2026年高考数学一轮复习分层练习（中档题）10：圆锥曲线（30题）（含答案详解）

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一、单选题
1．若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的左，右焦点分别为，．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为3，是面积为6的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上位于第一象限的点，且，直线与交于A，两点，且（为坐标原点），则以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知直线与椭圆，则求椭圆上的点到直线l的最小距离（ ）
A．B．2C．D．
8．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆C在第一象限交于点M，若，则椭圆C的离心率（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
10．将抛物线向右平移至顶点与双曲线的右顶点重合，若平移后的抛物线在双曲线右支的内部（包含公共交点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．双曲线D．圆
12．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数的点）
C．曲线上存在一点，使得到点的距离小于1
D．曲线所围成区域的面积大于4
13．已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（ ）
A．B．直线FN的方程为
C．D．△PFN的面积为
14．已知抛物线的焦点为为其上一动点，当运动到点时，，直线与相交于两点，点，则（ ）
A．的准线方程为
B．的最小值为8
C．若，则过点
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
15．已知椭圆的左，右两个焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的（ ）
A．的周长为
B．当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
16．双曲线的左、右两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线与双曲线右支交于两点，则
B．若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为
C．若双曲线的离心率为，则
D．若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则
17．伟大的古希腊哲学家阿基米德最早用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍.已知椭圆的右顶点为，上顶点为B，、是椭圆的左、右焦点.为椭圆上的动点.则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的面积为
B．若的内切圆的面积为，则
C．椭圆上存在6个点，使得为直角三角形
D．若点在第一象限，则四边形面积的最大值为
18．已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于两点，则（ ）
A．以为直径的圆与准线相离
B．
C．为钝角三角形
D．
19．已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．只存在2个点，使得
B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值
D．的取值范围为
20．已知双曲线的一条渐近线的方程为，焦点为，.下列判断正确的是（ ）
A．的方程为
B．的离心率为
C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D．若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为
三、填空题
21．已知双曲线左、右焦点分别为，，过点作渐近线的垂线，垂足为，交右支于点，若，则的离心率是 .
22．已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则 ．
23．已知斜率不为0的直线与抛物线相交于，两点，与圆相切于点若为线段的中点，则直线的纵截距为 .
24．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，，是线段的中点，且，则双曲线的离心率为 ．
25．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若是的中点，满足，且、、成等差数列，则直线的方程为 ．
26．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则直线AB的斜率为
27．圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则点到直线的距离为 .
28．已知为双曲线的左、右焦点，圆与相交于点（点位于第一象限），若，则的离心率为 ．
29．设为双曲线的左，右焦点，为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，若，，则双曲线的离心率为 ．
30．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为 .
《圆锥曲线》参考答案
1．A
【分析】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程.
【解析】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）.
所以，平方可移项得到. 可得.
对于双曲线（，），其渐近线方程为.
已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为.
故选：A
2．B
【分析】根据渐近线与圆相切列等式，整理即可得到离心率.
【解析】双曲线的方程为，即，
因为渐近线与圆，所以，即，
整理得，所以双曲线的离心率为2.
故选：B.
3．B
【分析】求出抛物线的准线，过点作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解.
【解析】抛物线C：的焦点，准线方程为，
过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，，
由，得，即，
所以与的面积之比为.
故选：B
4．C
【分析】首先根据双曲线左焦点和直线斜率求出直线的方程，然后联立直线与圆的方程求出点的坐标.接着利用点是中点这一条件，联立直线与双曲线渐近线方程求出、横坐标，再根据中点坐标公式列出等式，最后求解出双曲线的离心率.
【解析】由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为，
则直线方程为，
由，得，即点P的坐标为，
双曲线渐近线方程为，设点，点，
则①，，
由，得，
由，得，
代入①得，解得，
所以双曲线C的离心率
故选：

5．B
【分析】利用斜率得直角中三边的比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【解析】如下图：由题意，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，
所以，则，由正弦定理可得：
，
则由，得，
由，解得，
则，则.
由双曲线第一定义可得：，则，
所以双曲线的方程为.
故选：B.
6．B
【分析】设，由焦半径公式求出、与p的关系，接着联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和求出p即可求出圆心和半径得解.
【解析】设，则，
所以，
联立，设，
则，，
因为，所以，
故，则，抛物线的准线方程为，
所以点与抛物线的准线距离为3，
以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的半径为3，
所以以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为.
故选：B
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用韦达定理和求出p.
7．C
【分析】根据图形得到点到直线的距离最小，然后联立直线和椭圆方程得到，最后求距离即可.
【解析】

如图所示，，与椭圆相切于点，所以点到直线的距离最小，
设：，联立得，
令，解得或（舍去），
则，的距离，
即点到直线的距离为.
故选：C.
8．D
【分析】根据得，再结合直线的倾斜角表示出点坐标，根据点在椭圆上，可得关于的齐次式，整理可得椭圆的离心率.
【解析】如图：

∵，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴，设直线的倾斜角为，，
则，则，，
则，，
将点M的坐标代入椭圆方程，整理得，
解得或（舍），∴.
故选：D.
9．C
【分析】求出双曲线的渐近线，由平行关系求出，再结合双曲线定义及等腰三角形性质列式求出离心率.
【解析】由对称性，不妨取双曲线的渐近线，令的半焦距为c，
依题意，，则，而，
则，，解得，
所以C的离心率为.
故选：C
10．D
【分析】先求出抛物线平移后的方程，再结合抛物线与双曲线的位置关系得到的取值范围，最后根据双曲线离心率公式求出离心率的取值范围.
【解析】对于抛物线，其顶点坐标为，双曲线，
其标准方程为，右顶点坐标为.
将抛物线向右平移个单位，抛物线的方程为.
又双曲线的方程可化为，因抛物线在双曲线右支的内部，
所以在上总成立，
所以，即，所以，即，
所以，从而．
故选：D.
11．AC
【分析】根据点的不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可.
【解析】由题知，，圆半径为，连接，
则，
当在圆内时，如图所示，
所以，
可得点的轨迹为到两定点之间的距离之和为的椭圆；
当在圆上时，如图，为圆的弦，
则点的轨迹是点，

当点在圆外时，如图，
则，
所以点的轨迹为到两定点之间距离之差的绝对值为的双曲线.
故选：AC
12．BD
【分析】根据对称性判断A，结合图形判断整点判断B，应用两点间距离公式判断C，结合三角形面积公式计算判断D.
【解析】方法一：，代入则，即曲线不是关于对称，
，整点，，，共4个，B对．
设，，C错．
如图，曲线所围成区域的面积大于4，D对，
方法二：对于A，在曲线上，关于的对称点，而不在曲线上，
曲线不关于直线对称，A错．
对于B，由，当时，；当时，；
当时，，舍；当时，也舍，当时，
曲线上恰有4个整点及，B正确．
对于C，设为曲线上的点，，
到的距离，C错．
对于D，曲线关于轴对称，考察曲线在第一象限与轴围成的面积，为曲线第一象限上任一点，在曲线上，
，也在曲线上，且时，
，当且仅当或1时取“＝”，
始终在上方，即在直线上方；
且时，，
当且仅当时取“＝”，始终在直线上方，曲线所围区域面积S围>2S△MAB=2×12×4=4，D正确，
故选：BD．
13．BCD
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，圆的圆心及半径，再结合抛物线的定义逐项判断即可.
【解析】抛物线的焦点，准线，圆的圆心，半径，
连接，由切圆于，得，
对于A，，则，A错误；
对于B，由选项A知，，直线的斜率为1，方程为，B正确；
对于C，设，由，解得，，C正确；
对于D，的面积，D正确.
故选：BCD
14．ABD
【分析】由抛物线的定义及已知得，即可判断A；作准线，由，数形结合判断B；求、与抛物线相交弦长，判断存在使，即可判断C；由抛物线的定义及圆的性质判断D.
【解析】由题设，可得，则，准线为，A对；
由，作准线，如下图示，
则，当且仅当共线且准线取等号，B对；
若，联立，则或，
不妨令，则；
若，联立，则或，
不妨令，则；
所以，对于直线，存在使，此时直线不过，C错；
若直线过焦点时，以为直径的圆的半径为，
而的中点，即圆心的横坐标为，易知以为直径的圆与轴相切，D对.
故选：ABD
15．ACD
【分析】由椭圆的定义判断B，由中点弦，“作差法”判断B，由向量的数量积的坐标表示求离心率的范围，判断D，由椭圆的通径求离心率，判断D．
【解析】
直线过左焦点，的周长为，A正确；
设，，则，点，
，
由，两式相减得：，
，
，故B错误；
，，
，
即，
又，，
，即，
则椭圆的离心率的取值范围是，C正确；
为椭圆的通径时最小，即轴，
令，，解得，
通径为，
整理得，即，
解得，舍去，故D正确．
故选：ACD．
16．CD
【分析】根据双曲线的定义即可求解A，根据渐近线的斜率即可求解B，根据离心率公式即可求解C，联立直线与直线的方程得，，联立直线与曲线方程可得韦达定理，计算即可求解D.
【解析】对于A，由于，且,故,
由于与不一定相等，故A错误，
对于B，渐近线方程为，要使直线与双曲线恒有公共点，则需，故，B错误，
对于C，双曲线的离心率为，则，由于，故，C正确，
对于D，由题意可知有斜率，当斜率不为0时，设切线方程为，根据相切可得，
渐近线方程为，联立与可得,
故，同理可得，,
联立与的方程可得，
设,则，
，
因此，故,故D正确，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：联立方程可得，，以及，代入计算求解D.
17．ABD
【分析】由椭圆的标准方程可得的值，由题意可得A的正误；由三角形内切圆面积求得其半径，根据椭圆焦点三角形面积的二级结论，可得B的正误；求当动点在上下顶点处的夹角，则夹角最大值是锐角，故可得动点只可在过焦点与轴的垂线上，可得C的正误；利用三角函数设出动点坐标，利用坐标求得面积，可得D的正误.
【解析】由椭圆可知：，，所以椭圆的面积为，故A正确；
因为内切圆的面积为，则半径为，由，
知，所以，故B正确；
当位于短轴顶点时，此时，故为锐角，
因此椭圆上存在四个点，使得为直角三角形，故C不正确；
设，则，
所以四边形面积的最大值为，故D正确，
故选：ABD.
18．ACD
【分析】对于A，根据抛物线的定义求得弦中点到准线的距离，并与弦的一半比较，可得其正误；对于B，设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得其正误；对于C，根据向量点乘积，结合B选项的韦达定理，可得其正误；对于D，根据抛物线定义，化简式子，结合B选项的韦达定理，可得其正误.
【解析】如图所示，由题知抛物线的焦点为，准线方程为.
对于A，设的中点为，分别过向准线引垂线，垂足分别为，
所以，故A正确；
对于B，设过点的动直线的方程为，
联立方程组，得，
设，，则，
则
，当且仅当时等号成立，B错误；
对于C，
，
所以为钝角，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：ACD.
19．BCD
【分析】A选项，由为圆心为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由满足椭圆方程，代入直线与直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求的最值，得取值范围.
【解析】对于A中，由椭圆，可得，，，由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点，故存在4个点，使得，所以A错误；
对于B中，设，则，且，，可得，
则为定值，所以B正确．
对于C中，由椭圆的定义，可得，
则
，
当且仅当时，即时等号成立，所以C正确．
对于D中，由点在椭圆外，设直线与椭圆相交于，
如图所示，则
因为，且，
可得，即，
所以，
所以，所以D正确．
故选：BCD.
20．ABD
【分析】利用双曲线的几何性质、渐近线方程和离心率公式判断AB，利用双曲线的定义判断C，利用三角形等面积法判断D.
【解析】对于A，由可得，其渐近线的方程为，则，
所以的方程为，故A正确；
对于B，易知，，即，所以离心率为，故B正确；
对于C，如图所示：
根据双曲线定义可得，所以，
又，，因此，
当三点共线时，满足题意，此时的最小值为，故C错误；
对于D，若点为的上支上一点，则，如图所示：
由可得，，
又，因此的周长为，
易知的面积为，
设的内切圆圆心为，半径为，
易知，即，
解得，故D正确，
故选：ABD
21．
【分析】设一渐近线方程为，则应用点到直线距离得出，再结合平行得出，再结合双曲线定义得出，计算即可求得离心率．
【解析】设渐近线，，则，
，所以，因为是的中点，，
所以,所以，
又因为，所以，即，解得，
则.
故答案为：.
22．
【分析】求出的坐标，利用两点间的距离公式即可得
【解析】在椭圆中，，∴，
在椭圆上关于原点对称，
设，由对称性，不妨设点在第一象限，
所以，
因为，所以，，
，或，
所以，
所以，
故答案为：
23．
【分析】设直线方程为，将其代入抛物线方程，，，线段的中点，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，表示出点坐标，再由圆心到直线的距离等于半径及点在圆上求出的值.
【解析】设直线方程为，将其代入抛物线方程得，即，
设，，则，，
则设线段的中点，则，
将代入直线方程得到，
圆的方程为，圆心为，半径为，
因为直线与圆相切于点，所以圆心到直线的距离等于半径，
直线方程可以写成，
则圆心到直线的距离，化简得，
由中点在圆上，代入圆的方程，
化简得到，
将代入，得到 ，
化简得，即，解得，
直线方程为，
所以，
即直线的纵截距为
故答案为：
24．
【分析】由双曲线的定义结合条件判断为等边三角形，在通过余弦定理构造等式，即可求解；
【解析】如图，
因为为线段的中点，且，
所以，设，由双曲线定义，
，所以，
又，所以，
因为点在双曲线右支上，所以，
从而，故，
所以，，，，
又，所以，
从而是正三角形，故
在中，由余弦定理，，
所以，
整理得：，故双曲线的离心率.
故答案为：
25．
【分析】根据焦点弦公式可得，即可根据中项关系，结合图形中的相似可得，即可求解，根据点斜式即可求解直线方程.
【解析】如图：设直线的斜率为正，设，且，
则，故，
故抛物线方程为，
过点作准线的垂线，作准线的垂线，
则,,故是的中点，
由于、、成等差数列，则,
故,
因此,故，
因此,因此,
此时直线方程为，
当斜率为正且时，此时，不符合题意，
根据对称性可知，当直线斜率为负时，方程为，
综上可得直线方程为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据焦点弦公式以及中点关系可得，根据等差中项，结合相似即可求解。
26．
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求得，再利用余弦定理及斜率的定义求解.
【解析】如图，设，连接，
依题意，，则，且，即，
在中，由余弦定理得，
因，则 ，
在中，由余弦定理得，
由余弦定理，，
因，则，
于是直线AB的斜率为.
故答案为：
27．或1
【分析】根据圆心得到抛物线方程，联立抛物线方程和与拿的方程得到，然后计算直线的方程，最后求距离即可.
【解析】圆的圆心为，所以，解得，
所以抛物线方程为，
联立得，
所以直线的方程为，即或，
则点到直线的距离为或.
故答案为：或1.
28．
【分析】根据双曲线定义并结合圆的直径所对圆周角为直角，且由，得到，进而可以得到离心率.
【解析】由圆，则圆以为直径的圆，
又由是双曲线与圆的交点，则,,
由,
则，，
所以,
在直角中，则,
故.
故答案为：.
29．2
【分析】根据数量积的几何意义得到，然后结合双曲线的性质列方程得到，，然后根据得到，最后根据直角三角形的性质列等式求离心率.
【解析】

过作于，渐近线方程为，即，，
则，，
所以，于是，
解得或（舍），所以为线段的中点，为等腰三角形，
从而，，
由，得，
又，所以，
则，所以，
所以，即，故双曲线的离心率为2．
故答案为：2.
30．4
【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得.
【解析】如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点，
设，所以，由抛物线的定义得，所以，
在中，，又因为，
解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，
即到抛物线的准线的距离为4.
故答案为：4.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
B
B
C
D
C
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
AC
BD
BCD
ABD
ACD
CD
ABD
ACD
BCD
ABD