贵州省贵阳市第一中学2026届高三上学期9月开学考试数学试卷

这是一份贵州省贵阳市第一中学2026届高三上学期9月开学考试数学试卷，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（面面平行、垂直的判定·基础）
1. 在正方体 中，E，F 分别为 的中点，则（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
2. 设集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
3. 复数 的虚部为（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
4. 两个粒子 A，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 ， ．粒子
B 相对粒子 A 的位移为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ， ，当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列 ， 都是等差数列， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. -17 B. -15 C. 17 D. 15
7. 的三内角 所对的边分别是 ，下列条件中能构成 且形状唯一确定的是（
）
A.
B.
C.
D.
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8. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，
我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点 ， ，动点 满足 ，设
的轨迹为曲线 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.
C. 的面积大于 2 D.
二、多选题（本大题共 3 小题）
9. 某计算机程序运行 次，每次运行都等可能地产生 或 中的一个数．记 出现的次数为 ，
出现的次数多于 出现的次数的概率为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 ， 为圆 以上两点，点 ，则下列说法中正确的是（
）
A. 若 ，则 中点 的轨迹方程为
B. 中点轨迹方程为
C. 的中点轨迹方程为
D. 的中垂线与 的交点轨迹为圆
11. 已知函数 ，若 及其导函数 的部分图象如图所
示，则（ ）
A.
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B. 函数 在 上单调递减
C. 的图象关于点 中心对称
D. 的最大值为
三、填空题（本大题共 3 小题）
12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______．
13. 已知随机变量 ，若 ，则 的最小值为
___________.
14. 在正方体 中，点 是侧面 内（不包含边界）的一个动点，且 点
在棱 上运动，则二面角 的余弦值的取值范围是_________.
四、解答题（本大题共 5 小题）
15. 在 中，内角 A，B，C 所对应 边分别为 a，b，c，且
（1）求 B；
（2）若 ，D 为 AC 边上的一点，且 ， ，求 AC 的最大值．
16. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 O 的半径为 R.A、B、C 为球面上三点，
劣弧 BC 的弧长记为 a，设 表示以 O 为圆心，且过 B、C 的圆，同理，圆 的劣弧 AC、AB 的弧长
分别记为 b，c，曲面 ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角 分
别为 ，则球面三角形的面积为 .
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（1）若平面 OAB、平面 OAC、平面 OBC 两两垂直，求球面三角形 ABC 面积；
（2）若平面三角形 ABC 为直角三角形， ，设 .
①求证： ；
②延长 AO 与球 O 交于点 D，若直线 DA，DC 与平面 ABC 所成的角分别为 ，S
为 AC 中点，T 为 BC 中点，设平面 OBC 与平面 EST 的夹角为 ，求 的最小值，及此时平面 AEC 截球
O 的面积.
17. 已知函数 ， ．
（1）若 存在零点，求 a 取值范围；
（2）若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
18. 已知在每一项均不为 0 的数列 中， ，且 ( ， 为常数， )，记数列
的前 项和为 .
（1）当 时，求 ；
（2）当 ， 时，求证：数列 为等比数列；
（3）在满足(2)中条件时是否存在正整数 ，使得不等式 对任意 恒成立？若存在，求
出 的最小值；若不存在，请说明理由.
19. 维向量是平面向量和空间向量 推广，对 维向量 ，记
，设集合 .
（1）求 ， ；
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（2）（i）求 中元素的个数；
（ii）记 ，求使得 成立 最大正整数 .
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贵阳市第一中学 2025-2026 学年高三上学期开学检测数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题）
（面面平行、垂直的判定·基础）
1. 在正方体 中，E，F 分别为 的中点，则（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
【答案】A
【解析】
【分析】证明 平面 ，即可判断 A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
分别求出平面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断 BCD.
【详解】解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故 A 正确；
选项 BCD 解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
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设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故 B 错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故 C 错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故 D 错误，
故选：A.
选项 BCD 解法二：
解：对于选项 B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交
线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
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则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项 B 错误；
对于选项 C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项 C 错误；
对于选项 D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项 D 错误；
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故选：A.
2. 设集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的值域、定义域分别化简集合 ，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意， ，
所以 .
故选：A
3. 复数 的虚部为（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数模长与四则运算进行计算即可.
【详解】 ，所以虚部为-1.
故选：A
4. 两个粒子 A，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 ， ．粒子
B 相对粒子 A 的位移为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即
可求解.
【详解】由向量 ， ，可得粒子 相对粒子 的位移为 ，
可得 且 ，
所以 在 上 投影向量为 .
故选：C.
5. 已知函数 ， ，当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特值 解得 ，整理可得 ，换元令 ，构建
，根据导数的几何意义求临界状态，结合图象即可得结果.
【详解】因为当 时， ，
则 ，即 ，
整理可得 ，解得 ，
若 ，则 ，
整理可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，
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若 与 相切，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，整理可得 ，
注意到直线 过定点 ，则 ，
整理可得 ，注意到 ，
可得 ，即 ，可得 ，
结合图象可知： ，所以 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：取特指确定 的必要条件，这样可以简化讨论和计算.
6. 已知数列 ， 都是等差数列， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. -17 B. -15 C. 17 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】结合等差数列的通项公式可求得 ，进而可求出结果.
【详解】因为数列 ， 都是等差数列，设数列 ， 的公差分别为 ，
又 ， ，且 ，则 ，
即 ，所以 ，
故选：D.
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7. 的三内角 所对的边分别是 ，下列条件中能构成 且形状唯一确定的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于各个选项里的条件分别利用正弦定理，余弦定理或者三角形边的关系进行分析即可判断得解.
【详解】对于 A 选项：
，则 或
时， ， 是 ， 的直角三角形， 时，
由正弦定理得 ， ， 正三角形，不唯一，A
不正确；
对于 B 选项：由正弦定理得 ，则 或 ，不唯一，B 不正确；
对于 C 选项：由正弦定理得： ，
由余弦定理得 ，则 ，而 ，矛盾，不能构成三角形，C 不
正确；
对于 D 选项：由三角形边的关系知 1