2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[江苏无锡专用 苏科版九上：一元二次方程 圆]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[江苏无锡专用 苏科版九上：一元二次方程 圆]，共46页。试卷主要包含了1-2等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置 上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：苏科版九年级上册第 1 章一元二次方程+第 2 章对称图形——圆 （2.1-2.4）．
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1 ．下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )
B ．2x2 - x = 1 C ．3x3 = 1 D ．xy = 2
2 ．把方程x (x +1) = 5 (x - 2) 化成一般式，则a + b + c 得值是( )
A ．-3 B ．7 C ．-5 D ．1
3 ．用配方法解方程x2 - 4x + 2 = 0，下列配方正确的是( )
A ．(x - 2)2 = 6 B ．(x + 2)2 = 6 C ．(x - 2)2 = 2 D ．(x + 2)2 = 2
4 ．若eO 的直径为 8cm ，点 A 到圆心 O 的距离为 4cm，那么点 A 与eO 的位置关系是 ( )
A ．点 A 在圆外 B ．点 A 在圆上 C ．点 A 在圆内 D ．不能确定
5．关于x 的一元二次方程无实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．k ≠ ±1 B ．k < 1 C ．-1 < k < 1 D ．k < -1
6 ．已知方程x2 - 2024x +1 = 0 的两根分别为m 、n ，则 的值为 ( )
A ．-2024 B ．-1 C ．1 D ．2024
7 ．下列说法中，正确的是( )
A ．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B ．优弧一定比劣弧长；
C ．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D ．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦 相等．
8 ．如图，点 A ，B ，C，D 四点均在eO 上，上AOD = 68° , AO∥DC ，则 上B 的度数为 ( )
A ．62° B ．56° C ．34° D ．54°
9 ．如图，AB 是eO 弦，半径OD 丄 AB 于点 C，AE 为直径，AB = 8, CD = 2 ，线段CE 长为 ( )
A ．2 B ．8 C ． D ．
10 ．如图，已知 P 是eO 外一点，Q 是eO 上的动点，线段PQ 的中点为 M，连接 OP，OM ，若eO 的半径为 4 ，OP = 8 ，则线段 OM 的最小值是( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）
11 ．一元二次方程 x2 ＝2x 的解为 ．
12 ．已知x = a 是关于x 的一元二次方程x2 - 3x +1 = 0的一个解，则代数式2a2 - 6a + 3的值 为 ．
13 ．若一元二次方程 ax2=b（ab>0）的两个根分别是 m+1 与 2m－4，则= .
14 ．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之 气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一 个月进馆 400 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 1456 人次，若进馆人次的 月平均增长率为x ，则可列方程为 ．
15 ．如图，AB 为eO 的直径，C、D 为圆上两点且上COD = 64° , 连接AC、BD 并延长交于 点 E，则 上E = 度．
16．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—— 筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，已知圆心 O 在水面的上方，eO 的半径长为 5 米，eO 被水面截得的弦AB 长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，则点 C 到 弦AB 的距离为 ．
17 ．如图， △ABC 内接于eO ，若 AB = AC = 10 ，BC = 12 ，则eO 的半径是 ．
18 ．如图，AB 是半径为 2 的eO 的弦，将弧AB 沿AB 将翻折后，恰好经过圆心O ，点P 是 翻折的弧AB 上的一动点；连接BP 并延长交eO 于C ，点Q 为PC 的中点，连接OQ ，则OQ 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）
19 ．解方程：
(1)用直接开平方法：(x - 2)2 - 4 = 0 ；
(2)用配方法：x2 - 4x - 3 = 0 ；
(3)用公式法：x2 - 3x +1 = 0 ；
(4)用因式分解法：(5x -1)2 = 3(5x -1) ．
20 ．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两 条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系．
(1)过A ，B ，C 三点的圆的圆心M 坐标为______；
(2)请通过计算判断点D(-3, -2) 与ΘM 的位置关系．
21 ．已知x2 + (a +3)x + a +1 = 0 是关于x 的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根：
(2)若方程的两个实数根为 x1 ，x2 ，且 (x1 - 2)(x2 - 2) = 2 ，求实数 a 的值．
22 ．如图，在ΘO 中，弦AB = AD ，点 E 在ΘO 上．
(1)如图①,若 BD 是ΘO 的直径，求上E 的度数；
(2)如图②, 在弧BD 上取一点C ，若上C = a (90 < a < 180) ，请用含a 的式子表示上E 的度 数．
23 ．如图 2 是根据图 1 中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设 所在圆的圆心为O ，拱顶为点C ，OC 丄 AB 交AB 于点D ，连接OB ．当桥下水面宽AB = 8m 时，CD = 2m ．
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为7m ，高出水面1m 的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱 桥？并说明理由．
24 ．赓续长江文脉，共创时代华章，首届长江文化艺术季于 9 月 14 日晚在湖北省武汉市隆 重开幕．某店铺购进了一批包含湖北特色美食的礼盒，进货价和销售价如下表
“热干面”礼盒
“武昌鱼”礼盒
(1)店铺购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒共 80 盒，且进货总价不高于 2900 元．若进货后全 部售出，则分别购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销 售利润是多少？
(2)店铺为了能尽快售完“热干面”礼盒，打算降价促销．若按照原价销售，平均每天可售出 6 盒，每降价 1 元，平均每天可多售出 2 盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“热干面”礼 盒平均每天的利润为 84 元？
25 ．若关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根均为整数，则称方程为“快乐方 程” ．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2 - 4ac 一定为完全平方数．现规定
为该“快乐方程”的“快乐数” ．例如“快乐方程” x2 - 3x - 4 = 0 ，的两根均
为整数，其“快乐数 若有另一个“快乐方程”
px2 + qx + r = 0 (p ≠ 0) 的“快乐数”F(p, q, r ) ，且满足r . F(a, b, c) = c . F(p, q, r )，则称F(a, b, c) 与F(p, q, r ) 互为“开心数”．
(1)“快乐方程” x2 - 2x - 3 = 0的“快乐数”为________；
(2)若关于x 的一元二次方程x2 - (2m -1)x + m2 - 2m - 3 = 0 （ m 为整数，且1< m < 6 ）是“快乐
方程”，求 m 的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于x 的一元二次方程x2 - mx + m +1 = 0 与x2 - (n + 2)x + 2n = 0 （ m 、n 均为整数）都是 “快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求 n 的值．
26．AB、CD 是ΘO 的直径，AB = 2, AB 丄 CD ，垂足为O ，点E 是弧BC 上一动点（不与 B、C 重合）， DE 与AB 交于点F ．
进货价/（元/盒）
25
45
销售价/（元/盒）
35
60
(1)求 ÐCEB 的度数；
(2)若点E 在弧BC 的中点处，求证：EF = EB ；
(3)设CE = x ．
①若x =1 ，分别计算 (DE - CE)2 与2BE2 的值，并判断它们的大小关系；
②若x 的值发生变化，请判断(DE - CE)2 与2BE2 的大小关系，并说明理由．
1 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是 2 的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】解：A ．x + = 2 不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
B ．2x2 - x = 1 符合一元二次方程定义，是一元二次方程；
C ．3x3 = 1 中未知数 x 的最高次数是 3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
D ．xy = 2 中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B．
2 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关 键．
先明确一元二次方程一般式的定义：我们把ax2 + bx + c = 0 (a 、b 、c 为常数，a ≠ 0) 称为一 元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到 a 、b 、c 的值，求和即可．
【详解】解：x (x +1) = 5 (x - 2) ． x2 + x = 5x -10 ．
x2 + x - 5x +10 = 0 ．
x2 - 4x +10 = 0 ．
故：a = 1 ，b = -4 ，c = 10 ．
:a + b + c = 1- 4 +10 = 7 ．
故选：B．
3 ．C
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的 关键.
先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可. 【详解】解：x2 - 4x + 2 = 0 ，
x2 - 4x = -2 ，
x2 - 4x + 4 = -2 + 4 ， (x - 2)2 = 2 ，
故选：C.
4 ．B
【分析】根据直径求出圆的半径，比较点 A 到圆心的距离和半径的大小即可判断点 A 和圆 的位置关系．
本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键．
【详解】:ΘO 的直径为 8 cm ， :ΘO 的半径为 4 cm ，
:点A 到圆心 O 的距离为 4 cm ， :点 A 在ΘO 上．
故选：B．
5 ．D
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，理解一元二次方程根的判别式是解 答关键．
根据一元二次方程无实数根来列出方程求解．
【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程无实数根，
:k < -1．
故选：D．
6 ．B
【分析】本题考查了根与系数的关系， 一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义 得到m2 - 2024m +1 = 0，再根据根与系数的关系得到 mn = 1，最后代入求值即可．
【详解】解：方程x2 - 2024x +1 = 0 的两根分别为m 、n ，
: m2 - 2024m +1 = 0 ，mn = 1，
故选：B．
7 ．D
【分析】本题考查圆心角， 弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关
系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误．
B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中；
D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D．
8 ．B
【分析】根据 AO∥DC 得到上AOD = 上ODC = 68° ,继而得到 上COD = 44° ,根据圆周角定 理解答即可．
【详解】解：∵ AO∥DC ，上AOD = 68° , : 上AOD = 上ODC = 68° ,
∵ OD = OC ，
: 上AOD = 上ODC = 上OCD = 68° , : 上COD = 44° ,
: 上AOC = 上AOD + 上COD = 112° ,
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理， 熟练掌握性质和定理是解题的关键．
9 ．D
【分析】本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考 查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出AC 的长，设ΘO 的半径为r ，在Rt△OAC 中利用勾股定理求出r 的值，易得AE = 2r ，连接BE ， 由AE 是直径，根据圆周角定理得到上ABE = 90° ,利用OC 是 △ABE 的中位线得到
BE = 2OC = 6 ，然后在 Rt△CBE 中利用勾股定理可计算出CE ． 【详解】解：连接 BE ，如图，
Q OD 丄 弦AB ，AB = 8 ，
设eO 的半径OA = r ，
: OC = OD - CD = r - 2 ， 在Rt△OAC 中，
r2 = (r - 2)2 + 42 ，
解得：r = 5 ，
: AE = 2r = 10 ；
Q OD = 5 ，CD = 2 ，
: OC = 3 ，
Q AE 是直径，
:上ABE = 90° ,
Q OC 是 △ABE 的中位线， :BE = 2OC = 6 ，
在Rt△CBE 中 ．
故选：D
10 ．A
【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理， 熟练掌握相关定理是 解题的关键．
设OP 与eO 交于点 N，连接MN, OQ ，如图，由题意可知 ON＝OP，从而可知 MN 为△POQ 的中位线，由三角形中位线的性质可知 当点 M、O 、N 在一条直线 上时，OM 有最小值，接下来依据OM = ON - MN 求解即可．
【详解】解：设OP 与eO 交于点 N，连接MN, OQ ，如图，
∵ OP = 8 ，ON = 4 ， :N 是OP 的中点．
∵M 是PQ 的中点，N 是OP 的中点， : MN 为△POQ 的中位线，
:点 M 在以 N 为圆心，2 为半径的圆上． ∵当点 M 在ON 上时，OM 最小，
:线段OM 的最小值为ON- MN = 4 - 2 = 2 ．
故选：A．
11．x1 ＝0，x2 ＝2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】移项得 x2－2x=0，即 x（x－2）=0， 解得 x=0 或 x=2．
故答案为：x1 = 0, x2 = 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配 方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12 ．1
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方 法是解题的关键．将x = a 代入x2 - 3x +1 = 0，得出 a2 - 3a = -1，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵x = a 是关于x 的一元二次方程x2 - 3x +1 = 0的一个解，
:将x = a 代入x2 - 3x +1 = 0 ， 得：a2 - 3a +1 = 0 ，
: a2 - 3a = -1，
: 2a2 - 6a + 3 = 2 (a2 - 3a )+ 3 = 2 × (-1) + 3 = 1， 故答案为：1．
13 ．4
【分析】利用直接开平方法得到 ，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0， 解得 m=1，则方程的两个根分别是 2 与-2，则有 然后两边平方得到
【详解】由 ax2 = b(ab >0) 得 解得 ，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程 ax2=b（ab>0）的两个根分别是 m+1 与 2m－4， :m+1+2m－4=0，解得 m=1，
:一元二次方程 ax2=b（ab>0）的两个根分别是 2 和-2，
14 ．400 + 400(1+ x) + 400(1+ x)2 = 1456
【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆 400 人次，进馆人 次逐月增加，到第三个月末累计进馆 1456 人次，设月平均增长率为x ，得到第二个月和第 三个月进馆人次，求和即可得到方程．掌握增长率问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：Q 第一个月进馆 400 人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为
,
x
:第二个月进馆400(1+ x)人次；第三个月进馆400(1+ x )2 人次；
由到第三个月末累计进馆 1456 人次可得方程400 + 400(1+ x )+ 400(1+ x )2 = 1456 ， 故答案为：400 + 400 (1+ x )+ 400(1+ x )2 = 1456 ．
15 ．58
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得 则可推出
用平角的定义求出 上BOD + 上AOC 的结果， 则可求出上EAB + 上EBA 的结果，据此根据三角形内角和定理即可得到答案．
解 : 上EAB + 上EBA
= = 上BOD + 上AOC) + 上COD ，
∵ 上COD = 64° ,
:∠BOD +∠AOC = 180° - 上COD = 116° ,
:∠E = 180° - (∠EAB + ∠EBA) = 58° , 故答案为：58 ．
16 ．2 米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关 键．连接OA 、OC ，OC 交AB 于点D ，由垂径定理得 AD = BD = AB = 4 （米) ，再由勾 股定理得OD = 3（米) ，然后求出CD 的长即可．
【详解】解：如图，连接 OA 、OC ，OC 交AB 于点D ，
由题意得：OA = OC = 5 米，OC 丄 AB ，
: AD = BD = AB = 4 （米) ，上ADO = 90° , : OD = = = 3 （米) ，
: CD = OC - OD = 2 米，
故答案为：2 米．
17 ．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质， 垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内 容是解题的关键．先结合AB = AC = 10 ，BO = OC ，得AO 所在的直线是BC 的垂直平分线， 则A, O, H 三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解： 过点A 作AH丄 BC ，连接 BO, OC
∵ AB = AC = 10 ，BO = OC ，
: AO 所在的直线是BC 的垂直平分线， : A, O, H 三点共线，
在Rt△ABH 中 设ΘO 的半径是r ，
则HO = 8 - r ，
在Rt△OHB 中，BO2 = HO2 + BH2 ， : r2 = (8 - r )2 + 62 ，
解得 ，
故答案为： ．
18 ．
【分析】连接OA, OB, AP ，作OM 丄 AB ，求出 OM ，并根据特殊的直角三角形性质求出边 长和角度，确定△ACP 为等边三角形，再连接AQ, QM ，求出QM ；根据三角形两边之差小 于第三边的性质可得QM - OM ≤ OQ ，从而可求得答案．本题考查圆的性质，勾股定理，等 边三角形的判定与性质，以及利用三角形三边关系求线段最值，作出相关辅助线是解题关键． 【详解】如图，连接OA, OB, AP ，作OM 丄 AB ，交 AB M，交圆于点 N，
由翻折可知 : △AON 是等边三角形 : 上OAB = 30° ,
: OA = OB
: Ð OAB = Ð OBA = 30 ,
:上AOM = 上BOM = 60° ,
: Ð AOB = 120 ,
: Ð APC = 60 ,
:△ACP 为等边三角形， 连接AQ, QM ，
Q 点Q 为PC 的中点，
: 由三线合一性质可得：AQ 丄 CP ，即 上AQB = 90 ， QOM 丄 AB,
: 由垂径定理可得：M 为AB 中点，
QOQ ≥ QM - OM ，当Q, O, M 三点共线时取等号，
: OQ ≥ -1．
故答案为： -1．
19 ．(1) x1 = 4, x2 = 0
(2) x1 = 2 + , x2 = 2 -
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）把 4 移到右边，再直接开平方求解即可；
（2）把 3 移到右边，再对左边配完全平方，再直接开平方求解即可；
（3）先求判别式，再根据求根公式求解即可；
（4）把3(5x -1) 移到左边，再因式分解，可得到两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：(x - 2)2 = 4 ，
x - 2 = ±2 ，
x1 = 4, x2 = 0 ；
（2）解：x2 - 4x = 3 ， x2 - 4x + 4 = 7 ，
(x - 2)2 = 7 ，
x1 = 2 + , x2 = 2 - ；
（3）解：a = 1, b = -3, c = 1 ，
Qb2 - 4ac = (-3)2 - 4× 1 × 1 = 9 - 4 = 5 > 0 ，

（4）解：(5x -1)2 - 3(5x -1) = 0 ， (5x -1)(5x - 4) = 0 ，
5x -1 = 0 或5x - 4 = 0 ，
20 ．(1)(1, -2)
(2) D 在圆M 外
【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系， 根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．
（1）连接 AB ， AC ，分别作 AB ， AC 的垂直平分线，两直线交于点M ，就是过A ，B ， C 三点的圆的圆心，由图形可得M 的坐标；
（2）分别求出 MD 和MB 的长度进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：如图，连接 AB ，AC ，分别作 AB ，AC 的垂直平分线，两直线交于点 M ，
:M 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心，
:M (1, -2) ．
（2）QM (1, -2) ，D (-3, -2) ，B (0,1)，
:MD > MB ，
: 点D 在ΘM 的外部．
21 ．(1)见解析
(2) a = -3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与
Δ = b2 - 4ac 有如下关系：① Δ > 0 ，方程有两个不相等的实数根，② Δ = 0 ，方程有两个相 等的实数根，③ Δ < 0 ，方程没有实数根．关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两 个实数根 x1 ，x2 和系数a ，b ，c ，有如下关系 ．
（1）求出 Δ = (a +1)2 + 4 > 0 即可得证；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得出x1 + x2 = - (a + 3) ，x1 . x2 = a +1，结合 (x1 - 2)(x2 - 2) = 2 得出x1 . x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = 2 ，代入计算即可得解．
【详解】（1）证明：
Δ = (a + 3)2 - 4× 1 × (a +1) = a2 + 6a + 9 - 4a - 4 = a2 + 2a + 5 = (a +1)2 + 4 > 0 ， 故方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两个实数根为 x1 ，x2 ， : x1 + x2 = - (a + 3) ，x1 . x2 = a +1，
∵(x1 - 2)(x2 - 2) = 2 ，
: x1 . x2 - 2x1 - 2x2 + 4 = 2 ， : x1 . x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = 2 ， : a +1- 2- (a + 3) + 4 = 2 ， 解得：a = -3 ．
22 ．(1)135°
(2)上E = 180° - a
【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接 AC ，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到 Ð E 和a 的关系．
本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识 是解答本题的关键．
【详解】（1）∵ BD 是ΘO 的直径，
:上BAD = 90°, 又Q AB = AD,
:△ABD 是等腰直角三角形，
:上ABD = 上ADB = 45°,
∵四边形ABDE 是ΘO 的内接四边形，
:上E = 180° - 上ABD = 180° - 45° = 135°;
（2）如图，连接 AC ，
Q AB = AD,
一 一
: AB = AD,
:上ACB = 上ACD = 上ABD,
Q 上BCD = a,
∵四边形ABDE 是ΘO 的内接四边形， :上ABD + 上E = 180°,
23 ．(1)这座石拱桥主桥拱的半径为5m
(2)此渔船不能顺利通过这座桥
【分析】本题主题考查圆的基础知识， 勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运 用是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，AD = BD ，上ODB = 90° ,设主桥拱半径为 R ，可得 OD = OC - CD = R - 2 ，根据勾股定理即可求解；
（2）如图，设MN 为该渔船的上端，连接ON ，根据题意可求出CE 的值，根据勾股定理可 求出NE，MN 的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ OC 丄 AB ， : AD = BD ，
设主桥拱半径为R ，由题意可知 AB = 8 ，CD = 2 ，
∵ 上ODB = 90° ,
: OD2 + BD2 = OB2 ，
: (R - 2)2 + 42 = R2 ，解得，R = 5 ， :这座石拱桥主桥拱的半径为5m ．
（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设MN 为该渔船的上端，连接ON ，
: CD = 2m ，船舱顶部为长方形并高出水面1m ， : CE = 2 -1 = 1(m) ，
: OE = 5 -1 = 4 (m) ，
在Rt△OEN 中，由勾股定理得 : MN = 2EN = 6 < 7 ，
:此渔船不能顺利通过这座桥．
24 ．(1)购进“热干面”35 盒，购进“武昌鱼”45 盒时，有最大利润，最大利润为1025 元
(2)“热干面”销售价定为每盒31 元，能使“热干面”平均每天销售利润为 84 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以 及一次函数的应用是解题的关键．
（1）设购进件“热干面”x 盒，则“武昌鱼”为(80 - x)盒，利用总价= 单价× 数量，结合总价不 超过 2900 元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，计算再次购进 的两款纪念品全部售出后获得的总利润，利用总利润= 每件的销售利润× 销售数量，即可得 出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（2）设“热干面”销售价定为每盒a 元，利用平均每天销售“热干面”获得的总利润= 每件的销 售利润× 平均每天的销售量，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设分别购进“热干面”x 盒，则“武昌鱼”为(80 - x)盒， 25x + 45 (80 - x) ≤ 2900 ，
解得：x ≥ 35 ，
设利润为w 元，
利润为：w = (35 - 25)x +(60 - 45)(80 - x) = -5x +1200 ， ∵ -5 < 0 ，
: w 随 x 的增大而减少，
:当x =35 时，w 有最大值，最大值为1025 ，
:购进“热干面”35 盒，购进“武昌鱼”45 盒时，有最大利润，最大利润为1025 元；
（2）解：设“热干面”销售价定为每盒a 元，
(a - 25) 2 (35 - a ) + 6 = 84 ， 解得：a1 = 32 ，a2 = 31，
∵为尽快售完，
: a = 31 ，
答：“热干面”销售价定为每盒31 元，能使“热干面”平均每天销售利润为 84 元．
25 ．(1) -4
(3)n 的值为 0 或 3
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方 程” ， “快乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程” x2 - 2x - 3 = 0的“快乐数”；
（2）先计算 Δ = b2 - 4ac = 4m + 13 ，根据“快乐方程”的定义，得到4m + 13 为完全平方数，根据
1 < m < 6 ，得到17 < 8m + 13 < 37 ，即可求出4m + 13 = 25 或 36，根据 m 为整数，即可求出 m 的 值，即可求其“快乐数”；
（3）关于 x 的一元二次方程x2 - mx + m +1 = 0 是“快乐方程”，即可求出 m 的值，求出方程 x2 - (n + 2)x + 2n =0 的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出 n 的值．
【详解】（1）解：方程x2 - 2x - 3 = 0的“快乐数为 故答案为：-4 ；
（2）解：方程x2 - (2m -1)x + m2 - 2m - 3 = 0 ， : Δ = b2 - 4ac = 4m + 13 ，
∵1< m < 6 ，
: 17 < 4m +13 < 37 ，
又方程x2 - (2m -1)x + m2 - 2m - 3 = 0 是“快乐方程”， : 4m + 13 = 25 或 36，
:方程为：x2 - 5x = 0 ，
故其“快乐数”数是 ；
（3）解：x2 - mx + m +1 = 0 ，
: Δ = (-m)2 - 4(m +1) = (m - 2)2 - 8 ， 设 Δ = a2 ，
则(m - 2 + a )(m - 2 - a ) = 8 ， 又m - 2 + a 与m - 2 - a 同奇偶，
: í 或 í 或 í 或 í
ìm - 2 + a = 4 ìm - 2 + a = 2 ìm - 2 + a = -4 ìm - 2 + a = -2
lm - 2 - a = 2 lm - 2 - a = 4 lm - 2 - a = -2 lm - 2 - a = -4 解得m = 5 或-1，
:方程为：x2 - 5x + 6 = 0 或x2 + x = 0 ； x2 - (n + 2)x + 2n = 0 ，
: Δ = (n - 2)2 ，
当m = 5 时 ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
解得：n = 3 或
当m = -1 时 ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
解得n = 0 ，
综上，n 的值为 0 或 3．
26 ．(1)135°
(2)证明见解析
(3)① (DE - CE)2 = 4 - 2 ，2BE2 = 4 - 2 ，(DE - CE)2 = 2BE2 ；@ (DE - CE）2 = 2BE2 ，理由
见解析
【分析】（1）连接CB ，如图所示，由 AB、CD 是eO 的直径，AB 丄 CD ，得到
OB = OC, Ð CED = 90 , Ð BOC = 90 ，利用等腰直角三角形性质得到上BCD = 45 ，再由圆周 角定理求解即可得到答案；
（2）连接 BD ，如图所示，由点 E 在弧BC 的中点，则 = ，由圆周角定理得到
上CBE = 上CDE = 上BDE ，结合等腰直角三角形的判定与性质，得到
Ð FBE = Ð OBC + Ð CBE = 45 + Ð CBE、 Ð EFB = Ð BDE + Ð OBD = 45 + Ð BDE ，即可由等 腰三角形判定与性质得证；
（3）①在Rt△CDE 中， 由勾股定理得到相关线段及角度，即可得到 (DE - CE)2 = 4 - 2 ， 再由含30 直角三角形性质、勾股定理求出2BE2 = 4 - 2 ，即可得到答案；@连接CB ，
连接BD ，过点B 作BH 丄 BE ，如图所示，由 Ð BEH = Ð BCD = 45 ，判定△BEH 是等腰直 角三角形，进而由等腰直角三角形性质得到BE = BH, HE = 2BE, Ð BHE = 45 ，再结合圆 周角定理确定上BCE = 上BDE ，从而由两个三角形全等的判定与性质得到 DH = CE ，数形 结合代入HE = 2BE = DE - DH = DE - CE ，即可得证 (DE - CE)2 = ( BE)2 = 2BE2 ．
本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定 理、外角性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含30° 直角三角形性质、三角形全等 的判定与性质等知识．熟练掌握圆的相关性质、掌握解题所需的几何性质与判定， 并灵活运
用是解决问题的关键．
【详解】（1）如图，连接CB ，
∵ CD 是ΘO 的直径， : 上CED = 90° ,
∵ AB 丄 CD ，
: 上BOC = 上BOD = 90° , ∵ OB = OC ，
: 上BCD = 上OBC = 45° ,
∵ B = B ，
: 上BED = 上BCD = 45° ,
: 上CEB = 上CED + 上BED = 90° + 45° = 135° ;
（2）如图，连接 BD ，
∵点E 在弧BC 的中点处，
: = ，
: 上CBE = 上CDE = 上BDE ， 由（1）可知：上OBC = 45° ,
: 上FBE = 上OBC + 上CBE = 45° + 上CBE ， ∵OB = OD, 上BOD = 90° ,
: 上OBD = 45。，
: 上EFB 是 △BDF 的一个外角，
: 上EFB = 上OBD + 上BDE = 45。+ 上BDE ，
: 上EFB = 上EBF ， : EF = EB ；
（3）①: CD = 2, CE = 1，
: DE = = , 上CDE = 30。， : 上OFD = 60。，
:(DE - CE )2 = ( -1)2 = 3 - 2 +1 = 4 - 2, 设OF = y ，则DF = 2y ，
: OD = y = 1，解得： ，
如图，过点E 作EH 丄 AB ，
: Rt△EFH 中，上EFH = 上OFD = 60。， : 上FEH = 30。，
:EH = FH = ，
则2BE2 = 4 - 2 ，
: (DE - CE )2 = 2BE2 ；
@ (DE - CE )2 = 2BE2 ，理由如下：
如图，连接BC ，连接 BD ，过点 B 作BH丄 BE 交DE 于点H ，
: 上BOD = 90° ,
:匕BED = 匕BOD = 45° , : BH 丄 BE ，
: 上BHE = 45° ,
: BE = BH, 上DHB = 180° - 上BHE = 180° - 45° = 135° = 上CEB ， : HE = BE ，
: = ，
: 上BCE = 上BDH ，
在 △BCE 和 △BDH 中，
ï
í上BCE = 上BDH ，
ì上CEB = 上DHB
ïlBE = BH
:△BCE≌△BDH (AAS), :DH = CE,
:HE = BE = DE - DH = DE - CE, :(DE - CE )2 = ( BE )2 = 2BE2 .