2026中考数学核心考点精讲精训练-考点24图形的相似（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点24图形的相似（学生版+名师详解版），共50页。
图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。
【知识清单】
1：相似的有关概念（☆）
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。
2）比例中项：如果eq \f(a,b)=eq \f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项。
3）比例的性质
4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。
5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
2：相似三角形的性质与判定（☆☆☆）
1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比。
2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
4）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
5）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
3：图形的位似（☆☆）
1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点。
4：相似三角形的应用（☆☆）
1）利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2）利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3）借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
【易错点归纳】
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系。
2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。
3. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。
【核心考点】
核心考点1. 相似的有关概念►
例1：（2025·上海奉贤·统考一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2025·广东湛江·校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8B．3，4，5，6C．4，8，3，5D．15，5，6，2
变式2．（2024·上海杨浦·统考一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米．
例2：（2025·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
变式1．（2025·广东广州·统考中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数C．众数D．中位数
变式2．（2025·安徽·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例3：（2025·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
变式1．（2025·四川甘孜·统考中考真题）若，则 ．
变式2．（2025·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．B．C．D．
例4：（2025·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
变式1．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式2．（2025·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

变式3．（2025·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
核心考点2.相似三角形的性质与判定►
例5：（2025·福建龙岩·校考模拟预测）如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ）

A．平移B．轴对称C．旋转D．相似
变式1.（2025·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案D．大小不同的两张中国地图
变式2.（2025·河南洛阳·统考一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
例6：（2025·安徽·模拟预测）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C．D．
变式1．（2025·江西景德镇·统考三模）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．B．C．平分D．
变式2．（2025·江西赣州·统考一模）如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是 （写出一个即可）．
变式3．（2025·湖南邵阳·统考一模）如图，是等边三角形，点、分别在、的延长线上，．(1)请找出图中相似的三角形；(2)请选择其中一对说明理由．
例7：（2025·湖北恩施·统考一模）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（ ）

A．2B．C．3D．
变式1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
变式2．（2025·安徽滁州·校考一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ；

变式3．（2025·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
例8：（2025·四川·统考中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
变式1．（2025·浙江湖州·统考中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．
变式2．（2025·吉林长春·校考模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E．
(1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
(2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F．①求证：；②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似．
例9：（2025·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4B．9C．12D．
变式1．（2025·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2025·江苏泰州·统考中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
例8：（2025·山东·统考中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
变式1.（2025·重庆沙坪坝·统考一模）若两个相似多边形的相似比为3:1，则它们周长的比为（ ）
A．2:1B．3:1C．4:1D．9:1
变式2．（2025·安徽合肥·校考三模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
核心考点3.图形的位似
例10：（2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）

变式1．（2025·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．

例11：（2025·湖南湘潭·校考三模）（多选题）如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（ ）

A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长之比 D．与的面积之比为
变式1．（2025·湖南娄底·统考一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．

变式3．（2025·辽宁阜新·统考中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ．
例12：（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．(1)在所给网格中，以点为位似中心，将放大2倍得到（点的对应点分别是），画出；(2)将进行平移得到格点（点的对应点分别是），使，画出．
变式1．（2025·广西玉林·统考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使和全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的所有；(2)在图2中，以点C为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点E、F为格点；(3)在图3中，在边上找一个点P，且满足．
变式2．（2025·广东深圳·校考模拟预测）如图，O是坐标原点，A、B的坐标分别为、．
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为2．
(2)写出点B的对应点坐标： ．
核心考点4.相似三角形的应用
例13：（2025·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．

变式1.（2025·吉林长春·校考模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2025·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．

例14：（2025·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

变式1．（2025·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

变式2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点为揽月阁的顶部，点为揽月阁的底部，小明在点处放一水平的平面镜，然后沿着方向向前走米，到达点处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端的像．接下来小明不动，小丽在处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端、揽月阁的顶端、小明的眼睛在一条直线上，此时测得测量杆的高度米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离米，点、、在一条直线上，，，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
考点24. 图形的相似（精讲）
【命题趋势】
图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。
【知识清单】
1：相似的有关概念（☆）
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。
2）比例中项：如果eq \f(a,b)=eq \f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项。
3）比例的性质
4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。
5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
2：相似三角形的性质与判定（☆☆☆）
1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比。
2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
4）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
5）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
3：图形的位似（☆☆）
1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点。
4：相似三角形的应用（☆☆）
1）利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2）利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3）借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
【易错点归纳】
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系。
2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。
3. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。
【核心考点】
核心考点1. 相似的有关概念►
例1：（2025·上海奉贤·统考一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设，
∴，∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，
∴，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键．
变式1．（2025·广东湛江·校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8B．3，4，5，6C．4，8，3，5D．15，5，6，2
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可
【详解】解：A．∵，∴ 4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意；
B．∵ ，∴ 3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意；
C．∵，∴ 4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意；
D．∵ ，∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足，则线段a、b、c、d成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．
变式2．（2024·上海杨浦·统考一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项．
【详解】∵线段是线段和的比例中项，
∴， 即，∴，故答案为： ．
例2：（2025·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
【答案】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，
∴之间的距离为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
变式1．（2025·广东广州·统考中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数C．众数D．中位数
【答案】A
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
变式2．（2025·安徽·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比是解题的关键．根据黄金分割比为求解即可．
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，，
∴，∴，∵，∴，故选B
例3：（2025·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【答案】
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵∴∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
变式1．（2025·四川甘孜·统考中考真题）若，则 ．
【答案】1
【分析】根据比例的性质解答即可．
【详解】解：，．故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．
变式2．（2025·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可设，利用等比性质可得的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到个等式，联立可得用x表示y、z，相比即可．
【详解】解：设，▲为，●为，◆为，
∴，∴，
∴，∴▲，●，◆这三种物体的重量比为．故选：B．
【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．
例4：（2025·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤2可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤3中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点 故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
变式1．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：B．
变式2．（2025·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，，，
，，；故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
变式3．（2025·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，∴，，
设为x，∵，，∴，，
∴，，∴，
即，得，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
核心考点2.相似三角形的性质与判定►
例5：（2025·福建龙岩·校考模拟预测）如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ）

A．平移B．轴对称C．旋转D．相似
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义知，图形改变为图形，属于图形的形状相同，大小不相同，属于相似变换，据此作答即可．
【详解】图形改变为图形，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：D．
【点睛】本题考查相似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于相似变换，是解答本题的关键．
变式1.（2025·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案D．大小不同的两张中国地图
【答案】B
【分析】利用相似图形定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，故本选项不符合题意；
B、某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，故本选项符合题意；
C、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，故本选项不符合题意；D、大小不同的两张中国地图，是相似图形，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
变式2.（2025·河南洛阳·统考一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
【答案】C
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、关于直线对称的两个图形全等，∴它们是相似图形，不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴它们是相似图形，不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，符合题意； D、两个半径不等的圆是相似图形，不符合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
例6：（2025·安徽·模拟预测）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．
变式1．（2025·江西景德镇·统考三模）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．B．C．平分D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键．
【详解】解：在和中，，如果，需满足的条件有：
①或平分；②；故选：A．
变式2．（2025·江西赣州·统考一模）如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是 （写出一个即可）．
【答案】或
【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
【详解】解：添加，∵，∴；
添加，∵，，∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．
变式3．（2025·湖南邵阳·统考一模）如图，是等边三角形，点、分别在、的延长线上，．(1)请找出图中相似的三角形；(2)请选择其中一对说明理由．
【答案】(1)，(2)理由见解析
【分析】（1）利用相似三角形的定义解答即可；（2）利用等边三角形的性质和相似三角形的判定解答即可．
【详解】（1）解：相似三角形有：，；
（2）的理由：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
的理由：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
例7：（2025·湖北恩施·统考一模）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（ ）

A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用等量代换可得，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
变式1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查作图基本作图，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质．过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：过作交的延长线于，则，
由作图知，平分，，，，
∵，，，，．故答案为：5．
变式2．（2025·安徽滁州·校考一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ；

【答案】
【分析】证明，利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可．
【详解】解： 是等边三角形，，，，
，，是等边三角形，，
，，，，
，，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题关键．
变式3．（2025·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，∴
∵平分，∴，故A正确；
∵平分，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，故B正确；
∵，∴，∴，
设，则，∴，∴，解得，
∴，∴，故C错误；过点E作于G，于H，

∵平分，，，∴
∴，故D正确；故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
例8：（2025·四川·统考中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，且，，
∴，，
∴，， ∴
∴∴，故答案为：．
（2）∵，且，，
∴，，延长交于点，如图所示，

∵，∴，
∴在中，，，
∴，由（1）可得，
∴，∴，在中，，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得则，
∵，则，在中，，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，

在中，
∴,，
∵，∴，过点作，于点，
∴，，
∵，∴，
∴，中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
变式1．（2025·浙江湖州·统考中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，∴，
∵，∴，
∴，∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：

∵，，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴；
（3）∵， ，∴，∴．
∵，∴，如图2，作于点N，
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
变式2．（2025·吉林长春·校考模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E．
(1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
(2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F．①求证：；②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似．
【答案】(1)(2)①见解析 ② ③或
【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，可证,可得可证；
（2）①由外角的性质可证，可得；
②由特殊位置可求即可求解；
③由等腰三角形的性质可求由相似三角形的性质可求解.
【详解】（1）∵， 是边的中点，
∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（2）①证明: ∵是的一个外角，∴，
∵，∴，又∵，∴；
②如图，初始位置时，如图，当过点时，
， 是边的中点，
，由①知 ，
，即 解得 ，∴ 的取值范围为；
③当旋转角或时, 与相似,
∵，∴ ，∴,∵是的中点，∴ ,
当时, 旋转角为，
当时, 旋转角为，
综上所述: 当旋转角为或时, 与相似．
例9：（2025·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4B．9C．12D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
变式1．（2025·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，∴相似三角形的对应边比为，故选．
【点睛】本题考查相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
变式2．（2025·江苏泰州·统考中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【答案】
【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，其相似比为，
其面积比为．故答案为：．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
例8：（2025·山东·统考中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，
∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，
∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
变式1.（2025·重庆沙坪坝·统考一模）若两个相似多边形的相似比为3:1，则它们周长的比为（ ）
A．2:1B．3:1C．4:1D．9:1
【答案】B
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，从而得解．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为3:1，∴它们周长的比为3:1，故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的周长比等于相似比是解本题的关键．
变式2．（2025·安徽合肥·校考三模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】A
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断．
【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，，
，，，∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：，，则，，
，，，
∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键．
核心考点3.图形的位似
例10：（2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）

【答案】
【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，

∵与的相似比为，点是位似中心，∴
∵，∴,∴，
∴∴ 故答案为：．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
变式1．（2025·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，∴位似中心的坐标为，故选：A．
【点睛】本题考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形特点是解题关键．
变式2．（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．

【答案】或/或
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，，
当在第一象限时，点的坐标为，即；
当在第三象限时，点的坐标为，即；
综上可知，点的坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．
例11：（2025·湖南湘潭·校考三模）（多选题）如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（ ）

A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长之比 D．与的面积之比为
【答案】ABC
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项符合题意；
与是相似图形，B选项符合题意；
与的周长比是，C选项符合题意；
与的面积比是，D选项不符合题意；故选：ABC．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念、相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
变式1．（2025·湖南娄底·统考一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵与位似，位似中心为，∴，，
∵的面积与的面积之比是，
∴的面积与的相似比是，即，
∵，∴，∴，∴，故选：D．
变式2．（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．

【答案】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：，，设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．．和的周长之比为．故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
变式3．（2025·辽宁阜新·统考中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ．
【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出和的面积比即可．
【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，，
∴与的面积比为：，故答案为：．
【点睛】此题考查了位似变换，掌握相似三角形的性质是解题关键．
例12：（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．(1)在所给网格中，以点为位似中心，将放大2倍得到（点的对应点分别是），画出；(2)将进行平移得到格点（点的对应点分别是），使，画出．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查格点作图，作位似图形和平移图形：（1）将点A与点O连接并延长至，使得，得到，同理得到，，即可求解；（2）利用格点作找到点，从而得到的平移方式，进而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）解：如图所示，即为所求．
变式1．（2025·广西玉林·统考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使和全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的所有；(2)在图2中，以点C为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点E、F为格点；(3)在图3中，在边上找一个点P，且满足．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质即可作出；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出；（3）取格点E，F，连接，交于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图，和和即为所作，
（2）如图，即为所作，
（3）如图所示，取格点E，F，交于点P．
；
∵，∴，∴．
变式2．（2025·广东深圳·校考模拟预测）如图，O是坐标原点，A、B的坐标分别为、．
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为2．
(2)写出点B的对应点坐标： ．
【答案】(1)作图见解析；(2)．
【分析】（1）根据位似变换的性质，即可画出位似；（2）根据位似变换的性质，即可求得点B的对应点坐标．熟知“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”是解决问题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：的坐标为： 故答案为：
核心考点4.相似三角形的应用
例13：（2025·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．

【答案】18
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
【详解】解：，，，，
，，故答案为：18．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值．
变式1.（2025·吉林长春·校考模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：∵，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即,∴物体被缩小到原来的．故选：C．
变式2．（2025·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．

【答案】
【分析】根据题意证明，再由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，即，∴，解得：，答：的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例14：（2025·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

【答案】36m
【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则
∵，，∴，∴，
∴，即，同理可证，
∴，即，∴，解得，
经检验，是原方程的解，∴，∴，∴该古建筑的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
变式1．（2025·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

【答案】
【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角∴，∴，∴
∵，∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
变式2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点为揽月阁的顶部，点为揽月阁的底部，小明在点处放一水平的平面镜，然后沿着方向向前走米，到达点处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端的像．接下来小明不动，小丽在处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端、揽月阁的顶端、小明的眼睛在一条直线上，此时测得测量杆的高度米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离米，点、、在一条直线上，，，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【答案】揽月阁的高度为米
【分析】延长交的延长线于点，根据题意知，根据垂直的定义得，，得，根据相似三角形的性质得，求得，设，，则，，，根据相似三角形的性质，列出方程组，即可．
【详解】延长交的延长线于点，根据题意知

∵，，，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
∵，，，∴，
∴，，∴，，
设，，则，，，
∴，解得：，∴（米），答：揽月阁的高度为米．
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性质2
如果=，那么。
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。
画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性质2
如果=，那么。
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。
画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．