人教版（2024）二次函数单元测试复习练习题

这是一份人教版（2024）二次函数单元测试复习练习题，共43页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二十二章 二次函数 单元测试
总分：120 分
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.
1 ．下列函数属于二次函数的是( )
A ．y = 3x -1 B ．y = x3 + c C ．y = 2x2 - 2x + 1 D ．
2 ．函数y = -3(x - 2)2 - 4 的图象的顶点坐标是( )
A ．(3, 4) B ．(-2, 4) C ．(2, 4) D ．(2, -4)
3 ．在平面直角坐标系中，二次函数y = x2 + 2 的图象大致是( )
A ． B ．
C．
D．
4 ．将二次函数y= x2 图象向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位后，所得图象的函数解 析式是( )
A ．y = (x - 3)2 + 5 B ．y = (x - 3)2 - 5
C ．y = (x + 3)2 + 5 D ．y = (x + 3)2 - 5 5 ．点(-1, y1 ), (4, y2 ) 在抛物线y = -(x -1)2 + 2 上，则( )
A ．y1 < y2 B ．y1 > y2 C ．y1 = y2 D ．y1 ≥ y2
6 ．关于二次函数y= - (x - 2)2 的图象，下列说法正确的是( )
A ．图象经过原点 B ．开口向上
C ．对称轴是直线x = -2 D ．最高点是(2, 0)
7 ．已知二次函数y = (a - 2)x2 - 2x + 1 的图象与x 轴有交点，则a 的取值范围是( )
A ．a < 2 B ．a ≤ 3 C ．a < 3 且a ≠ 2 D ．a ≤ 3 且a ≠ 2
8 ．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为x = 1 ，则下列结论中错误 的是( )
A ．abc < 0 B ．a - b + c 0 D ．3a + c > 0
9．下面是某数学小组利用软件绘制的函数 的部分图象，根据学习函数的经验判 断正确的是( )
A ．ab = 0 B ．ab < 0 C ．ab > 0 D ．
10 ．如图 1，质量为 m 的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧 （自然状态下，弹簧的初始长度为15cm ）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中 （不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度 v（cm/s）和弹簧被 压缩的长度 x（cm ）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图 2 所示．根据图象， 下列说法正确的是( )
A ．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B ．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C ．若小球刚接触弹簧时的速度v =3cm/s ，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 4cm/s
D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为 9cm 时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相 同
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．
11 ．已知二次函数y = -x2 - 2024x + 2025 ，当 x =1 时，函数值y = ．
12 ．某二次函数图象开口向下，顶点在y 轴上，且经过点(1, -3) ，请写出一个符合上述条件
的函数表达式： ．
13 ．二次函数y = 2 (x +1)2 + 3 的最小值是 ．
14．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特 林进行燃放，当发射角度与水平面成45 度角时，烟花在空中的高度y （米）与水平距离 x （米）接近于抛物线 y = -0.5x2 +10x - 36 ，烟花可以达到的最大高度是 米．
15 ．如图，二次函数y = ax2 + bx + c 的部分图象与x 轴交于点(-3, 0) ，对称轴为直线x = -1 ， 则当函数值y > 0 时，自变量x 的取值范围是 ；
16 ．如图，A, B 是抛物线y= x2 上两点，点P 为AB 的中点，过P 作x 轴的垂线，交抛物线 于点Q ，PQ = 3 ．设A, B 两点的横坐标分别为x1, x2 (x2 > x1 ) ．则x2 - x1 的值为 ．
17 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在 点 B 左侧），与y 轴交于点 C ．将抛物线位于点 A ，C 之间的部分（包含端点）记为图象 G， 若直线y = kx + 3k + 4(k ≠ 0) 与图象 G 有两个交点，则 k 的取值范围是 ．
18 ．如图，抛物线y = x2 + 2x - 3 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，M ，N 是线
段AB 上的动点（M 在N上方）．若MN = ，则 OM + ON 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分.
19 ．将二次函数 的图象向下平移3 个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点A(4,5) 是否在这个新抛物线上．
20 ．已知二次函数y = ax2 + 6x - 5 的图象经过点(3, 4)．
(1)求a 的值；
(2)求二次函数图象与x 轴的交点坐标．
21 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中，函数y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的图像所对应的函
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
…
数表达式 ．
22 ．如图，二次函数y = (x + 2)2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
(1)求点A、B 的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 C，使得 BC + OC 最小，并求出 C 点的坐标；
23 ．明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图 1），它是二级火箭的始祖．火 箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中 学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图 2， 以发射点为原点，地面为x 轴， 过原点且垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为 3km 时，距离地面2.1km ，当火箭距离发射点水平距离为 4km 时，距离地面2.4km ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当火箭距离发射点的水平距离为8km 时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多 少千米？
24 ．八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以5 元 /朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前 4 天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价 x（元）的对应值表：
小惠判断出y 与 x 是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题：
(1)求y 关于 x 的函数解析式：
(2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润；
销售单价 x/元
10
12
14
16
日销售量y/朵
36
32
28
24
(3)爸爸要求小惠日销售利润不低于 180 元，请直接写出销售单价 x 的取值范围______．
25 ．如图 1，抛物线 y = x2 + bx + c 与x 轴交于A, B (-3,0) 两点，与y 轴交于C(0, - 3) ，直线 y = x + m 经过点B ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点 E ．
(1)求抛物线y = x2 + bx + c 的表达式；
(2)连接BC, CE ，求 △BCE 的面积；
(3)如图 2，直线BE 与抛物线对称轴交于点F ，在x 轴上有M , N 两点（M 在N 的右侧），且 MN = 2 ，若将线段MN 在x 轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长最小， 求出此时周长的最小值．
26 ．如图，抛物线y = ax2 + bx + 3 与 x 轴交于点A(1,0), B (-3,0) 两点，抛物线的顶点为点
C．点 P 是抛物线上的任意一点，横坐标为 m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当-2 < x < 2 时，直接写出y 的取值范围；
当 时，抛物线上最高点的纵坐标为-5 ，求 n 的值；
(4)点 Q 在抛物线上，横坐标为1- 2m，平面内有一点R(0, m)，作 P ，Q 关于点 R 的对称点
M，N，顺次连接 P ，Q，M，N，得到。PQMN ．当QN ∥ x 轴，直接写出此时点 C 到直线 QN 的距离 d．
1 ．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是根据二次函数的定义条件：二次函数 y = ax2 + bx + c 的定义条件是：a 、b 、c 为常数，a ≠ 0 ，自变量最高次数为 2．
【详解】解：A 、y = 3x -1 是一次函数，故不合题意；
B 、y = x3 + c 中未知数的最高次数为 3，不是二次函数，故不合题意；
C 、y = 2x2 - 2x + 1 是二次函数，故符合题意；
D 、 是反比例函数，故不合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标， 二次函数的顶点式为y = a(x - h)2 + k ，其中顶点坐 标为 (h, k ) ，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标．
【详解】解：∵ y = -3(x - 2)2 - 4 ， :其图象的顶点坐标为(2, -4) ，
故选：D
3 ．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ，①二 次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当a > 0 时，抛物线开口向上；当a < 0 时，抛物 线开口向下；②其对称轴为直线 ；③常数项 c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c) ．根据解析式直接判断即可选择．
【详解】解：∵二次函数解析式为y = x2 + 2 ， : a = 1 > 0，b = 0，c = 2 ，
:抛物线开口向上，与y 轴交点为(0, 2) （位于 x 轴上方），对称轴为直线 （即为 y 轴），
:只有 A 选项符合题意．
故选 A．
4 ．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数图象平移的规律“左加右 减，上加下减”进行解析式的变换即可得到答案．
【详解】解： 将二次函数y= x2 图象向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位后，所得图象 的函数解析式是y = (x + 3)2 - 5 ，
故选；D．
5 ．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质， 熟练掌握相关知识是解题的关键．根据题 意可得：抛物线的对称轴为直线x =1 ，由1- (-1) = 2 ，4 -1 = 3 ，即可求解．
【详解】解：Q抛物线为y = -(x -1)2 + 2 ，
:抛物线的对称轴为直线x = 1 ，
Q 1- (-1) = 2 ，4 -1 = 3 ，点 (-1, y1 ), (4, y2 ) 在抛物线y = -(x -1)2 + 2 上，抛物线开口向下， : y1 > y2 ，
故选：B．
6 ．D
【分析】本题主要考查了y= a (x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析 开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可．
【详解】解：当 x =0 时，y = -4 ，则图象经过(0, -4) ，故 A 选项错误，不符合题意； 因为-1 < 0 ，则抛物线开口向下，故 B 选项错误，不符合题意；
C、对称轴是直线 x =2 ，故 C 选项错误，不符合题意；
D、顶点坐标为(2, 0) ，即最高点是 (2, 0) ，故 D 选项正确，符合题意；
故选：D
7 ．D
【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴的交点问题，先得出a - 2 ≠ 0 ，再 结合二次函数y = (a - 2)x2 - 2x +1 的图象与x 轴有交点，得出 Δ ≥ 0 ，代入数值计算，即可 作答．
【详解】解：∵二次函数y = (a - 2)x2 - 2x +1 的图象与x 轴有交点，
: a - 2 ≠ 0 ， Δ = (-2)2 - 4(a - 2)×1 = 4 - 4a + 8 = 12 - 4a ≥ 0 ，
解得a ≤ 3 且a ≠ 2 ， 故选：D．
8 ．D
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与 0 的关系， 然后根据对称轴判定b 与 0 的关系以及b = -2a ，当 x = -1 时，y = a - b + c < 0 ，由此可得
3a + c < 0 ，然后由图象与 x 轴有两个交点确定b2 - 4ac > 0 ，由此即可求得答案．
【详解】解：Q抛物线开口向下，
:a < 0 ，
Q对称轴在y 轴右侧，
:b>0 ，
Q抛物线与y 轴交于正半轴， :c > 0 ，
:abc 1 时
又当x > 1 时
: ab > 0 ．
故选：C
10 ．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求函数解析式等内容，解 题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意；
B. 当弹簧被压缩了2cm 时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意；
C.抛物线的对称轴为直线x = 2 ， 所以(6, 0) 的对称点为(-2, 0) ，
假设抛物线的解析式为v = a (x - 6)(x + 2)， 将(0, 3) 代入解析式得3 = -12a ，
解得
:抛物线解析式为
当x = 2 时，函数值最大，最大值为 所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s ，
该选项正确，符合题意；
D. 当弹簧的长度为 9cm 时，被压缩了15 - 9 = 6cm ，此时，小球速度为 0，与刚接触弹簧时 的速度不相同，该选项错误，故不符合题意；
故选：C．
11 ．0
【分析】本题考查了二次函数的性质， 把x =1 直接代入y = -x2 - 2024x + 2025 进行计算，即 可作答．
【详解】解：依题意，把 x =1 代入y = -x2 - 2024x + 2025 ， 得y = -12 - 2024× 1+ 2025 = 0 ，
故答案为：0
12 ．y = -x2 - 2 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质， 求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线 解析式为y = ax2 - 2 ，再代入(1, -3) 即可得到答案.
【详解】解：根据题意设抛物线解析式为 y = ax2 - 2 ， ∵抛物线经过点(1, -3)，
: a - 2 = -3 ，
解得：a = -1 ，
:这个二次函数的解析式可以是：y = -x2 - 2 ，
故答案为：y = -x2 - 2 （答案不唯一）．
13 ．3
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式 y= a (x - h)2 + k 的图象与性质 是解题的关键．
由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值．
【详解】解：∵ a = 2 > 0 ，
:当x = -1 时，y 有最小值 3， 故答案为：3．
14 ．14
【分析】本题主要考查了二次函数的应用， 将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的 图象与性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由抛物线 y = -0.5x2 +10x - 36 得y = -0.5x2 +10x - 36 = -0.5(x -10)2 +14 ， ∵ -0.5 < 0 ，
:当x =10 时，烟花可以达到的最大高度是14 米， 故答案为：14 ．
15 ．-3 < x < 1
【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数 y = ax2 + bx + c 有两个根，抛 物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对 称性得出抛物线与x 轴的另一个交点，进而得出答案．
【详解】解： Q 二次函数y = ax2 + bx + c 的抛物线与x 轴交于(-3, 0) ，对称轴是直线x = -1 ， :抛物线与x 轴的另一个交点为：(1,0) ，
故当函数值y > 0 时，自变量x 的取值范围是：-3< x < 1．
故答案为：-3< x < 1．
16 ．2
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点P, Q 的坐标是解题的关键．
将点Q 的坐标代入抛物线表达式得 解得 即 可求解．
【详解】解： 由题意得，点 A, B 的坐标分别为： (x1 , x), (x2 , x) ，则点
将点Q 的坐标代入抛物线表达式得
解得：2x1x2 = x + x -12 ，
Q (x2 - x1 )2 = x + x - 2x1x2 = 12 ，
则x2 - x1 的值为2 ，
故答案为：2 ．
【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题， 解答的关键是确定临界点的 k 值，利用数形结 合思想得出答案．先求得点 A 、C 的坐标，再得到直线过定点(-3, 4) ，分别求出直线经过点 C 、A 以及与抛物线相切时的 k 值，结合图象，即可得出答案．
解：令y = 0 ，由 解得x1 = -4 ，x2 = 1， 令 x = 0 ，则 y = 2 ，
: A(-4, 0) ，C (0, 2) ，
:当x = -3 时，y = k × (-3) + 3k + 4 = 4 ，
:直线y = kx + 3k + 4(k ≠ 0) 经过定点(-3, 4)， 如图，
当直线经过点 C 时，由2 = 3k + 4 得k = - ，此时直线y = kx + 3k + 4(k ≠ 0) 与图象 G 有两个 交点，
当直线y = kx + 3k + 4(k ≠ 0) 与抛物线 相切时，
由 得x2 + x + 6k + 4 = 0 ，
由 Δ = (2k + 3)2 - 4× (6k + 4) = 0 解得k1 = - ， ，
当直线经过点 A 时，由0= -4k + 3k + 4 得k = 4 ，此时直线 y = kx + 3k + 4(k ≠ 0) 与图象 G 有 一个交点，
由图可知，当 ，直线 y = kx + 3k + 4(k ≠ 0) 与图象 G 有两个交点， 故答案为
18 ．2
【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题， 勾股定理，二次函数的性质，将线段和进 行转化是解题的关键；根据抛物线的解析式得出A, B 坐标，进而可得△AOB 是等腰直角三角 形，作点O 关于AB 的对称点O¢ ,以 MN 为邻边构造平行四边形MNO¢C ，得出C 的坐标， 根据OM + ON = OM + O¢N = OM + CM ≥ OC ，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵对于抛物线y = x2 + 2x - 3 ，令 y = 0 ， 则x2 + 2x - 3 = 0 ，即(x + 3)(x - 1) = 0 ，
解得x = -3 或x = 1 ，所以 A(-3, 0) ．则OA = 3 ， 令x = 0 ，则 y= - 3 ，所以B(0, -3) ．则OB = 3 ， ∵ OA = OB = 3
: △AOB 是等腰直角三角形，
如图，作点O 关于AB 的对称点O¢ ,以 MN 为邻边构造平行四边形MNO¢C
:△AO¢B 是等腰直角三角形，
: O¢ (-3, -3)
∵ MN =
: N 到M为向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位，
: O ¢ 到C 为向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位，则C(-4, -2) : OM + ON = OM + O¢N = OM + CM ≥ OC
:当M在CO 上时，取得最小值
: CO = = 2
即OM + ON 的最小值为2 ．
19 ．(1)新抛物线解析式为
(2)点A(4,5) 在这个新抛物线上．
【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质， 解题关键是熟 练掌握二次函数的平移规律．
（1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解；
（2）将 A 点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得：
的图象向下平移3 个单位长度后得到的新抛物线解析式为
（2）解：将 x =4 代入新抛物线解析式可得 ， 即点A(4,5) 在抛物线上．
20 ．(1) a = -1
(2)二次函数图象与x 轴的交点坐标为(1, 0) , (5, 0)
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式， 二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算 是关键．
（1）把点代入计算即可求解；
（2）二次函数 y = ax2 + 6x - 5 ，令 y = 0 ，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点(3, 4)，
:将(3, 4) 代入y = 9a + 3 × 6 - 5 = 4 ， : a = -1 ；
（2）解：二次函数 y = -x2 + 6x - 5 ，令 y = 0 ，则有 -x2 + 6x - 5 = 0 ， 解得x1 = 1, x2 = 5 ，
故二次函数图象与 x 轴的交点坐标为(1, 0) , (5, 0) ．
21 ．(1) y = (x -1)2 - 4
(2) y = (x - 2)2 - 2
【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质， 根据二次函数
的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．
（1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式；
（2）写出关于 x 轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 经过点 (0，- 3)，(2，- 3)，(1，- 4)，
所以该抛物线的对称轴为 ， 所以该抛物线的顶点坐标为(1，- 4) ，
设该二次函数表达式为y = a (x -1)2 - 4(a ≠ 0)
将x = -1，y = 0 代入得：4a - 4 = 0 ； 即 a = 1
将a = 1 代入y = a (x -1)2 - 4(a ≠ 0) 得：y = (x -1)2 - 4
（2）解：将该二次函数的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得
y = (x -1-1)2 - 4 + 2 ， 即y = (x - 2)2 - 2 ．
22 ．(1) A(-2, 0), B (0, 4)
(2)C(-2, 2)
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点， 二次函数的综合应用，利用数形结合的思 想，进行求解，是解题的关键：
（1）分别令x = 0, y = 0 ，进行求解即可；
（2）作点 O 关于对称轴的对称点O¢ ,连接O ¢B ，O ¢B 与对称轴的交点即为点C ． 【详解】（1）解：∵ y = (x + 2)2 ，
:当y = (x + 2)2 = 0 时，x1 = =x2 -2 ，当 x = 0 时，y = (0 + 2)2 = 4 ；
: A (-2, 0), B (0, 4) ；
（2）解：∵ y = (x + 2)2 ，
:对称轴为直线x = -2 ，
作点O 关于对称轴的对称点O¢ (-4, 0)，连接O ¢B ，则：O ¢B 与对称轴的交点即为点C ， : B (0, 4) ，
:设直线O ¢B 的解析式为：y = kx + 4 ，
把O¢ (-4, 0) 代入，得：0 = -4k + 4 ，
解得：k = 1；
: y = x + 4 ，
:当x = -2 时，y = -2 + 4 = 2 ；
: C(-2, 2) ．
23 ．(1) y = -0.1x2 + x
(2)1.6 千米
【分析】本题考查了二次函数的应用， 涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质等 知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设抛物线解析式为 y = ax2 + bx ，将(0, 0),(3, 2.1), (4, 2.4) 代入即可求解；
（2）将 x = 8km 代入y = -0.1x2 + x 即可．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线经过(0, 0),(3, 2.1), (4, 2.4)， 设抛物线解析式为y = ax2 + bx ，
代入(3, 2.1), (4, 2.4) 可得 解得：
:抛物线解析式为y = -0.1x2 + x ．
（2）解：由（1）知，y = -0.1x2 + x ， 当x = 8km 时，y = -0.1× 82 + 8 = 1.6 ， :此时火箭距离地面1.6 千米．
24 ．(1)y 关于 x 的函数解析式为y = -2x + 56
(2)当x =16.5 时，w 最大，最大值为264.5 元
(3)日销售利润不低于 180 元，销售单价 x 的取值范围为10 ≤ x ≤ 23
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次 函数图象的性质是关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；
（2）销售单价 x 元，则每朵的利润为(x - 5) 元，设销售利润为w ，由此列式，根据二次函 数图象的性质求解即可；
（3）根据（2）中的利润，当 w = 180 时，x1 = 10, x2 = 23 ，结合二次函数图象即可求解． 【详解】（1）解：y 与 x 是一次函数关系，设y = kx + b (k ≠ 0)，
解得，
:y 关于 x 的函数解析式为y = -2x + 56 ：
（2）解：销售单价 x 元，则每朵的利润为(x - 5) 元， 设销售利润为w ，
: w = (x - 5)y = (x - 5)(-2x + 56) = -2x2 + 66x - 280 = -2(x -16.5)2 + 264.5 ， :-2 < 0 ，
:当x =16.5 时，w 最大，最大值为264.5 元；
（3）解：: w = (x - 5)(-2x + 56) = -2x2 + 66x - 280 ， :当w = 180 时，-2x2 + 66x - 280 = 180 ，
整理得，x2 - 33x + 230 = 0 ，
解得， 即x1 = 10, x2 = 23 ， ∵ -2 < 0 ，函数图象开口向下，
:日销售利润不低于 180 元，销售单价 x 的取值范围为10 ≤ x ≤ 23 ．
25 ．(1) y = x2 + 2x - 3
(2)15
(3) 8 + 2
【分析】本题属于二次函数综合题， 考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题 等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）求出点 E 坐标，再求出D(0, 3)，进而可得出答案；
（3）由 E，F 为定点，可得当EM + FN 的和最小时，四边形MEFN 的周长最小，将点F 向 右平移 2 个单位长度得到点F ¢ , 作点E 关于x 轴的对称点E¢ , 连接E¢F ¢ 与x 轴交于点M ， 过点F 作FN ∥ E¢F ¢ 交x 轴于点N ，则EM = E ¢M , FN = F ¢M ，而E¢, M , F ¢ 三点共线，故此 时EM + FN 的值最小，可得F(-1, 2) ，F ¢ (1, 2) ，E (2, 5) ，E ¢ (2, - 5) ，从而求出
即知四边形MEFN 周长 的最小值为 2．
【详解】（1）解：把B(-3, 0), C (0, - 3) 代入y = x2 + bx + c ，
得 解得 :抛物线的表达式为y = x2 + 2x - 3 ．
（2）∵直线经过点B(-3, 0) ， :直线BE 的表达式为y = x + 3 ．
由 解得 或 : E (2, 5) ．
∵直线BE 交y 轴于点D ，在 y = x + 3 中，令x =0 ，则 y = 3 ， : D (0, 3)．
（3）∵ E , F 为定点， :线段EF 的长为定值，
:当EM + FN 的和最小时，四边形MEFN 的周长最小．
如解图，将点F 向右平移 2 个单位长度得到点F ¢ ,作点 E 关于x 轴的对称点E¢ ,连接 E¢F ¢ 与x 轴交于点M ，过点 F 作FN ∥ E¢F ¢ 交x 轴于点N ，则EM = E ¢M , FN = F ¢M ，
∵ E ¢, M , F ¢ 三点共线，
: EM + FN = E ¢M + F ¢M = E ¢F ¢ , 此时EM + FN 的值最小．
∵ y = x2 + 2x - 3 = (x +1)2 - 4 ，
:抛物线的对称轴为直线x = -1 ． ∵ B (-3, 0) ，D (0, 3)，
:直线BD 的表达式为y = x + 3 ．
∵点F 为直线y = x + 3 与x = -1 的交点， : F (-1, 2)，
: F ¢ (1, 2)．
∵ E (2, 5) ，
: E ¢ (2, - 5) ，
: EM + FN = 5 ．
: E (2, 5), F (-1, 2) ，
: EM + FN+ EF + MN = 5+ 3 + 2 = 8 + 2 ．
:四边形MEFN 周长的最小值为82 + 2 ．
26 ．(1) y = -x2 - 2x + 3
(2)-5 < y ≤ 4
(3)2
(4) d = 4 或d =
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合应用， 中心对称的性质，平行四边形 的性质等知识点，
（1）将 A(1, 0) ，B (-3, 0) 两点代入y = -x2 + bx + c 中即可得解；
（2）先确定抛物线的顶点坐标为C(-1, 4) ，再求得当 x = -2 和x =2 时，函数y 的值，然后 根据函数图象即可得解；
（3）先确定 ，然后在抛物线对称轴两侧分类讨论即可得解；
（4）先用含 m 的代数式表示出 Q，N 点的坐标，再由QN ∥ x 轴得出 Q，N 点的纵坐标相等， 列方程求解即可得解．
【详解】（1）解：:抛物线y = ax2 + bx + 3 与 x 轴交于点A(1, 0) ，B (-3, 0) 两点，
:抛物线的解析式为y = -x2 - 2x + 3 ；
（2）解：:抛物线的解析式为y = -x2 - 2x + 3 = - (x +1)2 + 4 ，
:抛物线的顶点坐标为C(-1, 4) ， 当x = -2 时，y = - (-2 +1)2 + 4 = 3 ， 当x = 2 时，y = - (2 +1)2 + 4 = -5 ， :当-2 < x < 2 时，-5 < y ≤ 4 ；
（3）解：:抛物线的解析式为y = -x2 - 2x + 3 = - (x +1)2 + 4 ， :抛物线的顶点坐标为C(-1, 4) ，即最高点的纵坐标为 4，
:当时，抛物线上最高点的纵坐标为-5 ， :它必在对称轴的左侧或右侧，
当m < -1 时，由增减性质得，当m = 2n -1 时，有最高点-5 ， : 2n -1< -1，
:它不可能在对称轴的左侧，
当它在对称轴右侧时，由增减性质得，当 时，有最高点-5 ，
解方程得：n1 = 2 ，n2 = -10 < （舍去）， :n 的值为 2；
（4）解：:点 Q 在抛物线上，横坐标为1- 2m ，
:点 Q 的纵坐标为- (1- 2m)2 - 2(1- 2m) + 3 = -4m2 + 8m ， :点 P 是抛物线上的任意一点，横坐标为 m，
:点 P 的纵坐标为-m2 - 2m + 3 ，
:平面内有一点R(0, m) ，P、Q 关于点 R 的对称点 M、N，
: M -m, 2m - (-m2 - 2m + 3) = m2 + 4m - 3 , N 2m -1, 2m - (-4m2 + 8m) = 4m2 - 6m ,
即M (-m, m2 + 4m - 3) , N (2m -1, 4m2 - 6m)， ∵QN ∥ x 轴，
:-4m2 + 8m = 4m2 - 6m ，
当m = 0 时，Q (1, 0) ，N (-1, 0)，如图，此时与 x 轴重合，
:此时点 C 到直线QN的距离d = 4 ，
7 ( 5 7 ö ( 5 7 ö
当m = 4 时，Q çè - 2 , 4 ,÷ , N çè2 , 4 ,÷ ,如图，
7 9 此时点 C 到直线QN的距离d = 4 - = ， 4 4
:当QN ∥ x 轴，此时点 C 到直线QN的距离d = 4 或d = 9 ；
4
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