湖南省岳阳市颐华高级中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷

这是一份湖南省岳阳市颐华高级中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1−i
1.已知复数 = 2−i2025，则的虚部为()
A. 1
B. 1 iC. 3
D. 3 i
2222
2−
2.已知函数() = ln 2+，则不等式( + 1) > (2 − 1)的解集为()
2
A. (0,1)B. (0,2)C. − 1 , 0D. ( − 1,2)
cs +π cs2
2
2sin −π
4
已知 tan = 3，则
5
6
5
− 3
=()
5
− 6
5
3
已知向量̅→, ̅→满足， ̅→ + ̅→ =3, ̅→ − ̅→ = 2̅→ + ̅→ ，则 ̅→ =()
2
1B.
C.
D. 2
3
已知??的面积等于 1，且? = 1，则??的外接圆的半径的最小值为()
A.
B.
1617
1716
17 8
8
D.
C.
17
若 4,2,1,4,5 的第百分位数是 4,则的取值范围是()
A. (40,80]B. [40,80)C. [40,80]D. (40,80)
口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同小球，从中取出 2 球，事件 =“取出的两球同色”，事件
? =“取出的 2 球中至少有一个黄球”，事件 =“取出的 2 球至少有一个白球”，事件 =“取出的 2 球不同色”， =“取出的 2 球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是()
A. ( + ?) = () + (?)B. () + () = 1
C. ( ∪ ) = 1D. (?) = ()
在锐角??中，角, ?, 的对边分别为, , , 为??的面积，且 2 = 2 − ( − )2，则22+2的取值
范围为()
A.
15
B. 2 2, 43
15
C. 2 2, 59
D. 2 2, + ∞
43 , 59
15 15
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
下列说法正确的是()
A. 若 > 2，则函数 = +3
1
的最小值为
−1
B. 若 > 0, > 0, 3 + 1 = 5，则 3 + 4的最小值为 5
C. 若 > 0，则 的最大值为1
2+12
D. 若 > 0, > 0, + + = 3，则的最小值为 1
π 6
10.已知函数() = sin +( > 0)，则下列说法正确的是()
A. 当 = 3 时，()在 4π , 7π 上单调递增
99
2
B. 若 1 − 2 = 2，且 1 − 2 min = π，则函数()的最小正周期为π
C. 若() π
轴对称，则的最小值为 3
的图象向左平移
12
个单位长度后，得到的图象关于
D. 若()在0,2π上恰有 4 个零点，则的取值范围为 23 , 29
11.已知点为??所在平面内一点，则()
33
A. 若̅̅̅̅→ = 1 ̅̅?̅̅→ + 2 ̅̅̅→，则?̅̅̅̅→ = 3?̅̅̅̅→
̅̅̅?̅→
̅̅̅?̅→
̅̅̅̅→
̅̅̅̅→
B. 若+⋅ ?̅̅̅̅→ = 0，且 ̅̅̅?̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1
12 12
??为等边三角形
2
̅̅̅?̅→̅̅̅̅→，则
C. 若̅̅̅̅→ ⋅ ?̅̅̅̅→ = 0，̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅?̅̅→ = 0，则̅̅̅?̅→ ⋅ ̅̅̅→ = 0
3
D. 若̅̅̅̅→ = ̅̅?̅̅→ + ̅̅̅→，且 + = 1，则??的面积是??
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
面积的
3
的取值范围是
12.设锐角??的内角，?，的对边分别为，，，若 = 2，则2+．
如图所示的图形是由六个直角边均为 1 和 3的直角三角形组成的，则该图形绕直线旋转一周得到的几何体的体积为．
3
已知四棱柱? − 1?111中，底面?是边长为 2 的菱形且∠? = π，1 ⊥底面?，1 =
6
3，点是四棱柱? − 1?111表面上的一个动点，且直线与1所成的角为π，则点的轨迹长度为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在锐角??
?
sin−sin? = sin．
中，角 ，
(1)求角?的值；
， 所对应的边分别为
， ， ，已知
3−
+
(2)若 = 2，求??的周长的取值范围．
16.(本小题 15 分)
象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的 40 名同学分为 10 组，每组共 4 名同学进
行单循环比赛.已知甲、乙丙丁 4 名同学所在小组的赛程如表：
规定；每场比赛获胜的同学得 3 分.输的同学不得分，平局的 2 名同学均得 1 分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名(抽签的胜
第一轮
甲−乙
丙−丁
第二轮
甲−丙
乙−丁
第三轮
甲−丁
乙−丙
者排在负者前面)
13 名同学水平相当，彼此间胜负平的
，且抽签时每人胜利的概率均为 ，假设甲、乙、丙
2
概率均为 ，丁同学的水平较弱面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为 ， ，
1.
每场比赛结果
111 .
3623
相互独立．
(1)求丁同学的总分为 5 分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁 2 名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 − ?中， ⊥底面?，平面 ⊥平面?．
(1)求证：? ⊥ ；
(2)若 =2， = ? = 2，是?的中点，、分别在线段?、上移动．
①求?与平面所成角的正切值；
②若//平面，求线段长度取最小值时二面角 − ? − 平面角的正切值．
18.(本小题 17 分)
已知函数() = − + ， ∈ ． (1)若函数()为奇函数，求的值；
(2)若() ≥ + 1 在(0, + ∞)上恒成立，求的取值范围；
(3)设() = (( − ) − − − 1)，讨论方程( − ) =− ()的根的个数．
19.(本小题 17 分)
如图，设, 是平面内相交成(0 < < π)的两条射线，̅→1, ̅→2分别为, 同向的单位向量，定义平面坐标系为 −仿射坐标系，在 −仿射坐标系中，若̅̅̅̅→ = ̅→1 + ̅→2，则记̅̅̅̅→ = (, )．
(1)在 −仿射坐标系中
①若̅→ = (, )，求|̅→|；
3
②若̅→ = ( − 1,3), ̅→ = ( − 3,1)，且̅→与̅→的夹角为π，求 cs；
(2)如上图所示，在π −仿射坐标系中，?，分别在轴，轴正半轴上，|?̅̅̅̅→| = 1, ̅̅̅̅→ = 7 ̅̅̅̅→, , 分别为?，
319
?中点，求̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→的最大值．
1.
2.
3.
4.
?
?
10.?
11.?
2
3
12.(2
4
13.17π
3
14.4 + π
+ 1,2
+ 2)
参考答案
【详解】(1) sin−sin? = sin − = ，
3−
即2 + 2 − 2 =3，
+，由正弦定理得：
3−
+
由余弦定理得：cs? = 2+2−2 = 3 = 3
6
因为? ∈ 0, π，所以? = π；
2
22 ，
6，
(2)锐角??中， = 2，? = π
由正弦定理得： 2 = π = ，
sin
故 = 1 , =
sin
3
1+ 1+tan2
=
=
2sin sin
sin6
sin
2sin +π
6
sin
3sin+cs sin
=，
则 + =
3sin+cs+1 sin
1
3
+=
1+
cs
tan
+tan
=
+ 1 + 1 + 1，
3
tantan2
6
因为锐角??中，? = π，
则 ∈ 0, π ， = π − π − ∈ 0, π ，
262
解得： ∈ π , π ，
3 2
3
3
tan
故 tan ∈3, + ∞ ， 1 ∈ 0,，
则
∈ 1, 2 3
,
1 tan
∈ 1 +3, 2，
tan2
1 + 1
3
1 + 1
tan2
3
3
3
3
++
故 + ∈ 1 +3, 2， + + ∈ 3 +3, 2 + 2
3
所以三角形周长的取值范围是 3 +3, 2 + 2．
【详解】(1)丁同学总分为 5 分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第( = 1,2,3)轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，?，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为，
则() = 1?2?3
+ ?12?3
+ ?1?23
= 3 × 12 × 1 = 1 ，
3618
即丁同学的总分为 5
1
分的概率为 ．
18
(2)由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁 2 名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对
战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为 7 分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得 0 分，0 分、
1 分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分
为 6 分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率1 = 1 × 1 = 1．
339
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙 2 名同学平局，第三轮比赛中乙、丙 2 名同学平局或
乙同学获胜，甲同学的总分为 4 分，排第二名，可以获得奖励，此时的概
1
3
1
3
率2 = 1 × 1 ×+= 2 ．
3327
③若第一轮比赛中甲、乙 2 名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙 2 名同学平局
时，甲同学的总分为 4 分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率1 × 1 × 1 = 1 ；
33327
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为 4 分，需要
进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率4 = 1 × 1 × 1 −
33
1
3
× 1 = 1 ．
227
综上，甲同学能获得奖励的概率 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 1 + 1 = 7 ．
927272727
【详解】(1)过点在平面内作? ⊥ ，垂足为点?，
因为平面 ⊥平面?，平面 ∩平面? = ，? ⊂平面，所以? ⊥平面?，? ⊥ ?，因为? ⊂平面?，所以? ⊥ ?， 因为 ⊥平面?，? ⊂平面?，所以? ⊥ ，
因为? ∩ = ，?、 ⊂平面，所以? ⊥平面，又 ⊂平面，所以? ⊥ ．
(2)由(1)得? ⊥平面，
所以为?在平面的射影，∠?为?与平面所成角，
2 + 2
在?中， ==6，
6
=
3 ，
在直角??中，tan∠? = ? = 2 6
3 ．
所以?与平面所成角的正切值为 6
②过在平面?内作?的垂线，垂足为，过作//，交?于点，
因为 ⊥平面?，? ⊂平面?，所以 ⊥ ?，又因为 ⊥ ?，、 ⊂平面?，所以//，
因为 ⊂平面， ⊄平面，所以//平面，同理//平面，因为 ∩ = ，、 ⊂平面，所以平面//平面，
因为 ⊂平面，所以//平面，
设? = ， =2，且//，则 = ?，所以， = ，
?
?2 + 2
所以 = ，? =
=2， = ? − ? = 2
−2，
2
因为 ⊥平面?，? ⊂平面?，所以， ⊥ ?，
因为为?的中点，则 = ?，所以，∠? = ∠?，
所以，tan∠ = tan∠? = = 1
?
2
所以， = tan∠ = 1 =
，
2
2
2
− 2 ，
在直角?中，2 = 2 + 2 =
−
2 + 2 = 3 2 − 2 + 2，其中 1 ≤ ≤ 2，
2
2
2
2
2
因为二次函数 = 3 2 − 2 + 2 在[1,2]上单调递增，当 = 1 时， 2min = 3，即min = 6，
22
因为//， ⊥平面?，所以 ⊥平面?，因为? ⊂平面?，所以? ⊥ ，
因为//， ⊥ ?，所以 ⊥ ?，
因为 ∩ = ，、 ⊂平面，所以? ⊥平面，
因为 ⊂平面，所以 ⊥ ?，故二面角 − ? − 的平面角为∠，因为 ⊥平面?， ⊂平面?，所以 ⊥ ，
因为 = 1，所以 = 1 ，即为?的中点，所以 = 2 = 1 = 1，
2
tan∠ = = 2
2 ，2
− ? − 的正切值为 2
2 ，故二面角2 ．
【详解】(1) ∵ ()为奇函数，且定义域为 R，∴ ( − ) =− ()，即e + e− =− e− − e，也即( + 1)(e + e−) = 0，∴ =− 1．
(2) ∵ () ≥ + 1 恒成立，即：e− + e ≥ + 1 恒成立，所以(e − 1) ≤ e(e − 1)，
又∵ ∈ (0, + ∞)，∴ e − 1 > 0， ∴ ≤ e在(0, + ∞)上恒成立，又∵ e > 1，∴ ≤ 1，即的取值范围是( − ∞, 1]．
(3) ∵ () = e(e − 1) = e2 − e，
设ℎ() = ( − ) + () = e2 − e + e−2 − e− = (e2 + e−2) − (e + e−)，
e ⋅ e−
令 = e + e−，则 ≥ 2
∴ e2 + e−2 = 2 − 2，
= 2，当且仅当 = 0 取到等号，
设() = 2 − − 2且 ∈ [2, + ∞),
2−2
令() = 0，得 =
= 1 ，
−2
令() = 1 , ∈ [2, + ∞)，则() = 1 在[2, + ∞)上单调递减，
−2
∴ () ∈ (0,1]，
−2
当 > 1 或 ≤ 0 时， = ()与 = 无交点，()无零点，ℎ()无零点，方程无根；
当 = 1 时，2 − − 2 = 0，∴ = 2 或 =− 1(舍)，
∵ = e + e− = 2 只有 = 0 一个解，
∴ ℎ()只有一个零点，方程有一个根；
2
当 0 < < 1 时，()在 ∈ [2, + ∞)上有零点 = 1+ 1+82 > 2，
先证 = + −在[0, + ∞)上单调递增，
1
任取1, 2 ∈ [0, + ∞)且1 < 2，所以1 − 2 = e1 + e−1 − e2 − e−2 = (e1 − e2 )(1 −
=
(e1−e2)(e1e2−1)
e1e2，
∵ 0 ≤ 1 < 2，∴ e1 − e2 < 0, e1 e2 − 1 > 0，
∴ 1 − 2 < 0，∴ = e + e−在[0, + ∞)上单调递增，
又∵ = e + e−为偶函数，∴ = e + e−在( − ∞, 0)上单调递减，
2
∴ e + e− = 1+ 1+82有两个互为相反数的根，
∴此时ℎ()有 2 个零点，方程有两个根．综上，当 > 1 或 ≤ 0 时，方程无根；
当 = 1 时，方程有一个根；
当 0 < < 1 时，方程有两个根．
19.【详解】(1)①因为̅→ = (, ), ̅→ = ̅̅1→ + ̅̅2→，
̅→2 = ̅̅1→ + ̅̅2→ 2 = 2̅→2 + 2̅̅1→ ⋅ ̅̅2→ + 2̅→2 = 2 + 2cs + 2,
e1e2 )
12
所以|̅→| =2 + 2cs + 2，
( − 1)2 + 2 ⋅ ( − 1) ⋅ 3cs + 32
②由̅→ = ( − 1,3), ̅→ = ( − 3,1)，得|̅→| =
( − 3)2 + 2 ⋅ ( − 3) ⋅ 1 ⋅ cs + 12
|̅→| =
=10 − 6cs，
=10 − 6cs，
̅→ ⋅ ̅→ = − ̅̅1→ + 3̅̅2→ ⋅ −3̅̅1→ + ̅̅2→ = 3̅→2 + 3̅→2 − 10̅̅1→ ⋅ ̅̅2→ = 6 − 10cs，
12
因为̅→与̅→π
的夹角为3，
则 cs π = ̅→⋅̅→
= 6−10cs = 1
cs = 1
2
3|̅→|̅→∣
10−6cs，得．
7
(2)方法一：依题意设?(, 0), (0, ), ( > 0, > 0)，
∠? = π , ? = 1, ̅̅̅̅→ = 7 ̅̅̅̅→ = 0, 7 ，
31919
因为为?中点̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅̅→ + 1 ̅̅?̅̅→ = 1 ̅̅1→ + 1 ̅̅2→，
2222
为?中点，所以̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅̅→ + 1 ̅̅?̅̅→ = 1 ̅̅1→ + 7 ̅̅2→，
22238
7
76
所以，̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1 ̅̅1→ + 1 ̅̅2→ ⋅ 1 ̅̅1→ + 7 ̅̅2→ = 1 2̅→2 + 7 2̅→2 + + 1 ̅̅1→ ⋅ ̅̅2→，
22238
4176
24
因为̅→2 = ̅→2 = 1, ̅̅1→ ⋅ ̅̅2→ = 1 ⋅ 1 ⋅ cs π = 1，则
1232
7
76
̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1 2 + 7 2 + + 1 1 = 1 2 + 7 2 + 13 ，
476
424
7676
在??中依据余弦定理得2 + 2 − = 1，所以 = 2 + 2 − 1，代入上式得，
̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 5 2 + 8 2 − 13 = 1 52 + 82 − 13
1
4
6
191976197 ．
4
设2 + 2 − 1 = ≤ 2 + 1 2( > 0)，则(1 − )2 + 1 −
1− 1
4
8
84
令 (1−) = 5得 322 − 12 − 5 = 0，得1 = 5 , 2 =− 1 (舍)，
所以3 2 + 3 2 ≤ 1,52 + 82 ≤ 40
2 ≤ 1，
853 ，
则̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1 52 + 82 − 13 ≤ 1 ⋅ 40 − 13 = 121．
1976
19 3
76228
方法二：依题意设?(, 0), (0, ), ( > 0, > 0)，
∠? = π , ? = 1, ̅̅̅̅→ = 7 ̅̅̅̅→ = 0, 7 ，
31919
因为为?中点，则̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅̅→ + 1 ̅̅?̅̅→ = 1 ̅̅1→ + 1 ̅̅2→，
2222
为?中点，所以̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅̅→ + 1 ̅̅?̅̅→ = 1 ̅̅1→ + 7 ̅̅2→，
22238
7
76
所以，̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1 ̅̅1→ + 1 ̅̅2→ ⋅ 1 ̅̅1→ + 7 ̅̅2→ = 1 2̅→2 + 7 2̅→2 + + 1 ̅̅1→ ⋅ ̅̅2→，
22238
4176
24
因为̅→2 = ̅→2 = 1, ̅̅1→ ⋅ ̅̅2→ = 1 ⋅ 1 ⋅ cs π = 1．
1232
7
76
̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1 2 + 7 2 + + 1 1 = 1 2 + 7 2 + 13 ，
476
424
7676
在??中依据余弦定理得2 + 2 − = 1，所以 = 2 + 2 − 1，
代入上式得，̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 5 2 + 8 2 − 13 = 1 52 + 82 − 13
6
191976197 ，
在??中，由正弦定理 ? = = ?，
3
π 3
3
sinπ
sin∠?sin∠?
3
设∠? = , = 2
sin, = 2
sin +，
52 + 82 = 20 sin2 + 32 sin2 +
π 3
201 − cs232
=×+×
1 − cs 2 + 2π
3
333232
=
1
2
3
5(1 − cs2) + 8 1 + 2 cs2 +
3
2 sin2
= 2 (13 − cs2 + 4 3sin2) = 2 [13 +48 + 1sin(2 − )] ≤ 40 , tan = 1 ，
3
则̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅→ = 1
3
52 + 82 − 13 ≤ 1 ⋅ 40 − 13 = 121 .
34 3
1976
19 3
76228