湖北省2024_2025学年高二数学下学期6月期末联考试题含解析

这是一份湖北省2024_2025学年高二数学下学期6月期末联考试题含解析，共16页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 18B. 16C. 14D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，从而得解.
【详解】解：设的公差为，依题意可得，
即，解得，所以；
故选：C.
2. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 2或6
【答案】A
【解析】
【分析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，，则，所以或.
若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；
若c=6，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以在处有极大值，不满足题意；
综上：c=2.
故选：A.
3. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）
A. 60B. 48C. 36D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
分成两类，第一类是长方体的面和它相对的面上的条棱和条对角线组成的“平行线面组”，第二类是长方体的对角面和棱构成的“平行线面组”，分别计算两类的结果再相加即可.
【详解】一个长方体的面可以和它相对的面上的条棱和两条对角线组成个“平行线面组”，
一共有个面，共有种.
长方体的每个对角面有个“平行线面组”，共有个对角面，
一共有种.
根据分类计数原理知：共有种.
故选：B
【点睛】本题主要考查分类计数原理，解题的关键是看清题目中线面之间的关系，属于中档题.
4. 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ）
A. 18B. 24C. 30D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是1男2女，一类是2男1女.
【详解】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类：
（1）3人中是1男2女，共有；
（2）3人中是2男1女，共有；
所以男女生都有的选法种数是.
【点睛】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题.
5. 若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为
A. B. 1C. 27D.
【答案】A
【解析】
【详解】依题意二项式系数和为.故二项式为，令，可求得系数和为.
6. 同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本事件概念即可求解.
【详解】因事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，
共包含6个样本点.
故选：D.
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误
故选：C
8. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】对两边取对数，利用对数运算性质计算，再与线性回归方程比对即可得解.
【详解】因，两边取对数得：，
令，则，而，于是得，即，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案.
【详解】直线的斜率为，
由的导数为，故A错；
由导数为，令，解得，故B对；
由的导数为，而有解，故C对；
由的导数为，令，解得，故D对．
故选：BCD
10. 有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N的算式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据结合的性质，结合分类计数原理逐一判断即可.
【详解】因为有13名医生，其中女医生6人，所以男医生7人.
A：表示选派1个男医生4个女医生，因此表示不选派1个男医生4个女医生，这里包括不选派男生，显然不符合题意，
B：表示选派2个男医生3个女医生，表示选派3个男医生3个女医生，
表示选派4个男医生1个女医生，表示选派5个男医生，
显然表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；
C：表示选派1个男医生4个女医生，表示选派5个女医生，显然表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；
D：表示先从7名男医生中选2名男医生，再从剩下全部医生中选3名医生，显然不符合题意，
故选：BC
11. 下列结论正确是（ ）
A. 若随机变量x服从两点分布，，则
B. 若随机变量Y的方差，则
C. 若随机变量ζ服从二项分布，则
D 若随机变量η服从正态分布，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项.
【详解】由条件可知，，，故A正确；
，故B错误；
若随机变量ζ服从二项分布，则，故C错误；
根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 已知数列满足，，，则数列的前项和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.
【详解】由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，设数列的前项和为，
.
故答案为：
【点睛】解答本题的关键是要分类讨论为奇数与为偶数时所对应的数列的通项公式，再利用分组求和法求和.
13. 某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36.若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
【答案】0.4
【解析】
【分析】先求出A，B两市受台风袭击的概率，再分别求出X取不同值的概率，即可求出期望.
【详解】设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，
则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
故答案为：0.4.
14. 已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，则，中较大的是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据散点图的分布情况判断可得.
【详解】由散点图知，用拟合的效果比拟合的效果要好，
所以，故较大者为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列．
（1）求数列的前项和；
（2）若数列的首项，求数列的通项公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可进行基本量的计算求解；
（2）对数列进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列的通项公式.
【小问1详解】
因为成等比数列，所以，
又等差数列的公差为，
所以
可解得，
所以数列的前项和；
【小问2详解】
①，
当时，，可得，
可得②，
由②式减①式，得，
所以
，
且符合上式，所以.
16. 在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）若选①，根据已知条件考虑对应的等式，两式作差得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选②，根据已知条件考虑对应的等式，结合得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选③，将点代入直线方程，然后根据得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；
（2）先求解出的通项公式，然后采用错位相减法进行求和.
【详解】（1）方案一：选条件①.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
方案二：选条件②.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
∴
方案三：选条件③.
∵点在直线上，
∴，∴，
两式相减，整理得，当时，，得，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）可得，，则，
，
两式相减得
∴.
【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；
（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.
17. 已知函数为常数，e=2.71828…，曲线在点处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 单调递增区间是，单调递减区间是
【解析】
【详解】试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间
试题解析：（I） ，
由已知，，
（II）由（I）知，.
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，，
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义
18. 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.
（1）由表中的数据分析，老年人､中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
【答案】（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）；（3）建议他选择报团游.
【解析】
【分析】（1）分析数据，直接求出老年人､中年人和青年人选择报团游的频率进行比较；
（2）列举基本事件，利用古典概型求概率；
（3）分别求报团游和自助游的满意率，进行比较，得到结论.
【详解】（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：
，
∵，
∴老年人更倾向于选择报团游.
（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为，中年人有2人，记为，青年人有2人，记为，
从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：
，
其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：
，
∴这2人中有老年人的概率为.
（3）根据表中的数据，得到：
报团游的满意率为，
自助游的满意率为，
∵，∴建议他选择报团游.
【点睛】概率的计算：
（1）由频率估计概率；
（2）利用古典概型、几何概型求概率；
（3）利用概率公式（互斥事件、相互独立事件、条件概率）求概率
19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．
表中：
（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程：
（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
②参考数据：．
【答案】（1）②
（2）
（3）7.5分钟
【解析】
【分析】（1）根据散点图的走势即可对回归方程作出判断和选择；
（2）把非线性回归方程化为线性回归直线方程，根据题中表格所给的数据计算求解即可；
（3）由已知当茶水温度降至60℃口感最佳，即把代入（2）中回归方程，化简可得大约需要放置的时间；
【小问1详解】
根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②更适宜此散点的回归方程.
【小问2详解】
由有：，两边取自然对数得：，设，， ，
则化为：，又，
，，
，，
回归方程为：，
即.
【小问3详解】
当时，代入回归方程得：，化简得：，即，
又，
约化为：，
即
大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
73.5
3.85