2025_2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级上册第一次月考数学模拟试卷

这是一份2025_2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级上册第一次月考数学模拟试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考模拟试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是( ).
A ．x + 2y = 1 B ．x2 + y = 2 C ．2x - x2 = 3 D ．
2 ．关于 x 的方程x2 + mx - 3 = 0 的一根是 1，则 m 的值是( )
A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．2
3 ．已知。O 的半径为 5，点 P 在。O 外，则 OP 的长可能是( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
4 ．如图，将一根木棒的一端固定在 O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到 A 点后放开，让 此重物由 A 点摆动到 B 点．则此重物移动路径的形状为( )
A ．倾斜直线 B ．抛物线 C ．圆弧 D ．水平直线
5 ．若关于x 的方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根之和为2 ，两根之积为-3 ，则关于y 的方程 a (y - 2)2 + b(y - 2) + c = 0 的两根之积为( )
A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5
6 ．如图，eO 中两条弦AB 与CD 的延长线交于点P，AD 与BC 交于点E ，下列关系式一定
成立的是( )
A ． Ð AEC + Ð P = 90° B ． Ð AEC + Ð P = 2Ð ADC
C ． Ð AEC - Ð P = 45° D ． Ð AEC - Ð P = Ð ADC
7 ．在ΘO 中，若上AOB = 2上COD ，则与2 的大小关系是( )
A ． > 2 B ． < 2 C ． = 2 D ．不能确定
8 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD，AB，BC 分别与。O 相切于 E，F，G 三 点，过点 D 作。O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为( )
9
2
13
3
A．
C．
B．
4 13
2 5
D．
3
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．
9 ．已知ΘO 的半径为3 ，OP = 2.5 ，则点 P 与ΘO 的位置关系是：点P 在ΘO ．
10 ．已知ΘO 的半径为2 ，点 O 到直线l 的距离为3 ，则l 与ΘO 的位置关系是 ．
11 ．如图， 为120° ,则弦 AB 所对的圆心角度数为 ．
12 ．在圆内接四边形ABCD 中， Ð A 、 Ð C 的度数之比为1: 2 ，则 上C = °.
13．如图，点A、B、C、D、E 在ΘO 上，且上B + 上E = 155° , 则CD 所对的圆心角度数为 ．
14．如图，由 4 个边长为 1 的小正方形组成的图形，若ΘO 经过其顶点A、B 、C，则圆心 O 到AB 的距离为 ．
15 ．如图，以 △ABC 的边BC 为直径的eO 分别交AB, AC 于点D 、E ，连结OD 、OE ，若
上A = 50° ,则 上DOE = °.
16 ．如图，在eO 中，弦AB、CD 相交于点 E， = 2 ．若上DEB＝69° ,则的度数 为 ° .
三、计算题：本大题共 1 小题，共 6 分．
17 ．某市有 A 、B 两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去 A 公园游玩的概率是 ；
（2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
四、解答题：本题共 10 小题，共 62 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．
18 ．解下列方程：
(1) 2x2 + 4x -1 = 0 ．
(2) x (x -1) = 2 - 2x ．
19 ．如图，AB 、CD 是eO 的直径，弦CE Ⅱ AB ．求证：B 是弧DE 的中点．
20 ．超市以每件10 元的价格购进了一批玩具，定价为20 元时，平均每天可售出80 个．经调 查发现，玩具的单价每降1元，每天可多售出40 个；玩具的单价每涨1元，每天要少售出5 个．如何定价才能使每天的利润为1400 元？
21 ．如图，已知。ABCD 内接于圆．求证：四边形ABCD 是矩形．
22 ．如图，已知 △ABC ．
(1)利用直尺和圆规作出△ABC 的内切圆；
(2)若△ABC 的周长为24 ，面积为 24 ，求它的内切圆的半径．
23．如图，一个边长为8m 的正方形花坛由4 块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中， 点G, E, F 分别在CD, AD, AB 上，且DG = 1m, AE = AF = x ，在 △AEF，△DEG ，五边形
EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是 20 元、20 元、10 元．
(1)五边形EFBCG 的面积为_________ ．（结果用含有 x 的代数式表示）
(2)当x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是 715 元？
24．如果关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0满足a + b + c =0 ，那么称这样的方程为“美好 方程” ．例如，方程x2 - 4x + 3 = 0 ，1- 4 + 3 = 0 ，则这个方程就是“美好方程”．
(1)下列方程是“美好方程”的是 ；
① x2 + 2x - 3 = 0 ② x2 - 3x = 0 ③ x2 + 1 = 0 ④x (x -1) = 2 (x -1)
(2)求证：“美好方程” ax2 + bx + c = 0总有两个实数根；
(3)若美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 有两个相等的实数根，求证：a + c = 2b ．
25 ．如图，四边形 ABCD 是ΘO 的内接四边形，AC ^ BD ，OF 丄 AB ，垂足分别是 E、F．
（1）直接写出 OF 与 CD 的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若 AB = 2 ，CD = 1 ．求ΘO 的半径．
26 ．如图， CD 是Rt△ABC 斜边上的中线， 以 CD 为直径作ΘO ，分别交 AC 、BC 于点M 、 N ，过点 M作ME 丄 AB ，交 AB 于点E ．
(1)求证：ME 是ΘO 的切线；
(2)若CD = 5 ，AC = 8 ，求ME 的长．
27 ．（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①,四边形 ABCD 内接于⊙ O ．
求证：上A＋上C = 上B＋上D = 180° .
（2）逆命题证明：
若四边形的一组对角上A＋上C = 180° ,则这个四边形的 4 个顶点共圆（图②) 可以用反证法证明如下：
在图@中，经过点A ，B ，D 画。 O ．
假设点C 落在。 O 外，BC 交。 O 于点E ，连接 DE， Q 四边形ABED 内接于。 O ，
:可得 = 180° ,
Q 上A＋上C = 180° ,
: 上BED = ，与 上BED > 上C 得出矛盾； 同理点C 也不会落在。 O 内，
: A ，B ，C ，D 共圆．
（3）结论运用：如图 上BAC = 120° ,线段 ，点 D ，E 分别在射线AC 和线段AB 上 运动，以DE 为边在 ÐBAC 内部作等边 △DEF ，则 BF 的最小值为 ．
1 ．C
【详解】A 、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误；
B 、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误；
C 、2x-x2=3，是一元二次方程，故此选项正确；
D 、，是分式方程，故此选项错误；
故选 C．
2 ．D
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二 次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子 仍然成立．
把x =1 代入原方程，求解关于 m 的方程即可．
【详解】解：把 x =1 代入方程x2 + mx - 3 = 0 ，得
12 + m - 3 = 0 ， 所以m = 2 ．
故选：D．
3 ．D
【详解】设点与圆心的距离 d，已知点 P 在圆外，则 d>r.
解：当点 P 是。O 外一点时，OP>5cm ，A 、B 、C 均不符.
故选 D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化 为半径的大小关系.
4 ．C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解： 在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧，
故选：C．
5 ．D
【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根，
b c
则x1 + x2 = - a ，x1x2 = a ，利用换元的思想是解决问题的关键．
把方程a (y - 2)2 + b(y - 2) + c = 0 看作关于y- 2 的一元二次方程，则利用关于x 的方程
ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为x1，x2 得到y1 = x1 + 2，y2 = x2 + 2 ，然后利用根与系数的关系 即可解答本题．
【详解】解：把方程 a (y - 2)2 + b(y - 2) + c = 0 看作关于y- 2 的一元二次方程， 设关于x 的方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为x1，x2 ，
则方程a (y - 2)2 + b(y - 2) + c = 0 的两根为y1 = x1 + 2，y2 = x2 + 2 ，
Q 关于x 的方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根之和为2 ，两根之积为 -3 ， :x1 + x2 = 2，x1x2 = -3 ，
:y1y2 = (x1 + 2)(x2 + 2) = x1x2 + 2(x1 + x2 ) + 4 = -3 + 2× 2 + 4 = 5 ． 故选：D．
6 ．B
【分析】本题考查圆周角定理的应用， 三角形的一个外角的性质．根据三角形的一个外角的 性质以及圆周角定理，即可判断 Ð AEC， Ð P 和 Ð ADC 的关系．
【详解】解：Q Ð AEC = Ð ADC + Ð C ，
:Ð AEC + Ð P = ( Ð ADC + Ð C) + Ð P
Q BD = BD ，
:上A = 上C ，
: Ð AEC + Ð P = Ð ADC + Ð A+ Ð P ，
Q Ð ADC = Ð A+ Ð P ，
: Ð AEC + Ð P = 2Ð ADC ，故选项 B 正确；
根据题意无法得到 Ð ADC 的度数，
∴无法得到Ð AEC + Ð P 的大小，故选项 A 错误；
QÐ AEC - Ð P = ( Ð ADC + Ð C) - Ð P = Ð ADC + Ð A - Ð P ，故选项 D 错误； 根据题意无法得到 Ð ADC ，上A, 上P 的度数，
∴无法得到Ð AEC - Ð P 的大小，故选项 C 错误；
故选：B
7 ．C
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取 的中点E ，连接OE ，则： = ，
∵ 上AOB = 2上COD ，
: 上AOE = 上BOE = 上COD ，
: AE = BE = CD ，
故选 C．
8 ．A
【详解】解：连接 OE ，OF，ON，OG，
在矩形 ABCD 中，
∵∠A=∠B=90° , CD=AB=4，
∵AD，AB ，BC 分别与。O 相切于 E，F，G 三点， :∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90° ,
:四边形 AFOE，FBGO 是正方形， :AF=BF=AE=BG=2，
:DE=3，
∵DM 是⊙O 的切线，
:DN=DE=3，MN=MG， :CM=5-2-MN=3-MN，
在 Rt△DMC 中，DM2=CD2+CM2， :（3+NM）2=（3-NM）2+42，
故选 A．
9 ．内
【分析】本题考查了点与圆的关系， 比较半径与点到圆的距离是解题的关键．根据当点到圆 心的距离小于圆的半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点 到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，即可解答．
【详解】解：由题意，得：点到圆的距离d = OP = 2.5 ，圆的半径 r = 3， d < r ，
: 点在圆内，
故答案为：内．
10 ．相离
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系， 根据圆心到直线的距离d >r ，直线与圆相离即 可求解，掌握直线和圆的位置与d 和r 之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵eO 的半径为2 ，点 O 到直线l 的距离为3 ， : d >r ，
: l 与eO 的位置关系是相离， 故答案为：相离．
11 ．120°
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接OA、OB ，由为120° 可得
上AOB = 120° ,据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接OA、OB ，
∵ 为120° ,
: 上AOB = 120° ,
:弦AB 所对的圆心角度数为120° , 故答案为：120° .
12 ．120
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：设 Ð A 的度数为x ，则Ð C 的度数为2x ，
Q 四边形ABCD 是圆内接四边形，
:上A + 上C = 180° , : x + 2x = 180° ,
解得，x = 60° ,
: Ð C = 2x = 120° , 故答案为：120 ．
13 ．50° ##50 度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理， 连接ED ，根据圆内接四边形的 性质得到上B + 上AED = 180° ,根据题意求出 上CED ，根据圆周角定理求出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ED ，OD ，OC ，
Q 四边形ABDE 为ΘO 的内接四边形，
:上B + 上AED = 180° , ∵ 上B + 上AEC = 155° ,
: 上CED = 180。-155。= 25。， : 上COD = 2上CED = 50。，
: 的度数为50。，
故答案为：50。．
14 ．
【分析】取AB 的中点 D，过点 D 作DE ^ AB 交AB 于点 D，交CF 于点E，则圆心 O 在DE 上，在取DE 上取圆心 O，连接OB, OC ，根据题意可得DE 丄 CF ， DE = 3 ，OB = OC ，再由勾股定理可得 OD2 + BD2 = OE2 + CE2 ，即可求解．
【详解】解：如图，取 AB 的中点，过点 D 作DE ^ AB 交AB 于点 D，交CF 于点 E，则圆 心 O 在DE 上，在取DE 上取圆心 O，连接OB, OC ，
根据题意得：DE 丄
: OB2 = OD2 + BD2 , OC2 = OE2 + CE2 ， : OD2 + BD2 = OE2 + CE2 ，
解得： ，
即圆心 O 到AB 的距离为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键．
15 ．80
【分析】连接 BE 由圆周角定理和三角形内角和定理求得上ABE = 40。，再由“同弧所对的圆 周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 BE ．
Q BC 为ΘO 的直径，
: Ð CEB = Ð AEB = 90。，
Q 上A = 50。，
: Ð ABE = 40。，
: ÐDOE = 2Ð ABE = 80。， 故答案为：80 ．
16 ．46
【分析】此题考查了圆周角定理，以及弧、弦、圆心角的关系 ．连接OB、OD、BC ，根据 邻补角定义求出上CEB = 111。，根据圆周角定理推出 上ABC = 2上BCD ，根据三角形内角和 定理求出上BCD = 23。，根据圆周角定理得 上BOD = 46。，然后根据圆心角、弧的关系求解即 可．
【详解】解：连接 OB、OD、BC ，
∵ 上DEB = 69。，上CEB + 上DEB = 180。， : 上CEB = 111。，
∵ AC = 2BD ，
: 上ABC = 2上BCD ，
∵ 上ABC + 上BCD + 上CEB = 180。， : 3上BCD = 69。，
: 上BCD = 23。，
: 上BOD = 2上BCD = 46° , : 的度数为46° ,
故答案为：46．
17 ．（1） ．（2） ．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能解果，从中找到甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园 的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】（1）共两个公园，所以甲去 A 公园游玩的概率是 ．
（2）画树状图如下：
由树状图知共有 8 种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有 2 种 结果，
:甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(2) x1 = -2, x2 = 1
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：2x2 + 4x -1 = 0 ，
即 ，
解得：
（2）解：x (x -1) = 2 - 2x
整理得：x2 + x - 2 = 0 ， 即(x -1)(x + 2) = 0 ， : x -1 = 0, x + 2 = 0 ，
解得：x1 = -2, x2 = 1．
19 ．证明见解析
【分析】连接 BC ，根据两直线平行，内错角相等，得出 上BCE = 上CBO ，再根据等边对等 角，得出上CBO = 上BCO ，再根据等量代换，得出 上BCO = 上BCE ，进而得出
上BCD = 上BCE ，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接 BC ，
: CE Ⅱ AB ，
: 上BCE = 上CBO ， : OB = OC ，
: 上CBO = 上BCO ，
: 上BCO = 上BCE ， 即上BCD = 上BCE ， : = ，
: B 是弧DE 的中点．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、圆周角定理， 解本题的关键在熟练掌握相
关的性质、定理．
20 ．每件玩具的定价应为15 元或17 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
设每件玩具的定价为x 元，分10 < x ≤ 20 及x > 20 两种情况考虑，根据总利润= 每件的销售 利润 × 日销售量，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每件玩具的定价为x 元．
当10 < x ≤ 20 时，每件玩具的销售利润为(x -10) 元，平均每天可售出
80 + 40 (20 - x) = (880 - 40x) 件，
根据题意得：(x -10)(880 - 40x) = 1400 ，
整理得：x2 - 32x + 255 = 0 ，
解得：x1 = 15 ，x2 = 17 ；
当x > 20 时，每件玩具的销售利润为(x -10) 元，平均每天可售出80 - 5(x - 20) = (180 - 5x) 件，
根据题意得：(x -10)(180 - 5x) = 1400 ，
整理得：x2 - 46x + 640 = 0 ，
QΔ = (-46)2 - 4× 1 × 640 = -444 < 0 ， :此种情况下原方程没有实数根．
答：每件玩具的定价应为15 元或17 元．
21 ．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 圆内接四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形 的性质可得上A = 上C ，又由圆内接四边形的性质可得 上A + 上C = 180。，即得
上A = 上C = 90。，据此即可求证，掌握平行四边形及圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: 上A = 上C ，
又∵ YABCD 内接于圆， : 上A + 上C = 180。，
: 上A = 上C = 90。，
:四边形ABCD 是矩形．
22 ．(1)见解析 (2) 2
【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心， 解题的关键是理解题意，灵活 运用所学知识解决问题．
（1）先分别作Ð ABC 和Ð ACB 的平分线，相交于点O ，再过点O 作OD 丄 BC 于点D ，以 点O 为圆心，OD 的长为半径画圆，即可得△ABC 的内切圆．
（2）设 △ABC 的内切圆ΘO 分别与AB, AC 相切于点E，F ，连接OE，OF，OA ，由已知条 件可得
1 1 1 1
AB + BC + AC = 24，S△AOB + S△BOC + S△AOC = 2 AB . OE + 2 BC . OD + 2 AC . OF = 2（AB + BC + AC）. OD = 24 ,由此可得OD 的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，先分别作Ð ABC 和Ð ACB 的平分线，相交于点O ，再过点 O 作
OD 丄 BC 于点D ，以点 O 为圆心，OD 的长为半径画圆， 则ΘO 即为所求．
（2）解：设 △ABC 的内切圆ΘO 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，连接OE ，OF ，OA ， Q△ABC 的周长为24 ，
: AB + BC + AC = 24 ．
Q△ABC 的面积为24 ，OE = OF = OD ，
,
: OD = 2 ，
:它的内切圆的半径为2 ．
23 ．
【分析】本题考查列代数式， 一元二次方程的实际应用．正确的识图，准确的列出代数式和 方程，是解题的关键．
（1）利用分割法求面积，列出代数式即可；
（2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意和图可知：小正方形 ABCD 的边长为 ， ∵DG = 1m, AE = AF = x ，
: DE = 4 - x ，
:五边形EFBCG 的面积为 故答案为
（2）由题意，得 整理，得
解得： ；
:当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是 715 元
24 ．(1)①④
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式，
（1）根据美好方程的定义，看出，当a + b + c =0 时，方程有一个根为x =1 ，分别代入计算 即可．
（2）根据美好方程的定义，看出，当a + b + c =0 时，方程有一个根为x =1 ，利用根的判别 式计算判断即可．
（3）根据美好方程的定义，计算判断即可．
【详解】（1）方程x2 + 2x - 3 = 0 ，1 + 2 - 3 = 0 ，方程①是美好方程； 方程x2 - 3x = 0 ，1- 3 = -2 ≠ 0 ，方程②不是美好方程；
方程x2 + 1 = 0 ，1+1 = 2 ≠ 0 ，方程③不是美好方程；
方程x (x -1) = 2 (x -1)，整理，得 x2 - 3x + 2 = 0 ，1- 3 + 2 = 0 ，方程④
是美好方程；
故答案为：①④.
（2）:一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ， : a + b + c = 0 ，
:-b = a + c ，
: Δ = b2 - 4ac = (a + c)2 - 4ac = (a - c)2 ≥ 0 ， :美好方程ax2 + bx + c = 0总有两个实数根．
（3）方法 1 :美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 有两个相等的实数根， :(b - c ) + (c - a ) + (a - b) = 0 ，
: Δ = b2 - 4ac = (c - a )2 - 4(b - c )(a - b) = 0 ， : c2 - 2ac + a2 - 4ab + 4b2 + 4ac - 4bc = 0 ，
: c2 + 2ac + a2 - 4ab - 4bc + 4b2 = 0 ，
: (c + a )2 - 2(a + c).(2b) + (2b)2 = 0 ， : (c + a - 2b)2 = 0 ，
故c + a - 2b = 0 ， 故a + c = 2b ．
方法 2 将x = 1 代入美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 ，得 左边= (b - c ) + (c - a ) + (a - b) ，右边 = 0
:美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 有两个相等的实数根， :(b - c ) + (c - a ) + (a - b) = 0 ，
: x = 1 是美好方程(b - c )x2 + (c - a )x +(a - b) = 0 的一个根， :方程的另一个根也是x = 1 ，
: a - b = b - c ， : a + c = 2b ．
证明见解析；（2）⊙O 的半径为
【分析】（1）连接 AO 并延长交ΘO 于点 G，连接 CB、BG，根据点 OF 分别是 AGAB 中点， 得到 OF 是△ABG 的中位线，则有OF = BG ，再根据同弧所对的圆周角相等可得
上AGB = 上ECB ，直径所对的圆周角是直角可得上ABG = 90° ,则有 上BAG + 上AGB = 90° , 根据AC ^ BD ，上ECB + 上EBC = 90° ,从而可得 上BAG = 上EBC ，BG = CD ，继而可得
（2）在 Rt△AOF 中，根据勾股定理可求得ΘO 的半径． 解 理由如下：
连接 AO 并延长交ΘO 于点 G，连接 CB 、BG，
: OF 丄 AB ，
: AF = BF ，
: AO = GO ，
:OF 是△ABG 的中位线，
:AG 是ΘO 的直径，
: 上ABG = 90° ,
: 上BAG + 上AGB = 90° ,
: AC ^ BD ，
: 上CEB = 90° ,
: 上ECB + 上EBC = 90° ,
: 上AGB = 上ECB ，
: 上BAG = 上EBC ， 即上BAG = 上EBC ， : BG = CD ，
由 得 在Rt△AOF 中
:ΘO 的半径为 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理， 圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系， 解题的 关键是能够作辅助线构造以 OF 为中位线的三角形．
26 ．(1)见解析
(2) 2.4
【分析】本题考查切线的判定和性质， 解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识．
（1）连接 OM ，证出 OM Ⅱ AB ，证明 OM 丄 ME 即可；
（2）连接DM ，证明 DM ^ AC ，再由勾股定理求得DM ，最后三角形的面积公式求得结 果．
【详解】（1）证明：如图，连接 OM ，
Q 上ACB = 90° , D 为斜边的中点，
:上ACD = 上A ，
Q OC = OM ，
: 上ACD = 上OMC ，
: 上OMC = 上A ，
: OM Ⅱ AB ，
÷ME 丄 AB ，
:ME 丄 OM ，
Q OM 为半径，
:ME为ΘO 的切线；
（2）解：如图，连接DM ，
QCD = 5 ，上ACB = 90° , CD 是斜边AB 上的中线， :BD = CD = AD = 5 ，
QCD 为直径，
:上CMD = 90° ,
: AM = CM = 4 ，
27 ．（1）见解析 上A＋上
【分析】（1）连接OB 、OD ，由 上1 和 Ð C 、上2 和 Ð A 为同弧所对的圆心角和圆周角， 得出：上 上上1，已知 上1+ 上2 = 360° ,即可得出 上A + 上C = 180° ,
同理上ABC + 上ADC = 180° ;
（2）由圆内接四边形对角互补、等量代换即可求解；
（3）由 △DEF 是等边三角形得出上EDF = 上EFD = 60° ,已知 上BAC = 120° ,所以
上BAC + 上EFD = 180° , 从而得出：A 、D 、F 、E 四点共圆，由同圆或等圆中，同弧所对 的圆周角相等得：上BAF = 上EDF = 60° ；作上BAM = 60° , 点F 始终在射线AM上运动， 由 垂线段最短可知，当BF 丄 AM ，即点 F ¢ 处时，BF 最小，最后用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如下图，连接OB 、OD ， Q 上 上上1，且 上1+ 上2 = 360° ,
同理上ABC + 上ADC = 180° ,
: 上A＋上C = 上B＋上D = 180° ;
（2）上A + 上BED = 180° , Ð C ；
（3）Q △DEF 是等边三角形， : 上EDF = 上EFD = 60° ,
Q 上BAC = 120° ,
: 上BAC + 上EFD = 180° ,
: A 、D 、F 、E 四点共圆，
: 上BAF = 上EDF = 60° （同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）
:作上BAM = 60° ,点 F 始终在射线AM上运动，
由垂线段最短可知，当BF 丄 AM ，即点 F ¢ 处时，BF 最小， 在Rt△ABF ¢ 中，上1 = 30° ,
故BF 的最小值为
【点睛】本题主要考查了圆的定义， 等边三角形，含30° 的直角三角形定理，圆内接四边形 对角互补，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟知圆内接四边形对角互补和同圆
或等圆中，同弧所对的圆周角相等．