湖北省2024_2025学年高二数学下学期4月期中联考试题含解析

这是一份湖北省2024_2025学年高二数学下学期4月期中联考试题含解析，共16页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时必须使用 2B 铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡，相应的位置上.
1. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 160 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式展开式 通项公式即可求解.
【详解】由题可得二项式展开式的通项公式为 ，
令 ，所以展开式中的常数项为 .
故选：B
2. 下列函数 求导不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】利用复合函数求导法则，逐项求导判断.
【详解】对于 A， ，A 正确；
对于 B， ，B 正确；
对于 C， ，C 错误；
对于 D， ，D 正确.
故选：C
3. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出首项和公差，利用 得到 ，再求值即可.
【详解】设首项为 ，公差为 ，因为 ，所以 ，
则 ，即 ，得到 ，
而 ，故 C 正确.
故选：C
4. 在等比数列 中， 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
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【分析】利用韦达定理得到 ， ，进而判断出 ，再利用等比中项性质
求出 ，最后得到目标式的值即可.
【详解】由题意得在等比数列 中， 是方程 的两个实数根，
则由韦达定理得 ， ，故 ，得到 ，
由等比中项性质得 ，解得 ，得到 ，故 A 正确.
故选：A
5. 现有 6 个编号为 不同的球和 6 个编号为 不同的盒子，每盒放一球，则恰有三个
球的编号和盒子的编号相同的放法，有（ ）
A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 80 种
【答案】C
【解析】
【分析】选择 3 个盒子使编号与球相同，再求出另三球的方法数，利用分步乘法计数原理求解.
【详解】从 6 个盒子任取 3 个，使其与球的编号相同，有 种方法，另三球的放法数为 2 种，
所以恰有三个球的编号和盒子的编号相同的放法的 （种）.
故选：C
6. 与已知直线 平行的直线是曲线 的切线，当切线与已知直线距离最
大时，切点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数 的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，借助点到直线距离判断即可.
【详解】设切点坐标为 ，求导得 ，
依题意， ，即 ，解得 或 ，
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则切点坐标为 或 ，切线与直线 的距离即切点到该直线距离 ，
当切点为 时， ，
当切点为 时， ，
由 ，即点 到直线 的距离最大.
故选：D
7. 现有四所学校，每所学校出 2 名教师参加学科比武大赛，现有 4 名教师得奖，获奖教师中恰有 2 名教师
来自同一学校的有（ ）
A. 24 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 96 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理，组合计数问题列式求解.
【详解】从 4 所学校任取 1 所的 2 名教师，再从余下 3 所学校取 2 所，并分别取 1 名教师，
所求的不同方法种数为 .
故选：B
8. 下列不等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意设立函数，利用导函数得到函数单调性，通过比较函数值的大小逐项判断即可.
【详解】设函数 ，则 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
对于 A，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故 A 正确；
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对于 B，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，设函数 ，则 ，等于 0 不恒成立，
故 是 R 上的增函数，
因为 ，所以 ，即 ，故 C 正确；
对于 D，设函数 ，则 ，等于 0 不恒成立，
故 是 R 上的增函数，
因为 ，所以 ，即 ，故 D 错误.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设数列 的前 项和是 ，且 ，已知， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列 是等差数列 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小 为 15
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由题设条件求出 和 ，再结合等差数列定义和二次函数性质即可一一计算求解判
断各选项.
【详解】数列 的前 项和 ，且 ，
所以 ，
且 ，
对于 A，当 时， ，
当 时， ，
显然 满足上式，所以 ，
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所以 ，故数列 是等差数列，故 A 正确；
对于 BC，由上 ，
因为 ，所以 有最大值 ；故 B 错误，C 正确；
对于 D，令 ，所以 的最小 为 15，故 D 正确.
故选：ACD
10. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法求解判断 ABC；两边求导，再赋值求解判断 D.
【详解】对于 B，取 ，得 ，B 正确；
对于 A，取 ，得 ，则 ，A 错误；
对于 C，依题意， 均为正数， 均为负数，
取 ，得 ，则
，C 正确；
对于 D，两边求导得 ，取 ，
得 ，D 正确.
故选：BCD
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 总有两个极值点
B. 时， 只有一个零点
C. 点 是曲线 的对称中心，则
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D. 是 的极小值点
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定 的导函数零点情况判断 A；求出函数的极值判断 B；由对称性求出 判断 C；利用导数
求出极小值点判断 D.
【详解】函数 的定义域为 R，求导得
对于 A，方程 中， ，则函数 总有两个变号零点，
因此 总有两个极值点，A 正确；
对于 B，当 时， ， ，
当 或 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值 极小值为 ，即当 时， ，
而 ，因此 只有一个零点，B 正确；
对于 C，由点 是曲线 的对称中心，得 ，
即 ，则 ，C 错误；
对于 D，函数 的定义域为 R，求导得 ，
当 或 时， ；当 时， ， 是 的极小值点，D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 数列 中， ， ，则通项 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
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【详解】数列 中，由 ，得 ，而 ，
因此数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，则 ，
所以 .
故答案为：
13. 已知 ，求 在 处的切线方程：______．
【答案】
【解析】
【分析】对函数 求导得 ，令 ，可求得 ，结合导数的
几何意义即可求解.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 在 处的切线方程的斜率为 ，
又 ，
所以切线方程为： ，即 或 .
故答案为：
14. 已知 在 上是增函数，则 的最小值是______．
【答案】 ##
【解析】
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【分析】求出函数 的导数，再利用给定的单调区间建立恒成立的不等式求解.
【详解】函数 ，求导得 ，
由函数 在 上是增函数，得 ， ，
令 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
，因此 ，而 ，解得 ，
所以 的最小值是 .
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 的前 项和为 ，且
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用 与 的关系，结合等比数列求出通项公式.
（2）由（1）求出 ，再利用裂项相消法求和.
【小问 1 详解】
在数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，而 ，即 ，
因此数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ，
所以数列 的通项公式为 .
小问 2 详解】
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由（1）得 ，
所以数列 的前 项和 .
16. 已知函数 ，
（1）若 ，求 的单调区间和极值；
（2） 有两个根，求 的取值范围.
【答案】（1）递增区间为 ，递减区间为 ，极大值为 ，无极小值；
（2） .
【解析】
【分析】（1）把 代入，利用导数求出单调区间及极值.
（2）利用函数零点的意义分离参数，构造函数，求出函数的最大值，再利用直线与函数图象有两个交点求
出范围.
【小问 1 详解】
当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 取得极大值 ，无极小
值，
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，极大值为 ，无极小值.
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ，由 ，得 ，令 ，
由 有两个根，得直线 与函数 的图象有两个交点，
，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
当 时， 恒成立， ，
因此当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
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所以 的取值范围是 .
17. 一市级重点中学选中了 6 名男教师和 4 名女教师共 10 名教师，其中 1 名主任（男）和 1 名副主任（女），
现要组成 6 人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6 人支教小组中，有 3 名男教师和 3 名女教师；
（2）6 人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6 人支教小组中，至少有 1 名主任参加；
（4）6 人支教小组中既有主任，又有女教师．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用组合数的性质求解即可.
（2）（3）（4）先求出目标事件的对立事件概率，再求出目标事件的概率求解即可.
【小问 1 详解】
由题意得从 6 名男教师里选 3 名有 种选派方法，
从 4 名女教师里选 3 名有 种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有 种选派方法
【小问 2 详解】
由题意得从 10 名教师里选 6 名有 种选派方法，
而只有 4 名女教师，则 6 名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有 种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为 种.
【小问 3 详解】
由题意得从 10 名教师里选 6 名有 种选派方法，
从不是主任的 8 名教师里选 6 名有 种选派方法，
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则至少有 1 名主任参加有 种选派方法.
【小问 4 详解】
由已知得从 10 名教师里选 6 名有 种选派方法，
从不是主任的 8 名教师里选 6 名有 种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有 种选派方法，
则既有主任，又有女教师有 种选派方法.
18. 已知 中， ， ． 是 的前 项和．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的取值范围；
（3） ， ，求 的通项公式.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用累加法求出 的通项.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性求出范围.
（3）由（1）的结论，利用构造常数列法求出通项公式.
【小问 1 详解】
在数列 中，当 时， ， ，
， 满足上式，
所以 的通项公式是 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
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则 ，
而数列 单调递增，则 ，因此 ，
所以 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
由（1）知，当 时， ，
而 ，
则 ，即 ，
因此数列 常数列，则 ，
所以 的通项公式是 .
19. 已知函数 ， ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有解，求 的取值范围．
（3） ，讨论 零点个数.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先判断函数的定义域，在求出 的导数，进而对参数进行分类讨论求解单调性即可.
（2）利用分离参数法并构造新函数转化为 ，进而求解参数范围即可.
（3）对原函数进行同构，转化为交点问题，进而讨论交点个数，最后讨论零点个数即可.
【小问 1 详解】
由题意得 ， 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
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则 ，
当 时， ，令 ， ，令 ， ，
故此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，解得 或 ，
当 时，解得 ，令 ， ，
令 ， ，
故此时 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，解得 ，得到 ，
故此时 在 上单调递增，
当 时，解得 ，令 ， ，
令 ， ，
故此时 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
若 有解，则 有解，
故 有解，即 有解，则 有解即可，
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令 ，则 即可，而 ，
令 ， ，令 ， ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，故 ，则 .
【小问 3 详解】
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，而 ，
故 在 上单调递增，故 ，即 ，
若讨论 的零点个数，
我们讨论 和 的交点个数即可，
而 ，令 ， ，令 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
得到 的极大值为 ，
当 时， ，当 时， ，
则当 或 时， 和 有 个交点，
当 时， 和 有 个交点，
当 时， 和 没有交点，
综上，则当 或 时， 有 个零点，
当 时， 有 个零点，
当 时， 没有零点.
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