贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期开学分班考试数学试卷

这是一份贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期开学分班考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了 已知集合， 设， 已知，， ⼆次函数， 下列命题是真命题的有（， 设全集等内容，欢迎下载使用。
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
“不等式在R 上恒成⽴”的充要条件是（）
B.
C. D.
命题“，”的否定是（）
，B. ，
C. ，D. ，
已知，，且，则的最⼤值为（）
A. 16B. 25C. 9D. 36
已知集合，则（）
B. C. D.
⼆次函数只有⼀个零点，则不等式的解集为（）
A.B.
1. 已知集合
A
B.
，且
，则
C.
等于（
）
D.
或
2. 已知集合
，
，则
（
）
A
B.
C.
D.
3. 设
，则“
”是“
”的（
）
C.或D.或
⼆、选择题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
下列说法正确 是（）
若，则
若，，则
若，则
若，，则
下列命题是真命题的有（）
，B. ，
C. ，D. ，
如图，正⽅形的边⻓为 4，为正⽅形边上⼀动点，运动路线，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三⻆形的⾯积是．则下列图象不能⼤致反映与的函数关系的是（ ）
A.B.
C.D.
如果关于 不等式的解集为，那么下列数值中， 可取到的数为（
）
B. 0C. 1D. 2
三、填空题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上.
已知集合满⾜ ，则符合条件的集合有个.
设全集，若，，
，则 A=.
若函数y＝（f
x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝（f
x）的图象可能是
．
找规律：1，4，9，16，，36．
四、解答题：本题共 6 ⼩题，共 70 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数 a 的取值范围．
已知集合，.
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另⼀点，过点作轴，垂⾜为点.
求直线的函数关系式；
动点在线段上从原点出发以每秒⼀个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为 秒，的⻓度为 个单位，求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当 为何值时，四边形为平⾏四边形？问对于所求的 值，平⾏四边形能否为菱形？请说明理由.
某⼯⼚⽣产某种零件的固定成本为 20000 元，每⽣产⼀个零件要增加投⼊ 100 元，已知总收⼊ Q（单位：元）关于产量（单位：个）满⾜函数：.
将利润 P（单位：元）表示为产量 x 的函数；（总收⼊ 总成本利润）
当产量为何值时，零件的单位利润最⼤？最⼤单位利润是多少元？（单位利润 利润 产量）
记是公差不为 0 的等差数列的前 n 项和，若．
求数列的通项公式；
求使成⽴的 n 的最⼩值．
已知函数，
列表、描点、连线，画出该函数的简图；
在函数图象上取⼀个定点，⼀个动点，记直线的坡度为，
．试将化简为（均为常数）的形式；
当 趋近于 0 时，是否趋近于某常数 ？若是， 为多少？试说明理由；
在函数图象上取⼀个定点，为正的常数，⼀个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当 趋近于 0 时，是否趋近于某常数．
坡度定义：若，，则直线坡度为．
贵阳市第⼀中学 2025-2026 学年⾼⼀上学期开学分班检测数学试卷
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的.
转化条件为或，验证集合元素的互异性即可得解.
【详解】因为集合，且，
所以当即时，，不满⾜集合中元素的互异性；
故选：B.
2. 已知集合
，
，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合
、
，利⽤并集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
，
当时，解得或（舍），此时，满⾜题意；综上，.
因此，.
1. 已知集合
，且
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.或
【答案】B
【解析】
【分析】
故选：B.
设，则“”是“”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件定义进⾏判断即可得解.
【详解】由，解得，由，解得或，若成⽴，则或也成⽴，
反之，若或成⽴，则不⼀定成⽴，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
“不等式在R 上恒成⽴”的充要条件是（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式在R 上恒成⽴，求得，再由，说明不等式在R 上恒成⽴，即可得答案.
【详解】∵不等式在R 上恒成⽴，
∴ ，解得，
⼜∵，∴ ，则不等式在R 上恒成⽴，
∴“”是“不等式在R 上恒成⽴”的充要条件,故选: A.
命题“，”的否定是（）
A.，B.，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可．
【分析】利⽤已知条件，由基本不等式可得的最⼤值．
【详解】解：，，且，
，
当且仅当时，取等号，的最⼤值为 25．
故选：．
【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应⽤，注意检验等号成⽴的条件，式⼦的变形是解题的关键，
属于中档题．
7. 已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由⼀元⼆次不等式与⼀元⼀次不等式，求得集合，利⽤交集，可得答案.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
【详解】命题“
故选：B．
6. 已知，
，且
”否定是“
，则
的最⼤值为（
”．
）
A. 16
【答案】B
B. 25
C. 9
D. 36
【解析】
⼆、选择题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
下列说法正确的是（）
若，则
若，，则
若，则
若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】当，异号时即可判断A；利⽤作差法得，再根据题意判断的符
号即可判断B；根据，两边平⽅后不等式也成⽴即可判断C；利⽤特殊值法即可判断D．详解】对于A， ， 异号时，不等式不成⽴，故A 错误；
8. ⼆次函数
只有⼀个零点，则不等式
的解集为（）
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得
，求出
，然后再利⽤⼀元⼆次不等式的解法即可求解.
【详解】⼆次函数
只有⼀个零点，
则
，解得
或
（舍去），
所以不等式化为
，解得
或.
故答案为：D
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解⽅程，即可判断C.
【详解】对于A，B，当时，，故A 正确，B 错误；
11. 如图，正⽅形的边⻓为 4，为正⽅形边上⼀动点，运动路线，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三⻆形的⾯积是．则下列图象不能⼤致反映与的函数关系的是（ ）
A.B.
对于B，由
，
⼜，，所以
，即
，故B 正确；
对于C，由，所以
，故C 正确；
对于D，，，，故选：BC．
10. 下列命题是真命题的有（
）
，则
，
，不满⾜，故D 错误．
A. ，
B.
，
C.，
D.
，
对于C：由
，解得
，所以不存在
，使得
，故C 错误；
对于D：因为
故选：AD
，所以
，所以
，
，故D 正确.
C.D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意知，与的函数是分段函数，写出分段函数各段的解析式，即可判断各选项图象能否⼤致反映函数.
【详解】当点 P 在点 AD 上运动，即时，不能构成三⻆形，故 y 值为 0，
选项ACD 都不能⼤致反映与的函数关系.当点 P 在 DC 上运动，即时，
的⼀边，⾼，则；当点 P 在 CB 上运动，即时，
的⾯积不变，；
当点 P 在 BA 上运动，即时， 的⼀边，⾼，
综上，，图象如选项B 所示，能⼤致反映该函数关系.
【分析】根据不等式的解集与对应⼆次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进⾏选择.
【详解】由题设知，对应的判别式,
即，故
故选：ACD.
12. 如果关于的不等式
的解集为
，那么下列数值中， 可取到的数为（
）
A.
【答案】CD
B. 0
C. 1
D. 2
【解析】
所以数值中，可取到的数为 1，2.
故选：.
三、填空题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上.
13. 已知集合满⾜ ，则符合条件的集合有个.
【答案】7
【解析】
【分析】由⼦集及真⼦集的概念，可转化为求集合真⼦集的个数即可得解.
【详解】因为 ，
所以中含有元素，
【分析】写出全集 U，作出⻙恩图，将全集 U 中的元素放置在合适的区域内即可求出集合 A.
【详解】依题意，全集，作出⻙恩图，如下图所示：
观察⻙恩图知集合.
故答案为：
故符合条件的集合
个数相当于求集合
的真⼦集个数，
故有个，
故答案为：7
14. 设全集
，若
，，
，则 A=
.
【答案】
【解析】
若函数y＝（f
x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝（f
x）的图象可能是
．
【答案】②
【解析】
【分析】结合函数的知识确定正确答案.
【详解】根据定义域和值域可排除①④，
对于函数来说，对定义域内任意，都有唯⼀确定的与其对应，所以③错误.故答案为：②
找规律：1，4，9，16，，36．
【答案】25
【解析】
【分析】通过观察可得每个数是它的项数的平⽅，
【详解】通过观察可得每个数是它的项数的平⽅，
即，，，，，，故答案为：25．
四、解答题：本题共 6 ⼩题，共 70 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）确定，，再计算补集得到答案；
（2）确定，考虑和两种情况，解得答案.
【⼩问 1 详解】
，所以
；
【⼩问 2 详解】
若，则
，
当时，
，解得
；
当时，
，解得
；
当时，，所以， ，
综上所述：a 的取值范围为．
已知集合，.
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式得解法求出集合，根据并集得定义进⾏求解即可；
（2）根据是的充分条件，则，建⽴关系式，解之即可．
【⼩问 1 详解】解：
当时，，故；
【⼩问 2 详解】
解：若是的充分条件，则，
①当时，即，即，符合题意
②当时，即，
若，则，
综上，若是的充分条件，则实数的取值范围为.
如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另⼀点，过点作 轴，垂⾜为点.
求直线的函数关系式；
动点在线段上从原点出发以每秒⼀个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为 秒，的⻓度为 个单位，求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当 为何值时，四边形为平⾏四边形？问对于所求的 值，平⾏四边形能否为菱形？请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）或 2；不是菱形；答案⻅解析.
【解析】
【分析】
由条件可得，，可求得直线的解析式.
由 秒时，点，所以 ，，再根据 得出答案.
(3) 若四边形为平⾏四边形，则有，此时，有，解得，,再分别计算能否为菱形.
【详解】解：（1）抛物线与 轴交于点，则.
,
轴，垂⾜点
,所以
设直线的解析式为
则，解得
可得直线的解析式为
点从点移动到点共要 3 秒,所以秒时，点，所以
若四边形为平⾏四边形，则有，此时，有，解得，所以当或 2 时，四边形为平⾏四边形.
①当
时，
，
，故
②当
时，
，
，故，⼜在中， ，此时四边形为菱形
，故，⼜在中， ，故，此时四边形不是菱形.
【点睛】本题主要考查求函数解析式，⼆次函数的应⽤以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，
属于中档题.
某⼯⼚⽣产某种零件的固定成本为 20000 元，每⽣产⼀个零件要增加投⼊ 100 元，已知总收⼊ Q（单位：元）关于产量（单位：个）满⾜函数：.
将利润 P（单位：元）表示为产量 x 的函数；（总收⼊ 总成本利润）
当产量为何值时，零件的单位利润最⼤？最⼤单位利润是多少元？（单位利润 利润 产量）
【答案】（1）
（2）当产量为 100 个时，零件的单位利润最⼤，最⼤利润为 100 元.
【解析】
【分析】（1）利⽤得到答案；
（2）分和两种情况，结合基本不等式和函数单调性求出最值.
【⼩问 1 详解】
；
【⼩问 2 详解】
设单位利润为，
当时，，
综上，当产量为 100 个时，零件的单位利润最⼤，最⼤利润为 100 元.
记是公差不为 0 的等差数列的前 n 项和，若．
求数列的通项公式；
求使成⽴的 n 的最⼩值．
【答案】(1)；(2)7.
【解析】
由基本不等式得
，
当且仅当
故
，即
时，等号成⽴，
，
当时，
，
【分析】(1)由题意⾸先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)⾸先求得前n 项和的表达式，然后求解⼆次不等式即可确定n 的最⼩值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从⽽有：， ，
从⽽：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，
解得：或，⼜为正整数，故的最⼩值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的⼀类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运⽤.
已知函数，
列表、描点、连线，画出该函数的简图；
在函数图象上取⼀个定点，⼀个动点，记直线的坡度为，
．试将化简为（均为常数）的形式；
当 趋近于 0 时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由；
在函数图象上取⼀个定点，为正 常数，⼀个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当 趋近于 0 时，是否趋近于某常数．
坡度定义：若，，则直线的坡度为．
【答案】（1）答案⻅解析
（2）

是，，理由⻅解析
【解析】
【分析】（1）对于 x 取某些特殊值，即可列表，描点，连线，得到函数图像简图；
根据，结合函数表达式，化简可得答案；
结合（2）的结果，即可得答案；
根据坡度定义，可得表达式，并化简，结合 趋近于 0，即可得趋近于某常数.
【⼩问 1 详解】列表如下表，
函数图象简图如下：
【⼩问 2 详解】
由题意得
，
，
则
x
1
2
2

【⼩问 3 详解】
当 趋近于 0 时，是趋近于 0，即常数；理由如下：
当 趋近于 0 时，趋近于 1，故趋近于 2，则趋近于，
即趋近于 0，所以．
【⼩问 4 详解】由题意得
，
当 t 趋近于 0 时，趋近于常数.