱形的边长为 ，两条对角线的长为2a, 2b ， ∵菱形的对角线互相垂直平分，
:其半对角线长与边长构成直角三角形，
即(a + b)2 - 2ab = 13 ，
:(-2m -1)2 - 2× (m2 - 3) = 13， 解之得：m = -3 或m = 1．
Qa > 0 ，b > 0 ，
:a + b > 0 ，ab > 0 ，
当m = -3 时，a + b = -2m -1= -2× (-3) -1 = 5 > 0 ，ab = m2 - 3 = (-3)2 - 3 = 6 > 0 ． 当m = 1时， a + b = -2m -1= -2× 1-1 = -3 < 0 ，
:m = 1 不合题意，舍去， 又由 知 ， :m = -3 ．
17 ．(1) (51- 3x )
(2)篱笆BC 的长为 10 米；
(3)矩形围栏ABCD 面积不可能达到 270 平方米．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式．
（1）设篱笆 BC 长为 x 米，根据篱笆的全长结合中间共留 2 个 1 米的小门，即可用含 x 的 代数式表示出AB 的长；
（2）根据矩形围栏 ABCD 面积为 210 平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其
较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏 ABCD 面积为 270 平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，由根的判 别式 Δ = -71 < 0 ，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏 ABCD 面积不可能达到 270 平方米．
【详解】（1）解：设栅栏 BC 长为 x 米，
∵栅栏的全长为 49 米，且中间共留两个 1 米的小门， : AB = 49 + 2 - 3x = (51- 3x)米，
故答案为：(51- 3x) ；
（2）解：依题意，得：(51- 3x)x = 210 ， 整理，得：x2 -17x + 70 = 0 ，
解得：x1 = 7 ，x2 = 10 ．
当x = 7 时，AB = 51 - 3x = 30 > 25，不合题意，舍去，
当x =10 时，AB = 51 - 3x = 21，符合题意， 答：栅栏BC 的长为 10 米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：(51- 3x)x = 270 ， 整理得：x2 -17x + 90 = 0 ，
∵ Δ = (-17)2 - 4× 1 × 90 = -71< 0 ， :方程没有实数根，
:矩形围栏ABCD 面积不可能达到 270 平方米．
18 ．
(2) -1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内 容是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1 + x2 = 2m -1 ，x1 . x2 = m2 ，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程x2 - (2m -1)x + m2 = 0 有两个实数根，
:Δ = 一(2m一1)2 一4 × 1 × m2 = (2m一1)2 一4m2 ≥ 0， 解得m ≤ ,
即当m ≤ 时，方程有两个实数根；
（2）解：: x2 - (2m -1)x + m2 = 0 ，
:由根与系数的关系，得x1 + x2 = 2m -1 ，x1 . x2 = m2 ． Q(x1 - 2)(x2 - 2) = 11 ，
:x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = 11 ．
:m2 - 2(2m -1) + 4 = 11，
:m2 - 4m - 5 = 0 ．
解方程，得m1 = 5 或m2 = -1 ． : m ≤ ,
:m = -1 ．
19 ．(1)菱形，证明见解析
(2)见解析 (3) 24
【分析】本题考查菱形的判定和性质， 勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，正 确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）通过 ABCD 为菱形得到OB = OD ，OA = OC ，又 BE = DF ，所以可知 OE = OF ，从而 得到AECF 为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形；
（2）易知△ADE 是直角三角形，F 为斜边的中点，得到DE = 2AF ，再根据 AECF 为菱形 得到AE = AF ，即可得出结论；
（3）通过勾股定理求出 AE ，进而可得到四边形 AECF 的周长．
【详解】（1）解：四边形内部框架 AECF 的形状为菱形，证明如下：
Q 四边形ABCD 是菱形，
: OB = OD, OA = OC ，
Q BE = DF ，
: OE = OF ，
: 四边形AECF 是平行四边形， Q 四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 BD ，即 AC 丄 EF ，
:平行四边形AECF 是菱形； 故答案为：菱形；
（2）解：Q AE 丄 AD ， :△ADE 是直角三角形， Q F 为DE 的中点，
:DE = 2AF ，
Q 四边形AECF 是菱形， : AE = AF ，
:DE = 2AE ；
（3）解：∵四边形ABCD 为菱形，
在Rt△ADE 中，AE2 + AD2 = DE2 ，DE = 2AE ， : AE2 + (6)2 = (2AE)2 ，
解得AE = 6 （负值舍去）， ∵四边形AECF 为菱形，
:菱形AECF 的周长为4× 6 = 24 ．
20 ．(1)若公司希望该产品第一年的利润W1 为 20 万元，那么该产品第一年的售价是16 元
(2)该公司第二年的利润 W2 为 90 万元时，那么该产品第二年的售价最多是16 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握此知识点并灵 活运用是解此题的关键．
（1）表示出W1 = -x2 + 32x - 236 ，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解；
（2）根据题意列出一元一次不等式并结合题意可得14 ≤ x ≤ 16 ，求出 W2 = -x2 + 31x -150 ，
根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：W1 = (x - 6)y - 80 = (x - 6)(-x + 26) - 80 = -x2 + 32x - 236 ，
∵公司希望该产品第一年的利润W1 为 20 万元， :-x2 + 32x - 236 = 20 ，
解得：x = 16 ，
:若公司希望该产品第一年的利润W1 为 20 万元，那么该产品第一年的售价是16 元；
（2）解：∵受产能限制，销售量无法超过 12 万件， :-x + 26 ≤ 12 ，
: x ≥ 14 ，
∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， :14 ≤ x ≤ 16 ，
由题意可得：W2 = y (x - 5) - 20 = (-x + 26)(x - 5) - 20 = -x2 + 31x -150 ， ∵该公司第二年的利润 W2 为 90 万元时，
:-x2 + 31x -150 = 90 ，
整理可得：x2 - 31x + 240 = 0 ，
解得：x1 = 15 ，x2 = 16 ，
故该公司第二年的利润 W2 为 90 万元时，那么该产品第二年的售价最多是16 元．
21 ．（1）DE 丄 AF ；（2）等腰三角形，见解析；（3）DE = 9 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， 正方形和菱形的性质，线段垂直平分线的性 质，等边三角形的判定与性质等知识点．
（1）证明Rt△ADE≌Rt△BAF (HL) 即可；
（2）由全等可得 BF = AE ，继而 BH = BF ，AB 是线段HF 的垂直平分线，再根据线段垂 直平分线的性质求证；
（3）延长CB 到 K，使BK = AE ，连接AK ，证明 △BAK≌△ADE (SAS) ，证明 △AKF 是等边
三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， : AD = AB, 上DAB = 上ABC = 90° ,
在Rt△ADE 和Rt△BAF 中，
: Rt △ADE≌Rt△BAF (HL) , : 上ADE = 上BAF ，
: 上BAF + 上GAD = 上DAB = 90° , : 上ADE + 上GAD = 90° ,
在 △ADG 中，上AGD = 180° - (上ADE + 上GAD) = 90° , : DE 丄 AF ，
: DE 与AF 的位置关系为：DE 丄 AF ， 故答案为：DE 丄 AF ；
（2） △AHF 是等腰三角形，理由如下：
由（1）可知：Rt△ADE≌Rt△BAF ，
: AE = BF ，
: BH = AE ，
: BH = BF ，
: 上ABC = 90° , : AB 丄 HF ，
: AB 是线段HF 的垂直平分线， : AH = AF ，
: △AHF 是等腰三角形；
（3）解：延长CB 到 K，使 BK = AE ，连接 AK ，如图所示：
:四边形ABCD 是菱形， : AD∥BC, BA = AD ， : 上KBA = 上DAE ，
在△BAK 和△ADE 中，
: △BAK≌△ADE (SAS) ， : AK = DE, 上K = 上AED ，
∵ DE = AF, 上AED = 60° , : AK = AF, 上K = 60° ,
: △AKF 是等边三角形， : AF = KF = AB ，
∵ AE = 7, BF = 2 ，
: KF = BK + BF = AE + BF = 7 + 2 = 9 ，
: AF = KF = 9 ， : DE = AF = 9 ．
22 ．(1)见解析
(2)①见解析；②3
【分析】本题考查四边形的综合应用， 主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定 与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续 性．
（1）由正方形ABCD 得AB = AD ，上BAE = 上DAE = 45° , 可证得 △ABE≌△ADE (SAS) ，可 证得结果；
（2）①作EP 丄 CD 于点 P ，EQ 丄 BC 于点 Q，利用角平分线的性质得EQ = EP ，证明
△EQF≌△EPD (ASA ) ，即可得出 EF = ED ，从而证明结论；
②过点 E 作EM 丄 AD 于 M，先证明 △ADE≌△CDG ，可得 AE = CG = 3 ，最后由勾股定 理求得DE 的长
【详解】（1）证明：∵在正方形ABCD 中， : AB = AD ，上BAE = 上DAE = 45° ,
∵ AE = AE ，
: △ABE≌△ADE (SAS)， : BE = DE ；
（2）①证明：如图，作EP 丄 CD 于点 P ，EQ 丄 BC 于点 Q，
∵在正方形ABCD 中，
: 上DCA = 上BCA = 45° ,
:△ECP 和 △ECQ 均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得EQ = EP ，
∵上QEF + 上FEC = 45° , Ð PED + Ð FEC = 45° , :上QEF = 上PED ，
: △EQF≌△EPD (ASA ) ， : EF = ED ，
:矩形DEFG 是正方形；
②解：∵在正方形ABCD ，正方形 DEFG 中， : AD = CD ，ED = GD ，
∵ 上ADE + 上EDC = 90° , 上CDG + 上EDC = 90° , : 上ADE = 上CDG ，
: △ADE≌△CDG (SAS)， : AE = CG = 3 ，
如图所示，过点 E 作EM 丄 AD 于 M，则△AEM是等腰直角三角形，
根据勾股定理得AM = EM = 3 ， ∵ DM = AD - AM = 9 - 3 = 6 ，
即正方形DEFG 的边长为3 ；
故答案为：3
23 ．（1）一定
（2）四边形 BMDN 是“等邻边四边形”
（3）4 + 8或18 或12
【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论；
（2）如图②中，结论：四边形BMDN 是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明BM = BN 即可；
（3）如图③中，过点A 作AH丄 BC 于H ，点 E 作EN 丄 AD 于 N，则四边形 AHEN 是矩
形．分三种情形 时，②当PA = PE 时，③当PE = BE = 4时，分别求 解即可．
【详解】解：（1）:四边形ABCD 的邻边相等， :矩形ABCD 一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②,四边形 BMDN 是等邻四边形；
理由：连接BD ，
:四边形ABCD 是菱形，上ABC = 120° ,
: AB = BC = CD = AD = 4 ，上ABD = 上上ABC = 60° , :△ABD ， △BDC 都是等边三角形，
: 上BDM = 上BCN = 60° , DB = CB ，
: 上MBN = 上DBM + 上DBN = 60° , 上DBC = 上DBN+ 上NBC = 60° , : 上DBM = 上CBN ，
:△DBM≥ △CBN (ASA )，
: BM = BN ，
:四边形BMDN 是等邻四边形，
.（3）如图③中，过点A 作AH丄 BC 于H ，点E 作EN 丄 AD 于 N，则四边形AHEN 是矩形．
: AB2 - BH2 = AH2 ，AC2 - CH2 = AH2 ，AB = 2 , BC = 7, AC = ，
: (2 )2 - BH2 = ( )2 - (7 - BH)2 ， : BH = 2 ，CH = BC - CH = 7 - 2 = 5 ，
: BE = 4 ，
: AN = HE = 4 - 2 = 2 ， ①当AP = AB = 2 时，
S四边形 ．
②当PA = PE 时，设PA = PE = x ，
: NE = AH = 4 ，在 Rt△PEN 中，PE2 = NE2 + PN2 ， : x2 = 42 + (x - 2)2 ，
: x = 5 ，即 PA = PE = 5 ，
③当PE = BE = 4时，点P 与N 重合，此时AP = AN = 2 ,
综上：四边形ABEP 的面积为4 + 8或18 或12 ．
【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题， 学会用分类讨论的思想思考问题．