2026中考数学核心考点精讲精训练-考点22图形的变换（平移、旋转、轴对称）（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点22图形的变换（平移、旋转、轴对称）（学生版+名师详解版），共68页。
图形的变换以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，年年都有考查，分值在10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合其他考点出现。在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题；对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现（考查最值问题居多），在解答题中，也会考查对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论。
【知识清单】
1：图形的平移（☆）
1）平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做 平移 。平移不改变图形的形状和大小。
2）三大要素： （1）平移的起点，（2）平移的方向，（3）平移的距离。
3）性质： （1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等。
4）作图步骤：（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形。
2：图形的旋转（☆☆）
1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角。
2）三大要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。
3）性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
4．作图步骤：（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。
5）中心对称图形与中心对称
3：图形的轴对称（☆☆☆）
1）轴对称与轴对称图形
2）作轴对称图形的一般步骤：
（1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。
（2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）；②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点；③连.按原图对应连接各对称点。
3）折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
4：最短路径问题（☆☆☆）
与图形变换相关的最值问题有：将军饮马（遛马、造桥）（轴对称、平移）、费马点问题（旋转）、瓜豆原理（圆弧轨迹类）（旋转）等。
【易错点归纳】
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段。
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点。
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径。
【核心考点】
核心考点1. 图形的平移
◇典例1：（2025·湖南郴州·统考中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
变式1．（2025·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式2.（2025·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
变式3．（2025·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
例2：（2025·广东深圳·统考中考真题）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）

A．1B．2C．3D．4
变式1．（2025·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）

A．3B．4C．5D．12
变式2．（2025·四川南充·统考中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）

A．2B．C．3D．5
例3：（2025·河南信阳·九年级统考期中）在正方形网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为，，过点B作轴于点C．

(1)按照要求画出平面直角坐标系，线段，写出点C的坐标 ；(2)直接写出以A，B，C为顶点的三角形的面积 ；(3)若线段是由线段平移得到的，点A的对应点是C，画出线段，写出一种由线段得到线段的过程．
变式1. （2025·四川泸州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向下平移4个单位，再向左平移6个单位得到．
(1)请在图中画出；写出三个顶点的坐标；(2)求的面积．
(3)若中有一点，请直接写出平移后的坐标
变式2．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．

(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；(2)在图中画出，并连接，；(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
核心考点2. 图形的旋转
例4：（2025·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2025·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．

变式2．（2025·上海·统考中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．

变式3．（2025·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．

例5：（2025·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．

变式1．（2025·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ．
变式2．（2025·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A．B．C．D．
例6：（2025·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2025·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2025·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

例8：（2024·陕西西安·陕西师大附中校考二模）2025年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·湖南永州·校考二模）2025年11月29日23时08分，由航天科技集团五院抓总研制的神舟十五号载人飞船，由长征二号F运载火箭稳稳托举，在酒泉卫星发射中心一飞冲天，将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，展现了中国航天科技的强大．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·天津河西·校考三模）（多选题）在以下四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
例8：（2025·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
变式1．（2025·浙江杭州·二模）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
变式2.（2025·山东济宁·校考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣）B．（4n﹣1，）C．（4n+1，﹣）D．（4n+1，）
例9：（2025·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；(3)填空：的度数为_________．
变式1．（2025·辽宁抚顺·统考模拟预测）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，A的坐标是，请回答下列问题：
(1)将向下平移六个单位长度，画出平移后的；(2)画出关于原点O对称的；
(3)判断与是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标．

变式2．（2025·安徽滁州·统考二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．
(1)请画出关于原点O对称的；(2)将向右平移8个单位得到，请画出；(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．

核心考点3. 图形的轴对称
例10：（2025·江苏·统考中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
变式1．（2025·山西·统考中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2025·广东潮州·统考三模）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
例11：（2025·浙江温州·统考一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为 ．
变式1．（2025上·山东德州·九年级统考期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是 点．
变式2．（2025·福建三明·九年级统考期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .

例12：（2025·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，B．若，则弦的长是（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2025·安徽·校联考模拟预测）如图，在等腰中，，，为边上一动点，将沿折叠得到，，连接．（1） ；（2） ．
变式2．（2025·浙江杭州·校联考二模）如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
例13：（2025·广东深圳·统考模拟预测）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．(1)画出关于直线对称的；(2)直接写出______．四边形的面积为______．

变式1．（2025·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小

变式2．（2025·山东枣庄·统考中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．

核心考点4. 最短路径问题
例14：（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
变式1. （2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

变式2.（2025·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
例15：（2025·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．

变式1. （2025·黑龙江·统考中考真题）在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
例16：（2025·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

变式1．（2025·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
变式2．（2025·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．
(2)深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值．

例17：（2025·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
变式1．（2025·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．
变式2．（2025.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
考点22. 图形的变换（平移、旋转、轴对称）（精讲）
【命题趋势】
图形的变换以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，年年都有考查，分值在10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合其他考点出现。在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题；对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现（考查最值问题居多），在解答题中，也会考查对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论。
【知识清单】
1：图形的平移（☆）
1）平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做 平移 。平移不改变图形的形状和大小。
2）三大要素： （1）平移的起点，（2）平移的方向，（3）平移的距离。
3）性质： （1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等。
4）作图步骤：（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形。
2：图形的旋转（☆☆）
1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角。
2）三大要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。
3）性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
4．作图步骤：（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。
5）中心对称图形与中心对称
3：图形的轴对称（☆☆☆）
1）轴对称与轴对称图形
2）作轴对称图形的一般步骤：
（1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。
（2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）；②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点；③连.按原图对应连接各对称点。
3）折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
4：最短路径问题（☆☆☆）
与图形变换相关的最值问题有：将军饮马（遛马、造桥）（轴对称、平移）、费马点问题（旋转）、瓜豆原理（圆弧轨迹类）（旋转）等。
【易错点归纳】
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段。
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点。
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径。
【核心考点】
核心考点1. 图形的平移
◇典例1：（2025·湖南郴州·统考中考真题）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．
【详解】解：观察图形可知，B中图形能由图形通过平移得到，A，C，D均不能由图形通过平移得到；故选B．
【点睛】本题考查平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
变式1．（2025·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，
，即，
点的横坐标和纵坐标相等，，，故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
变式2.（2025·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【分析】先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，∴，
∵，∴点关于y轴对称，故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出是解题的关键．
变式3．（2025·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，过作轴于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性质可得．
【详解】解：如图，过作轴于，

∵菱形的顶点A的坐标为，．∴，，
∴，∴，，∴，
∵将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，
∴；故选A
【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键．
例2：（2025·广东深圳·统考中考真题）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先据平行四边形的性质得到，后据菱形的性质得到，然后求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，∴，∵四边形为菱形，∴，
∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
变式1．（2025·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）

A．3B．4C．5D．12
【答案】B
【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长．
【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到，
故平移后点与点重合，则的平移距离为，故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式2．（2025·四川南充·统考中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）

A．2B．C．3D．5
【答案】A
【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长．
【详解】解：∵沿方向平移至处．∴，故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
例3：（2025·河南信阳·九年级统考期中）在正方形网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为，，过点B作轴于点C．

(1)按照要求画出平面直角坐标系，线段，写出点C的坐标 ；(2)直接写出以A，B，C为顶点的三角形的面积 ；(3)若线段是由线段平移得到的，点A的对应点是C，画出线段，写出一种由线段得到线段的过程．
【答案】(1)图见解析，(2)(3)图见解析，线段向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段
【分析】本题考查平面直角坐标系画图，点坐标表示，三角形面积公式，平移定义．（1）根据题意利用平面直角坐标系定义画出图形，并利用坐标表示出点C坐标即可；（2）利用网格求出三角形面积（3）先参考其中一个点A，观察到对应点C是经过怎样平移即可得到本题答案．
【详解】（1）解： ，∴点C的坐标，故答案为：；
∴ ，
（2）解：∵，以为底边的三角形的高为，
∴以A，B，C为顶点的三角形的面积：；
（3）解：线段是由线段平移得到的，点A的对应点是C，
∵点A到点C：横坐标减3，纵坐标减2，∴点坐标为：，
∴线段向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段．
变式1. （2025·四川泸州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向下平移4个单位，再向左平移6个单位得到．
(1)请在图中画出；写出三个顶点的坐标；(2)求的面积．
(3)若中有一点，请直接写出平移后的坐标
【答案】(1)作图见解析，，，(2)(3)
【分析】本题考查图形在平面直角坐标系内的平移及坐标的变化．
（1）根据平移规律即可得到，进而可得到各点坐标；（2）用四边形面积减去个三角形的面积，即可得到的面积；（3）根据坐标系中平移点的坐标变化规律：左右平移时横坐标“左减右加”，上下平移时纵坐标“上加下减”．即可解答．
【详解】（1）如图，为所求．
各顶点坐标为：，，；
（2）；
（3）∵点向下平移4个单位，再向左平移6个单位，∴点．
变式2．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．

(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；(2)在图中画出，并连接，；(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
【答案】(1)，(2)见解析(3)
【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；（2）以点为圆心，2为半径画弧，即可得出；
（3）根据弧长公式求出，根据平移的性质得出，根据勾股定理求出，最后相加即可．
【详解】（1）解：∵，所在圆的圆心为，
∴，所在圆的圆心坐标是，故答案为：，；
（2）解：如图所示：即为所求；

（3）解：连接，∵，，∴的半径为2，∴，
∵将向右平移5个单位，得到，∴，∴，
∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，求弧长，勾股定理，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧长公式，以及勾股定理的内容．
核心考点2. 图形的旋转
例4：（2025·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，∴，，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
变式1．（2025·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．

【答案】80
【分析】先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，
∵，∴，
∵绕点B按顺时针方向旋转得到∴，，
∴，∴，故答案为：80．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键．
变式2．（2025·上海·统考中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．

【答案】
【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意可得：，，
∵是的角平分线，∴，
∵，，∴，
则在中，∵，∴，解得：；故答案为：

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
变式3．（2025·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．

【答案】或或
【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，

∵在中，，∴，
∴是等边三角形，∴，，∴
∴，∴∴，
如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，

当点在的延长线上时，如图所示，则
当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形，
综上所述，旋转角的度数为或或故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
例5：（2025·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．

【答案】或
【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图，∵，∴，

∵菱形中，，∴，延长交x轴于点E，
∴，，∴，∴，∴；
当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，
∵，， ∴，∵菱形中，，
∴，∴，，∴，
∴，∴；故答案为：或．
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．
变式1．（2025·浙江金华·统考中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，

∵点A的坐标为，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，
在和中，，∴，
∴,∴点B的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
变式2．（2025·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：

则由题意可得：，，
∴，∴，∴，，
∴点的坐标为，故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
例6：（2025·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接，相交于点O，与交于点E，

∵四边形是菱形，，∴，
∵，∴，，∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，∴，
∴A，，C三点共线，∴，又∵，∴，，
∵重叠部分的面积，∴重叠部分的面积；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
变式1．（2025·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：∵，，∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，
∴，在和中，，∴，
∴，∴，
∵，，∴，
∴的面积等于；故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题．
变式2．（2025·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，交于点P，如图，∵，点为的中点，∴，
∵，∴,∴是等边三角形，∴；
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，
∵，∴垂直平分，，∴点F在射线上运动，
∴当时，最小，此时，∴；
∵，∴，∴，
∵，∴由勾股定理得，∴，
∴；故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．
例8：（2024·陕西西安·陕西师大附中校考二模）2025年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，正确理解中心对称图形的定义是解答本题的关键，“ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据中心对称图形的定义即可得到结果．
【详解】选项A，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项B，图形是中心对称图形，符合题意；选项C，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项D，图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．
变式1．（2025·湖南永州·校考二模）2025年11月29日23时08分，由航天科技集团五院抓总研制的神舟十五号载人飞船，由长征二号F运载火箭稳稳托举，在酒泉卫星发射中心一飞冲天，将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，展现了中国航天科技的强大．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项A、B、D中的图形都不是中心对称图形，
选项C中的图形是中心对称图形，故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
变式2．（2025·天津河西·校考三模）（多选题）在以下四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由中心对称图形的定义可知，C、D中的标志，是中心对称图形，符合要求；故选：CD．
【点睛】本题考查了中心对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
例8：（2025·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系定理，可知即可求解．
【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，∴，
又∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC（SAS）∴AD=BC=3
∵∴．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
变式1．（2025·浙江杭州·二模）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，∴
∵a＞0，，解得，∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，∴点C（5，0），
∴抛物线，∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，
即，解得，∵a＞0，∴；
当∠DCD′=90°，根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，解得，∴，∴综合得a的值为或．答案：A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
变式2.（2025·山东济宁·校考一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣）B．（4n﹣1，）C．（4n+1，﹣）D．（4n+1，）
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2，
点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-，∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是，∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-，∴点A4的坐标是，…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的纵坐标是﹣，∴顶点A2n的坐标是 ．故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键．
例9：（2025·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；(3)填空：的度数为_________．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；（2）根据题目叙述画出图形即可；
（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得．
【详解】（1）在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图；
（2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示：
（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，
再根据对称的性质可得．故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．
变式1．（2025·辽宁抚顺·统考模拟预测）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系的三个顶点都在格点上，A的坐标是，请回答下列问题：
(1)将向下平移六个单位长度，画出平移后的；(2)画出关于原点O对称的；
(3)判断与是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是，图见解析，
【分析】（1）利用平移的性质，画出即可；（2）根据成中心对称的特征，画出即可；（3）根据成中心对称的特征，进行判断，并画图即可得解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；
（3）与关于点M成中心对称，如图所示，点即为所求．由图可知：．

【点睛】本题考查坐标与图形变换．熟练掌握平移的性质和成中心对称的性质，是解题的关键．
变式2．（2025·安徽滁州·统考二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．
(1)请画出关于原点O对称的；(2)将向右平移8个单位得到，请画出；(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)与关于点对称，理由见解析
【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点，然后顺次连接即可；（2）先根据平移方式找到的对应点，然后顺次连接即可；（3）求出的中点是同一点，即，则与关于点对称．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：与关于点对称，理由如下：
由题意得，，，，，，，
∴的中点坐标分别为，，，即的中点是同一点，
∴与关于点对称．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和中心对称，画平移图形，画中心对称图形，找对称中心等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
核心考点3. 图形的轴对称
例10：（2025·江苏·统考中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
变式1．（2025·山西·统考中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念知，C选项中文字上方的图案是轴对称图形，故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，理解此概念是关键．
变式2.（2025·广东潮州·统考三模）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键；
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解；
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．
例11：（2025·浙江温州·统考一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为 ．
【答案】15
【分析】根据镜面成像的原理：左右相反，即可得到答案．
【详解】解：由镜面成像的原理可知电梯所在的楼层为15，故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了镜面成像，熟知镜面成像的原理是解题的关键．
变式1．（2025上·山东德州·九年级统考期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是根据轴对称的性质找到使入射角等于反射角相等的点．
【详解】解：如图，根据轴对称的性质可知，可以反弹击中球的是D点，故选：D．
变式2．（2025·福建三明·九年级统考期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .

【答案】
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，

根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，，
，当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
例12：（2025·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，B．若，则弦的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设所在的圆的圆心为Q，连接、、，由切线的性质得，，而是的直径，证明四边形是正方形，因为与关于直线对称，所以，垂直平分，则， ，延长、交于点F，作交的延长线于点G，连接，可得，得，由，，得，则，所以，，于是得到问题的答案．
【详解】解：设 所在的圆的圆心为Q，连接、、，

∵ 恰好与弦，分别相切于点E，B， ∴，，
∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形，
∵， ∴四边形是正方形， 由折叠得与关于直线对称，
∴，垂直平分， ∴，，
∴， ∴，
延长、交于点F，作交的延长线于点G，连接，
∵， ∴，
∵为直径可得， ∴垂直平分，
∵，， ，∴，
∴， ∴，
∴， 故选：D．
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
变式1．（2025·安徽·校联考模拟预测）如图，在等腰中，，，为边上一动点，将沿折叠得到，，连接．（1） ；（2） ．
【答案】 /度 /
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，等腰直角三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，折叠的性质可得是等腰三角形，，再根据三角形的内角和定理即可求解；（2）根据（1）的证明可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，运用勾股定理可得的长度，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵等腰中，，，
∴，
∵将沿折叠得到，∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴是等腰三角形，
∴，∴，
∴在中，，故答案为：；
（2）∵，∴，
即是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，即是等腰直角三角形，
设，在中，，
∴，∴，
在中，，∴，故答案为：．
变式2．（2025·浙江杭州·校联考二模）如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则，在中，依据勾股定理得到方程，求得的值即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过作，交的延长线于点，
∴，
设，则，
∵是的中点，∴，在中，，
解得，故答案为：1.2．
例13：（2025·广东深圳·统考模拟预测）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．(1)画出关于直线对称的；(2)直接写出______．四边形的面积为______．

【答案】(1)见详解；(2)：90，21
【分析】（1）据轴对称的性质分别作出 的对应点 即可；（2）利用网格特点解决问题即可；
【详解】（1）如图所示 即为所求；

（2）由图可得，
，
故答案为：90，21
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换，正确作出图形， 属于中考常考题型
变式1．（2025·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．

(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）
(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；
（2）连接与l的交点即为点P，此时的周长最小．
【详解】（1）解：所作图形如图所示；
；
（2）解：点P即为所求的点．由轴对称知，又的长为定值，
∴的周长为，∴当共线时，的周长最小．
【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接．
变式2．（2025·山东枣庄·统考中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．

【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．
【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）如图：

【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
核心考点4. 最短路径问题
例14：（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．
【详解】解：四边形是矩形，，，
点M，N分别是的中点，，，，，
，，，
又，四边形是平行四边形，，，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，则，

当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，的最小值，故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．
变式1. （2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴∴
∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
变式2.（2025·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由折叠可证四边形为菱形，是边上的中线，如图，连接，交于，是边上的中线，的角平分线，则，，，由，可得，则，，，可知当点P运动到点A时，最大，最大为，勾股定理求，则，计算求解即可．
【详解】解：为等边三角形，，，
将沿翻折，得到，，
四边形为菱形，∴，，，∴是边上的中线，
如图，连接，交于，
∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，
∴，，，∵，∴，
∵，∴，，∴，
∴当点P运动到点A时，最大，最大为，
∵，∴，由勾股定理得，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题关键．
例15：（2025·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．

【答案】 8
【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
【详解】 如图1，，，，
∴四边形周长=；

如图2，∴四边形周长为；故答案为：最小值为8，最大值.
【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
变式1. （2025·黑龙江·统考中考真题）在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
【答案】/
【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．
【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点，
∴，，，∴，
过点A作交的延长线于点G，∴，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，，
∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时）
∴面积的最大值，故答案为：．

【点睛】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键．
例16：（2025·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，

的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，，，
是的中点，，，
由旋转得：，，，
的值最小为．故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
变式1．（2025·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键．
【详解】解：∵沿折叠，得到，∴，
∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与交于点，
则，的最小值为的长；
在中，∵，，∴，
∴，∴的最小值为4，故答案为：4．
变式2．（2025·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．

(2)深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值．
【答案】(1)等腰直角三角形(2)探究一：；探究二：线段长度的最大值为，最小值为
【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形，（2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值．
【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和，，是等腰三角形，
，．，，，
∵，∴，∴，
，，，
是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一：，，，
，，，，，
，，，
在中，，，解得，
，的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，

是的中点，，且，，，，
，且，四边形是平行四边形，，，
，，，，四边形是平行四边形，
，，点在以为直径的圆上，
设的中点为，，的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键．
例17：（2025·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，∴为等边三角形；∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，∴，，
又∵，∴，
∴，∴；
∵，∴，，∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，∴，
又∵∴，
由旋转性质可知：，∴，∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
过点作，垂足为，∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴
的最小值为
总的铺设成本（元）故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
变式1．（2025·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．
【答案】
【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．
【详解】∵为正三角形，∴，∴
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴．
在和中，∴（SAS）∴
在中，又∵，∴为等边三角形，∴．
∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=．
过点E作交CB的延长线于F，可得．
设正方形的边长为x，则BF=，．
在，∵，∴
解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
变式2．（2025.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2
【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解；
（2）在Rt△ABC中先求出AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解；
（3）在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，根据旋转的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾股定理即可求出GE，故可求解．
【详解】（1）连接AE，如图，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长
故答案为：两点之间线段最短；AE；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2
∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=
如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD为等边三角形，∠BCE=60°
∴PD=PC 由旋转可得DE=PB，CE=BC=4 ∴PA+PB+PC=PA+DE+PD
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90° ∴在Rt△ACE中，AE=
即PA+PB+PC的最小值为2；
（3）存在在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，
如图3，在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，连接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均为等边三角形∴PD=PF 由旋转可得PA=GF
∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等
∵∠BEC=90°∴点E在以BC为直径的O上，如图3 则OB=OC==2
如图3，连接OG交O于点H，连接CG交AD于点K，连接AC，则当点E与点H重合时，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4
∴△ABC、△ACD均为等边三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°
∴四边形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30° ∴CG、AD互相垂直平分
∴DK=AD=2∴根据勾股定理得CK=∴CG=2CK=
∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt△OCG中，OG=
∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2-2即PA+PD+PE的最小值为2-2．
【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之间的距离特点．中心对称
中心对称图形
图形
定义
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称。
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
区别
中心对称是指两个图形的关系。
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。
轴对称
轴对称图形
图形

定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
区别
（1）轴对称是指两个图形折叠重合。
（2）轴对称对称点在两个图形上。
（3）轴对称只有一条对称轴。
（1）轴对称图形是指本身折叠重合。
（2）轴对称图形对称点在一个图形上。
（3）轴对称图形至少有一条对称轴。
联系
（1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合。
（2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反之, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。
性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
判定
（1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
（2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线。
中心对称
中心对称图形
图形
定义
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称。
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
区别
中心对称是指两个图形的关系。
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。
轴对称
轴对称图形
图形

定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
区别
（1）轴对称是指两个图形折叠重合。
（2）轴对称对称点在两个图形上。
（3）轴对称只有一条对称轴。
（1）轴对称图形是指本身折叠重合。
（2）轴对称图形对称点在一个图形上。
（3）轴对称图形至少有一条对称轴。
联系
（1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合。
（2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反之, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。
性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
判定
（1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
（2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线。