长沙市怡海中学2025届九年级下学期入学考试数学试卷(含解析)

这是一份长沙市怡海中学2025届九年级下学期入学考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列数是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大
4．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．下列叙述错误的是（ ）
A．菱形的四条边都相等B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．一个角是直角的四边形是矩形
7．如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
8．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．小明吃早餐用了B．小明读报用了
C．食堂到图书馆的距离为D．小明从图书馆回家的速度为
9．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）．
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．若代数式有意义，则的取值范围是 ．
12．圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面面积为 ．
13．在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为 ．
14．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是 ．
15．如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么．的正切值是 ．
16．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简再求值：，其中．
19．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出绕原点逆时针旋转得到；并写出点的坐标；
(2)请画出以原点为位似中心，将扩大（且对应点位于位似中心两侧），使变换后得到的与对应边的比为，并写出点的坐标．
20．北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；短道速滑所在扇形圆心角度数为______．
(2)补全条形统计图；
(3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪的概率．
21．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为24，，，求的长．
22．2025年春节期间，中国海警在黄岩岛海域的巡航活动是例行任务的一部分，旨在维护国家主权和海洋权益，确保海上安全与秩序．中国对黄岩岛及其周边海域拥有无可争辩的主权，海警的行动严格遵守国际法和中国国内法律．如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
(1)求的度数；
(2)已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？
23．如图所示，的顶点A，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接，，已知．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求弓形阴影部分的面积．
24．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：________，________；
(2)如图2，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点A，点，当时，求直线的解析式；
(3)如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值．
25．如图所示，在半径为2的扇形中，，点是劣弧上的一个动点，，，垂足分别为、．
(1)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
(2)当点沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；
(3)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域．
《湖南省长沙市怡海中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷》参考答案
1．A
A. 是有理数；
B. 不是有理数；
C. 不是有理数；
D. 不是有理数．
故选：A．
2．C
解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．A
解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；
选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；
选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意；
选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；
故选：．
4．B
解：A、，故本选项不符合题意；
B、，从左到右的变形属于因式分解；
C、，故本选项不符合题意；
D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．D
解：A. 菱形的四条边都相等，故该选项正确，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意；
C. 矩形的对角线相等，故该选项正确，不符合题意；
D. 一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意；
故选D
7．B
∵为的直径，
∴，
∵，∴，
∴.
故选B.
8．D
解：A、小明吃早餐用了，A正确；
B、小明读报用了，B正确；
C、食堂到图书馆的距离为，C正确；
D、小明从图书馆回家的速度为，D错误；
故选D．
9．C
解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：C．
10．C
解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
，
．
设，则．
∵四边形为菱形，
∴，
，即，
，
，，
，故①正确；
，故②错误；
∵，
．
在中，，，由勾股定理可得，
．
∵轴，，
∴，
∴，
∴．
为中点，即，
，，
，
．
双曲线过点，
，
双曲线解析式为．
由上可知，，故可设，
将其代入双曲线，得，
，
，故③正确；
，
，故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
11．
解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
∵圆锥母线长为10，高为6，
∴圆锥底面半径为，
∴圆锥侧面积为．
故答案为：．
13．
解：∵函数的图象的对称轴为直线，
∴点与点对称，
∴，
∵函数图象开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．/
解：设，，则，
∴，，
∵，
即
整理得：，
变形得：，
令，则，
∴原始，
解得，，
∴，
∴（舍去），
∴．
16．
解：如图，过点D作于H，过点C作于M．
∵，
∴，
∵，
设，，
∵，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，，，
∴（等腰三角形两腰上的高相等），
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．2
解：
．
18．，
解：
，
∵，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴原式．
19．(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
（1）解：绕原点逆时针旋转得到，如图，
∵，
∴；

（2）解：以原点为位似中心，将扩大（且对应点位于位似中心两侧），使变换后得到的与对应边的比为，如图，
∵，
∴．

20．(1)；；；
(2)见解析
(3)
（1）解：由图知花样滑冰人数为人，所占百分比为，所以有（人），
该校共有名学生，则爱好花样滑冰运动的学生有（人），
短道速滑人数为人，所占比为，
则短道速滑所在扇形圆心角度数为．
故答案为：，，．
（2）解：由扇形统计图中单板滑雪所占百分比为，
所以单板滑雪人数为（人），
自由式滑雪的人数为（人），可画图如下：
（3）解：由题可列表如下：
由表可知，总的可能性有种，其中恰有一项为自由式滑雪的有种，
其中恰有一项为自由式滑雪的概率为．
21．(1)见解析
(2)5
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴菱形的周长为：，
∴，
∵，
∴，
又 ，
∴是等边三角形，
∴．
22．(1)的度数为
(2)海监船继续向正东方向航行是安全的．
（1）解：如图，过点作于点，
由题意得，，，
，
故的度数为；
（2）解：由（1）可知，
（海里）
在中，（海里），
，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴直线是的切线．
（2）解：①证明：
由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)焦点坐标为，准线的方程为
(2)或
(3)
（1）解：∵的焦点为，准线方程为，
而中，，
∴，
∴的焦点坐标为，准线的方程；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知，的焦点坐标为，
设过点的直线解析式为，，
联立，
∴，
∴，
∴，
设直线与x轴的交点为M，
令，
解得，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或
（3）解：过点P作交于点E，作交于点G，设直线m交x轴于点H，
由（1）结论可知，，如图．
若使得取最小值，即的值最小，
故当F，P，E三点共线时，，即此刻的值最小；
中，令，则；令，则，解得．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴的最小值为．
25．(1)
(2)
(3)
（1）解：存在，不变．
如图，连接，
则．
∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图；
∵，，
∴，
∴是和外接圆直径，
∴也是外接圆直径，
∴点P在上，
∴，
当点沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点时，点P从上运动到上，
∴所经过的路径的长度为：．
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴．
如图，过D作，垂足为点F．
∴．，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
∴．
∴．