2025_2026学年湖南省长沙怡海中学九年级上册数学入学考试卷

这是一份2025_2026学年湖南省长沙怡海中学九年级上册数学入学考试卷，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．抛物线 的顶点坐标为 ( )
A ．（3 ，1） B ．（ -3 ，1） C ．（ 1）
2 ．在。ABCD 中,对角线AC , BD 相交于点O , 以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系,其中 A(a, b) , B(a -1, b + 2) , C(3,1) ,则点D 的坐标是( )
A ．(4, -1) B ．(-3, -1) C ．(2,3) D ．(-4,1)
3 ．下列说法中，不正确的是( )
A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B ．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C ．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D ．有一组邻边相等的矩形是正方形
4 ．若一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是( )
A ．ab＞0 B ．a -b＞0 C ．a2+b＞0 D ．a+b＞0
5 ．《义务教育课程标准（2022 年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程， 并做出明确 规定．某班有 7 名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3 ，5 ，4 ，6 ，3 ，3 ，4，则这组数 据的众数和中位数分别是( )
A ．3 ，4 B ．4 ，3 C ．3 ，3 D ．4 ，4
6 ．关于x 的一元二次方程(k +1)x2 - 2x +1 = 0 有两个实数根，则k 的取值范围是( )
A ．k ≥ 0 B ．k ≤ 0 C ．k < 0 且k ≠ -1 D ．k ≤ 0 且k ≠ -1
7 ．已知 x1 、x2 是一元二次方程x2 + x - 2 = 0 的两个实数根，则x1 + x2 + x1x2 的值是( )
A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3
8 ．将抛物线y = x2 - 6x + 5 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛 物线解析式是( )
A ．y = (x - 4)2 - 6 B ．y = (x -1)2 - 3 C ．y = (x - 2)2 - 2 D ．y = (x - 4)2 - 2
9 ．已知二次函数y = (x - h)2 （ h 为常数），当自变量x 的值满足-1≤x≤3 时，与其对应的函数 值y 的最小值为 4，则 h 的值为( )
A ．1 或 5 B ．-5 或 3 C ．-3 或 1 D ．-3 或 5
10．如图①, 点 P 为矩形 ABCD 边上一个动点，运动路线是 A→B→C→D→A，设点 P 运动 的路径长为 x，S△ABP＝y，图@是y 随 x 变化的函数图象，则矩形对角线AC 的长是( )
A ．2 ·、/5 B ．6 C ．12 D ．24
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．在 △ABC 中，∠C = 90 , AC = 3, BC = 4 ，点D, E, F 分别是边AB, AC, BC 的中点，则 △DEF 的周长是 ．
12．一个平行四边形的两条对角线的长分别为 4 和 10，则它的一边长x 的取值范围是 ．
13 ．如图，在平面直角坐标系中，直线AB : y = kx + b 与直线OA: y = mx 相交于点A(-1, -2) ， 则关于x 的不等式kx + b < mx的解集是 ．
14 ．三角形的每条边的长都是方程x2 - 6x + 8 = 0的根，则三角形的周长是 ．
15．已知函数 的图象如图所示，若直线y = x + m 与该图象恰有三个不同 的交点，则 m 的取值范围为 ．
16 ．如图，抛物线y1 = a (x + 2)2 - 3 与 +1 交于点A(1, 3) 过点A 作x 轴的平行线， 分别交两条抛物线于点 B 、C，则以下结论：
①无论x 取何值，y2 的值总是正数；② ③当x =0 时，y2 - y1 = 4 ；④2AB = 3AC ； 其中，结论正确的是 （填写序号即可）
三、解答题（共 9 小题，其中 17 、18 、19 题每题 6 分，20 、21 题每题 8 分，
22 、23 题每题 9 分，24 、25 题每题 10 分，共 72 分）
17 ．计算
18 ．解方程：
(1) (x - 2)2 - 9 = 0 ；
(2) x2 - 3x +1 = 0 ．
19 ．先化简，再求值 其中
20．某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一 类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况， 随机选取部分 学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，回答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角a = ______度；
②补全条形统计图；
(2)若该校共有 400 名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数．
21 ．已知：如图，在□ABCD 中，点 E 、F 分别在 AD 、BC 上，EF 与 BD 相交于点 O，
AE=CF．
（1）求证：OE=OF；
（2）连接 BE 、DF，若 BD 平分 0时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = b2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ = b2 - 4ac < 0时，方程没有实数根．
7 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握“一元二次方程的根与系数关系
、 是解题的关键．
【详解】解：Qx1 、x2 是一元二次方程x2 + x - 2 = 0的两个实数根，
:x1 + x2 + x1x2 = -1+ (-2) = -3 ，
故选：D
8 ．D
【分析】由平移可知， 抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求 出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：y = x2 - 6x + 5 = (x - 3)2 - 4 ，即抛物线的顶点坐标为(3, -4) ，
把点(3, -4) 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为(4, -2) ， 所以平移后得到的抛物线解析式为y = (x - 4)2 - 2 ．
故选 D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的 坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9 ．D
【分析】由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值 0，抛物线开口向上，当x > h 时，y 随 x 的增大而增大；当x < h 时，y 随 x 的增大而减小；根据-1 ≤ x ≤ 3 时，函数的最小值为 4 可 分如下三种情况：①若h < -1≤ x ≤ 3 ，x = -1 时，y 取得最小值4；②若-1＜h＜3 时，当 x=h 时，y 取得最小值为 0，不是 4；③若-1 ≤ x ≤ 3 < h ，当 x=3 时，y 取得最小值 4，分别列出关 于 h 的方程求解即可．
【详解】解： ∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当x < h 时，y 随 x 的增大而减小，并且抛 物线开口向上，
:①若h < -1 ≤ x ≤ 3 ，当 x = -1 时，y 取得最小值 4， 可得：4 = (-1 - h)2 4，
解得h = -3 或h = 1（舍去）；
②若-1＜h＜3 时，当 x=h 时，y 取得最小值为 0，不是 4， :此种情况不符合题意，舍去；
③若-1≤x≤3＜h，当 x=3 时，y 取得最小值 4，
可得：4 = (3 - h)2 ，
解得：h=5 或 h=1（舍）．
综上所述，h 的值为-3 或 5， 故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题 的关键．
10 ．A
【分析】根据题意易得 AB+BC=6，当点 P 运动到 C 点时三角形 ABP 的面积为 4，故而可求
出 AB 、BC 的长，进而求出 AC．
【详解】解：由图像及题意可得：AB+BC=6，
当点 P 运动到 C 点时三角形 ABP 的面积为 4 ，即S△
:AB=2 ，BC=4 ，在Rt△ABC 中 故选 A．
【点睛】本题主要考查函数与几何， 关键是根据图像得到动点的运动路程，然后利用勾股定 理求解线段的长即可．
11 ． 6
【分析】首先利用勾股定理求得斜边长，然后利用三角形中位线定理求得答案即可． 【详解】解：∵Rt△ABC 中， -1
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数图象确定不等式的解集是解题关 键．
观察函数图象得到当x > -1 时，函数y = kx + b 的图象都在y = mx 的图象下方，由交点即可 得出不等式的解集．
【详解】解：当 x > -1 时，函数y = kx + b 的图象都在y = mx 的图象下方， 所以不等式kx + b < mx 的解集为x > -1 ；
故答案为x > -1 ．
14 ．6 或 10 或 12
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程 x2 - 6x + 8 = 0的根，进行分情况计算．
【详解】由方程x2 - 6x + 8 = 0，得x =2 或 4． 当三角形的三边是 2 ，2 ，2 时，则周长是 6；
当三角形的三边是 4 ，4 ，4 时，则周长是 12；
当三角形的三边长是 2 ，2 ，4 时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是 4 ，4 ，2 时，则三角形的周长是 4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是 6 或 12 或 10．
故答案为：6 或 10 或 12
15 ．
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质，根据直线y = x + m 与y= -x 有一个 交点，与y = -x2 + 2x 有两个交点即可求解．
【详解】解：直线y = x + m 与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y= -x 有一个交点， : m > 0 ，
:与y = -x2 + 2x 有两个交点， : x + m = -x2 + 2x ，
△= 1- 4m > 0 ，
: m < ，
故答案为0 < m < ．
16 ．①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用二次函数的性质，对于抛物线
,当 x =3 时，y 有最小值为 1，则可对①进行判断；把 A 点坐标代入
y1 = a (x + 2)2 - 3 可求出 a 的值，则可对②进行判断；当x =0 时通过计算从而可对③进行判 断；利用对称性求出 B 、C 的坐标，然后计算出AB 和AC 的长，从而可对④进行判断．
【详解】解：①:抛物线+1 开口向上，顶点坐标在 x 轴的上方， :无论 x 取何值，y2 的值总是正数，故本结论正确；
②把A(1, 3) 代入抛物线y1 = a (x + 2)2 - 3 得3 = a(1 + 2)2 一3，解得 故本结论正确；
③由两函数图象可知，抛物线y1 = a (x + 2)2 - 3 解析式为一3 ，当x =0 时， 一3 = 一 故 故本结论错误；
④:抛物线y1 = a 2 - 3 与交于点A(1,3.)， : y1 的对称轴为x = -2 ，y2 的对称轴为x = 3 ，
:B(一5,3),C(5,3)
:AB = 1一(一5) = 6 ，AC = 5一1 = 4， : 2AB = 3AC ，故本结论正确．
故正确的结论为：①②④.
故答案为：①②④.
17 ．0
【分析】本题考查了实数的运算， 涉及了二次根式的化简、绝对值的化简、负整数次幂和零 次幂知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，先分别计算出绝对值、负整数次幂、二次根式 的化简以及零次幂，再进行计算即可．
【详解】解：原式 = 4 + ( —3) — 2 + 1
= 0 ．
18 ．(1) x1 = -1，x2 = 5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程 即可得到答案；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：(x - 2)2 - 9 = 0 ， (x - 2)2 = 9 ，
x - 2 = ±3 ，
解得x1 = -1，x2 = 5 ；
（2）解：∵ x2 - 3x +1 = 0 ，
: a = 1，b = -3，c = 1 ，
: Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4× 1 × 1 = 5 ，
解得
【分析】先化简分式，再代值求解即可；
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
20 ．(1)①40；54；②见解析
(2)160 人
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联， 由样本估计总体等知识．由条形统计图 和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
（1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数 得出其所占比例，再乘以360° 即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图；
（2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取了16 ÷ 40% = 40 名学生．
扇形统计图中圆心角 ．
故答案为：40；54；
②此次调查声乐小组的人数为40× 45% = 18 名， 故补全条形统计图如下：
解 名，
答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有 160 人．
21 ．（1）详见解析；（2）四边形 EBFD 是菱形
【分析】（1）连接 BE、DF，证明四边形 EBFD 为平行四边形，根据平行四边形的性质即可 求解.
（2）根据 BD 平分