2026年高考数学一轮复习分层练习（中档题）09：直线与圆的方程（30题）（含答案详解）

这是一份2026年高考数学一轮复习分层练习（中档题）09：直线与圆的方程（30题）（含答案详解），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
2．已知直线与椭圆，则求椭圆上的点到直线l的最小距离（ ）
A．B．2C．D．
3．圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
6．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知直线与圆相离，若在直线与圆上分别存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．4
9．已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）．
A．B．C．4D．
二、多选题
11．对于直线系，下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点B．直线与定圆相切
C．直线系中存在两条直线平行D．直线系中存在两条直线垂直
12．已知直线：，则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线之间的距离为1
13．已知直线与圆交于，两点，则（ ）
A．过定点
B．面积的最大值为25
C．的最小值为
D．的中点的轨迹所形成的图形的面积为
14．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．直线与圆恒有两个交点
C．存在实数，使得直线与直线垂直
D．直线被圆截得的最短弦长为
15．已知点M在圆上，点，，则（ ）
A．存在点M，使得B．的最大值为
C．存在点M，使得D．
16．下列命题正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．两平行直线与之间的距离是
C．过点作圆的切线，则切线方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为：
17．已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．过定点
B．若直线平分圆的周长，则
C．的最小值为
D．的中点的轨迹所形成的图形的面积为
18．设直线，则（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线与直线：一定垂直
C．直线过定点
D．当点在直线的右下方时，
19．已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．若直线与圆相交，弦长最大值为12
C．直线过定点
D．当时，直线与圆相切
20．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有两个交点
D．直线与圆相交得到的最短弦长为
三、填空题
21．已知圆，若圆与圆的公共弦方程为，且圆心为圆上在第三象限内的一点，则圆心的坐标为 ．
22．已知圆分别是上的动点，则的最大值为 ．
23．若圆与曲线的公切线经过，求 ．
24．已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 .
25．已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为 ．
26．圆关于直线对称，则的最小值是 ．
27．已知直线与圆交于两点，则面积最大时的一个值为 ．
28．已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为 .
29．已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ．
30．过圆C：内一点的条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为 .
《直线与圆的方程》参考答案
1．B
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.
【解析】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据图形得到点到直线的距离最小，然后联立直线和椭圆方程得到，最后求距离即可.
【解析】

如图所示，，与椭圆相切于点，所以点到直线的距离最小，
设：，联立得，
令，解得或（舍去），
则，的距离，
即点到直线的距离为.
故选：C.
3．C
【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可；
【解析】因为圆的半径为2，
由题意可知：圆心到直线的距离为1，
即，解得：，
故选：C
4．B
【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长.
【解析】圆圆心坐标为，半径为，
所以点到直线的距离可以求得弦心距为，
所以根据几何法得弦长为．
故选：B.
5．D
【分析】求，利用导数的几何意义可求的值.
【解析】由题意得，函数的定义域为，且，
∴，
∵曲线在点处的切线与直线垂直，
∴，即，故.
故选：D.
6．C
【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充分不必要条件的定义求解.
【解析】直线与直线平行,则满足
，解得或，
因此“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：C
7．C
【分析】利用直线与圆的位置关系得到，再根据条件知当时，最大，将问题转化成，即可求解.
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
又直线与圆相离，则，解得，
又在直线与圆上分别存在点，使得，
易知当时，最大，又，
所以，得到，
又到直线的距离为，所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
8．C
【分析】求出点C关于直线的对称点，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答.
【解析】点在直线上，
圆的圆心，半径，而点在圆上，则，

因此，令点关于直线对称点，，
则有，解得，即，
因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，
直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，
所以当点与重合时，，.
故选：C
9．BC
【分析】根据题意可得圆的半径以及圆心到直线的距离，结合圆的性质就三角形面积的最值.
【解析】由题意知：，，
且圆心坐标为，半径为1，
因为圆心到直线的距离．
所以的最大值，故A错误，B正确；
的最小值，故C正确，D错误；
故选：BC.
10．B
【分析】先求出直线所过的定点，
方法一：取中点B，易得，进而可得出答案.
方法二：设、夹角为，将平方，结合数量积的运算律及余弦定理化简即可得解.
【解析】由，得，
令，解得，
所以直线过定点，
由得圆心，半径
方法一：如图，取中点B，
，
当且仅当两点重合时取等号，
所以的最大值为.
方法二：（平方法）设、夹角为，
，
当与垂直时，最小，并且最小值为，
此时，即．
故选：B.
11．BCD
【分析】由原点到直线的距离为定值1，可判断AB，分别令，，，得到具体直线可判断CD;
【解析】原点到直线的距离，直线与单位圆相切，不可能过定点，否则直线为定直线；A错，B对，
当时，直线；当时，直线；当时，直线，
于是存在，．C对，D对，
故选：BCD
12．ACD
【分析】把直线方程变形为可得选项A正确；利用两直线垂直公式可得选项B错误；利用两直线平行公式可得选项C正确；利用两直线平行求出，结合两平行线间距离公式可得选项D错误.
【解析】A.直线方程可变形为，
由得，故直线过定点，A正确；
B.当时，，
∵，∴两直线不垂直，B错误.
C.当时，：，
∵，∴两直线平行，C正确.
D.当时，，解得，
∴，
∴两直线间距离为，D正确．
故选：ACD.
13．AC
【分析】计算直线定点判断A，结合圆的标准方程计算三角形面积范围判断B，应用几何法求弦长最小值判断C，得出的轨迹判断D.
【解析】直线，即，由，解得，，可得直线恒过定点，故A正确；
圆，即，
所以圆心为，半径，面积为，故B错误；
直线恒过定点，且在圆内，，则的最小值为，故C正确；
因为，所以的轨迹是以为直径的圆，半径为，面积为，故D不正确.
故选：AC.
14．BCD
【分析】A.由判断；B. 由判断；C.由判断；D.由当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短判断.
【解析】A.，即为 ，所以直线恒过点，故错误；
B. 因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两个交点，故正确；
C.当时，直线与直线垂直，故正确；
D. 当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短，
最短弦长为，故正确；
故选：BCD
15．AD
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设，若，推出恒成立，即可判断C、D.
【解析】圆即，圆心，半径，又，
所以，因为点在圆上，所以，
所以存在点，使得，故A对．
因为，所以点在圆外，又，点在圆内，
所以当与圆相切时，取最大值，
此时，所以，故B对．
对于D，设，若
，
又点在圆上，一定成立，故D对，C错.
故选：AD．
16．ACD
【分析】对于A，由，通过即可判断；对于B，由距离公式即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于D，确定圆心的对称点，即可判断；
【解析】对于A：，即，令，解得，即直线恒过定点，故A正确；
对于B：直线，即，
则直线与之间的距离，故B不正确；
对于C：因为点在圆上，，所以切线的斜率，
所以切线方程为，即，故C正确；
对于D：圆的圆心为，
圆的圆心为，且半径均为1，
点与的中点为，
因为在直线上，且，由直线的斜率，
所以，所以点与关于直线对称，故D正确.
故选：ACD
17．AC
【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的性质计算判断CD；求出轨迹方程判断D.
【解析】对于A，直线过定点，A正确；
对于B，圆的圆心，半径，当直线过点时，
，解得，B错误；
对于C，，当且仅当时，，C正确；
对于D，当点不在直线时，，点在以线段为直径的圆上，
当在直线时，点在以线段为直径的圆上，而直线不含直线，
即点不含点，因此点的轨迹是以为直径的圆（除点外），
因此的中点的轨迹所形成的图形的面积为，D错误.
故选：AC
18．CD
【分析】令计算直线在轴上的截距可得选项A错误；利用两直线垂直公式可得选项B错误；直线方程变形可得选项C正确；数形结合可得选项D正确.
【解析】A.令得，，
当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误.
B.，当时，直线与直线不垂直，B错误.
C.直线可化为，
由得，，故直线过定点，C正确.
D.由点在直线的右下方得，.
由得，
∴，解得，D正确.
故选：CD.
19．AD
【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而得到圆心和半径，判断AB两个选项，由直线的方程，令的系数为求得定点，判断C选项，由点到直线的距离判断D选项.
【解析】由圆可化为，故A正确；
弦长最大值为直径，B错误；
由直线方程可化为，则直线过定点，故C错误；
当时，直线即，
圆心到直线的距离，从而直线与圆相切，故D正确．
故选：AD．
20．ACD
【分析】对于A：整理可得，进而分析定点；对于B，分析可知，求圆心到直线的距离即可；对于C：分析可知点在圆内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：可知当圆心与点连线垂直时弦长最短，进而求弦长.
【解析】对于A，因为直线，可得，
令，解得，所以直线恒过点，所以A正确；
对于B，由圆，可得圆心，半径为，
要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，
当时，直线，
可得圆心到直线的距离为，所以B错误；
对于C，因为直线恒过点，设为点，
可得，
所以点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，所以C正确；
对于D，当圆心与点连线垂直时弦长最短，此时弦长为，故D正确.
故选：ACD.
21．
【分析】圆，根据题设建立方程组，即可求解.
【解析】由题可设圆，因为圆与圆的公共弦方程为，
知公共弦所在直线的斜率为，所以①，
又圆在圆上，所以②，
联立①②，解得，所以，
故答案为：.
22．10
【分析】先求出圆心及半径，再根据求出距离的最大值.
【解析】圆，圆心，，
圆，圆心，，
因为分别是上的动点，
则的最大值为.
故答案为：10.
23．
【分析】由对数函数可知公切线斜率存在，设公切线方程为，利用圆与该直线相切即可求出公切线方程，设处的切点，由切点在公切线上以及斜率即为切点处的导数，即可求出结果.
【解析】由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为，
则到公切线的距离等于半径，
即，解得，
所以公切线方程为，
对于，设切点为，
所以，
则可得，解得.
故答案为：
24．
【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程.
【解析】取最小值四边形而积最小直线，
此时直线方程为，与直线联立求出点，
以为直径的圆的方程为，又圆，
两圆方程左右两边相减可得直线的方程为.
故答案为：.
25．2
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，根据几何法求弦长，表示出三角形的面积为，结合导数求出面积的最大值即可.
【解析】如图，
点到直线的距离为，则，
，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
得，即的最大值为.
故答案为：2
26．
【分析】由题设得直线过圆心，进而得，再结合基本不等式常数“1”的代换方法计算即可求解..
【解析】圆的圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
则直线过圆心，所以，则，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
27．（答案不唯一）
【分析】因为是圆上的点，所以是等腰三角形，面积，当且仅当时面积最大，此时圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，此外，也可以从平行线的角度考虑，求出到直线的距离为且与单位圆有交点的平行线，进而求得，从而得到的一个值.
【解析】法一：
由题知的圆心坐标为，半径为．易知是等腰三角形，
所以的面积，则当且仅当时，面积最大，
此时圆心到直线的距离为，即，
即，得，任选一个值填写即可，如．
法二：圆心在单位圆上．
当面积最大时，圆心到直线的距离等于，
不妨设到直线的距离为的直线的方程为，则圆心为该直线与单位圆的交点．
由平行直线之间的距离公式得，解得或（舍去），
所以圆心所在直线为，所以，即符合题意．
故答案为：（答案不唯一）.
28．
【分析】由点到的轨迹为圆，问题转换成直线与圆有交点即可求解；
【解析】解：设点，
点，，，
，整理得，即点在圆 上，
又直线上存在点使得，
圆与直线有交点，
圆心到直线的距离，解得，即.
故答案为：
29．
【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数.
【解析】由题知，设，
因为，
所以
，
联立，
可得，
所以，
所以，.
故答案为：
30．
【分析】依题意，过点的2023条弦构成公差为正数的等差数列，要使公差最大，必须使首项取到最短弦长，末项取到最长弦长，结合等差数列通项公式计算即得.
【解析】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10，
最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下)
如图，过点且与垂直，过点另作弦，过点作于点，
在中，显然，而，
因，则得，即为过点的最短弦长.
要使公差最大，则这条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项.
即，解得：，故公差的最大值为.
故答案为：.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
D
C
C
C
BC
B
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
BCD
ACD
AC
BCD
AD
ACD
AC
CD
AD
ACD