2026中考数学核心考点精讲精训练-考点25视图与投影、尺规作图、命题（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点25视图与投影、尺规作图、命题（学生版+名师详解版），共50页。
本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.而尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。
【知识清单】
1：图形的投影（☆☆）
1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象.影子所在的平面称为投影面。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。
2：几何体的三视图（☆☆☆）
1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。
2）三视图：（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图。
3）三视图的画法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。
4）常见几何体的展开图
5）正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
3：尺规作图（☆☆☆）
1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。
2）五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3）根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
4）与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。
5）作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹。
6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
4：定义、命题、定理（☆☆）
1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。
2）命题：判断一件事情的语句叫做命题。
3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
5）真命题：正确的命题叫做真命题。反之，则为假命题。
注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
6）逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。
10）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理；任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理。
11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
【核心考点】
核心考点1. 图形的投影
例1：（2025·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2025·广西柳州·统考二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．三角形D．平行四边形
变式2．（2025·贵州义·统考三模）把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是（ ）
A．B．C．D．
变式3.（2025·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．B．C．D．
例2：（2025·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·广东汕头·校考一模）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”）
变式2.（2025·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
变式3.（2025·河北邯郸·校考三模）如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（ ）

A．越来越小B．越来越大C．大小不变D．不能确定
例3：（2025·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
变式1. （2025·浙江·九年级期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
变式2.（2025·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A．B．C．D．
例4：（2025·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A．减少米B．增加米C．减少米D．增加米
变式1.（2025·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A．B．C．5D．6
变式2.（2025·辽宁鞍山·统考二模）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．B．C．D．
例5：（2025·陕西西安·校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度. （结果保留一位小数，参考数据：）

变式1.（2025·四川成都·统考一模）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ．
变式2.（2025·陕西·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．

核心考点2. 几何体的三视图
例6：（2025年浙江省衢州市中考数学真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
变式1．（2025年江苏省盐城市中考数学真题）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
变式2．（2025年浙江省湖州市中考数学真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2025年山东省青岛市中考数学真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）

A． B． C． D．
例7：（2025年四川省成都市数学中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．

变式1．（四川省雅安市2025年中考数学试题）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ）

A．2B．3C．4D．5
变式3．（2025·黑龙江佳木斯·统考三模）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（ ）
A．5个B．6个C．5个或6个D．6个或7个
例8：（2025年山东省济宁市中考数学真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）

A．B．C．D．
变式1. （2025·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125B．100C．75D．30
变式2.（2025·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．

(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
例9：（2025年山东省青岛市中考数学真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
变式1．（2025年湖北省宜昌市中考数学真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A．文B．明C．典D．范
变式2．（2025年山东省威海市中考数学真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）

A．A点B．B点C．C点D．D点
核心考点3. 尺规作图
例10：（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，在边上分别截取，使，分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，作射线交边于点F．若，则点F到的距离为 ．
变式1．（2025·四川达州·统考二模）如图，．分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧−两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，连接，则的长为 ．
变式2．（2025·吉林长春·统考一模）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2025·山东青岛·统考二模）已知：线段a，．求作：，，斜边．

核心考点4. 定义、命题、定理
例11：（2025·江苏泰州·统考一模）下列个命题中，真命题是（ ）
A．正五边形是中心对称图形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．同位角相等 D．函数中，随的增大而减小
变式1．（2025·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果，那么”的逆命题是 ．
变式2．（2025·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等D．全等三角形的对应角相等
变式3．（2025·山东潍坊·统考一模）（多选题）下列命题中，原命题为真命题而逆命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．对顶角相等 C．若a为无理数，则为无理数 D．等弧所对的圆周角相等
例12：（2025·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
变式1.（2025·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A．B．C．与相交D．与相交
变式2．（2025·杭州·校联考二模）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是 ．
变式3.（2025·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
例13：（2025·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上” ．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（ ）的手上．
A．甲B．乙C．丙D．无法判断
变式1．（2025·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”
丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（ ）
A．甲乙丙丁戊B．丙乙甲戊丁C．丁戊甲乙丙D．丁甲乙戊丙
变式2．（2025·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
例14：（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．

变式1.（2025·浙江嘉兴·统考一模）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
(1)补全已知和求证（在方框中填空）．(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
变式2．（2025·河南·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________
求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
考点25. 视图与投影、尺规作图 、命题（精讲）
【命题趋势】
本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.而尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。
【知识清单】
1：图形的投影（☆☆）
1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象.影子所在的平面称为投影面。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。
2：几何体的三视图（☆☆☆）
1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。
2）三视图：（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图。
3）三视图的画法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。
4）常见几何体的展开图
5）正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
3：尺规作图（☆☆☆）
1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。
2）五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3）根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
4）与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。
5）作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹。
6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
4：定义、命题、定理（☆☆）
1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。
2）命题：判断一件事情的语句叫做命题。
3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
5）真命题：正确的命题叫做真命题。反之，则为假命题。
注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
6）逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。
10）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理；任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理。
11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
【核心考点】
核心考点1. 图形的投影
例1：（2025·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】解：根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，只有D选项符合题意，故选：D．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
变式1.（2025·广西柳州·统考二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．三角形D．平行四边形
【答案】D
【分析】由于矩形边框的对边平行，则在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影的对边也平行或重合，所以她的投影不可能为三角形、圆、椭圆．
【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
变式2．（2025·贵州义·统考三模）把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：C．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
变式3.（2025·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键。
例2：（2025·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
变式1．（2025·广东汕头·校考一模）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”）
【答案】中心投影
【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可．
【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影．故答案是中心投影．
【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．
变式2.（2025·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D

【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．
变式3.（2025·河北邯郸·校考三模）如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（ ）

A．越来越小B．越来越大C．大小不变D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质求解．
【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小，故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键．
例3：（2025·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
变式1. （2025·浙江·九年级期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
变式2.（2025·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，故选：A．
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义．
例4：（2025·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A．减少米B．增加米C．减少米D．增加米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，

∵，∴，则，
∵米，米，则米，∴，设，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即，，米，
∴，则，∴米，
∴光源与小明的距离变化为：米，故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
变式1.（2025·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A．B．C．5D．6
【答案】D
【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解．
【详解】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，
，，．，，，
，，，即，，故选：D．

【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
变式2.（2025·辽宁鞍山·统考二模）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可．
【详解】解：三角板的一边长为，则设投影三角板的对应边长为，
三角板与其投影的相似比为，，，
经检验，是原方程的解，投影三角板的对应边长为．故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是解答此题的关键．
例5：（2025·陕西西安·校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度. （结果保留一位小数，参考数据：）

【答案】
【分析】延长交于点，过做于，根据矩形的性质及含有角的直角三角形的性质得到，，最后根据同一时刻物高和影长成正比即可解答．
【详解】解：延长交于点，过做于，
∴四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
∴，
∵同一时刻，物高和影长成正比，∴，∴，∴，
∴，答：旗杆的高度.为．

【点睛】本题考查了解直角三角形—坡度坡角的问题，平行投影，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键．
变式1.（2025·四川成都·统考一模）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ．
【答案】/10米
【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可．
【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键．
变式2.（2025·陕西·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．

【答案】该古树的高度米
【分析】作于点F，如图，可得米，米，然后根据同一时刻的物高与其影长成比例求出，再加上即得答案．
【详解】解：作于点F，如图，
∵，，∴四边形是矩形，∴米，米，
根据同一时刻的物高与其影长成比例可得：，即，解得：米，
∴（米）；答：该古树的高度米．

【点睛】本题考查了平行投影，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．
核心考点2. 几何体的三视图
例6：（2025年浙江省衢州市中考数学真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：该直口杯的主视图为故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
变式1．（2025年江苏省盐城市中考数学真题）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下： ．故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
变式2．（2025年浙江省湖州市中考数学真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
【详解】解：∵主视图和左视图是长方形，∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
变式3．（2025年山东省青岛市中考数学真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
例7：（2025年四川省成都市数学中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．

【答案】
【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．
【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，

∴搭成这个几何体的小立方块最多有，故答案为：．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
变式1．（四川省雅安市2025年中考数学试题）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.
【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．
变式2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】从主视图可判断有上下两层，结合左视图，下层最少有3个，最多有6个；上层仅有1个．
【详解】解：以主视图结合左视图，下层最少有3个，最多有6个；上层仅有1个．故；
故选：B
【点睛】本题考查三视图，注意两者的结合，需具备必要的空间想象能力．
变式3．（2025·黑龙江佳木斯·统考三模）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（ ）
A．5个B．6个C．5个或6个D．6个或7个
【答案】C
【分析】根据主视图和俯视图确定层数及每层的数量即可．
【详解】解：结合主视图和俯视图可知，这个几何体共2层，底层有3个小正方体，第2层至少有2个小正方体，最多有3个小正方体，因此需要5个或6个小正方体，故选：C．
【点睛】此题考查了小正方体组成的几何体的三视图确定小正方体的数量，正确理解几何体的三视图是解题的关键．
例8：（2025年山东省济宁市中考数学真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为：．故选B．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键．
变式1. （2025·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125B．100C．75D．30
【答案】C
【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行计算即可．
【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为，，则：，
∴，，∴，
∴底面面积为：，∴该几何体的体积为：；故选C．
【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体．
变式2.（2025·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．

(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【答案】(1)见解析(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，

（2）（平方米） （元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
例9：（2025年山东省青岛市中考数学真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
变式1．（2025年湖北省宜昌市中考数学真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A．文B．明C．典D．范
【答案】B
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“城”字对面的字是“明”，故选：B.
【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键．
变式2．（2025年山东省威海市中考数学真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）

A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】D
【分析】根据题意画出立体图形，即可求解．
【详解】解：折叠之后如图所示，则K与点D的距离最远，故选D．

【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力．
核心考点3. 尺规作图
例10：（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，在边上分别截取，使，分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，作射线交边于点F．若，则点F到的距离为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的尺规作图是解题的关键．
根据作图过程可知：平分，如图：过点F作，再根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据作图过程可知：平分，过点F作，
∵，∴，∵，∴．∴点F到的距离为2．故答案为：2．
变式1．（2025·四川达州·统考二模）如图，．分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧−两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】由作图步骤可得为等边三角形，，然后得到，根据勾股定理列式，并代入数据计算即可；
【详解】解：由分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，
得：，为等边三角形，，
由以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，
得：，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形以及等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识点，尺规作图的准确理解是解题关键．
变式2．（2025·吉林长春·统考一模）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图中尺规作图痕迹可得为的平分线，为线段的垂直平分线，结合角平分线和线段垂直平分线的定义与性质逐项分析即可．
【详解】解：由图中尺规作图痕迹可得，为的平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，∴，∴，
∵，∴，
∴，故B选项错误，D选项正确；
∵，，假设，∴，∴，
∵为线段的垂直平分线，∴，
故假设不成立，则，同理，，故A、C选项都错误；故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义与性质、线段垂直平分线的定义与性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的定义与性质是解答本题的关键．
变式3．（2025·山东青岛·统考二模）已知：线段a，．求作：，，斜边．

【答案】答案见详解
【分析】根据题意结合作图的基本方法作图即可．
【详解】解：以的顶点为点，在的一边上截取，然后过点作的另一边的垂线，垂足为，则满足题意，
如图：即为所求．

【点睛】本题考查了作图中的复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此题的关键是熟悉基本几何图形的性质．
核心考点4. 定义、命题、定理
例11：（2025·江苏泰州·统考一模）下列个命题中，真命题是（ ）
A．正五边形是中心对称图形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．同位角相等 D．函数中，随的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据正五边形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、反比例函数的性质判断即可，解题的关键是要熟练掌握以上知识的应用．
【详解】解：、正五边形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；、函数中，在每个象限，随的增大而减小，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：．
变式1．（2025·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果，那么”的逆命题是 ．
【答案】如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案．
【详解】解：命题“如果|，那么”的逆命题是：如果，那么．
故答案为：如果，那么．
变式2．（2025·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】根据逆命题定义得到各选项的逆命题，再判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意，
B选项逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
C选项逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
D选项逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意，故选D；
【点睛】本题考查逆命题及命题真假判断，解题的关键是将原命题的结论与题设对调得到逆命题．
变式3．（2025·山东潍坊·统考一模）（多选题）下列命题中，原命题为真命题而逆命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．对顶角相等 C．若a为无理数，则为无理数 D．等弧所对的圆周角相等
【答案】BD
【分析】逐项判断各命题或其逆命题的真假即可作答．
【详解】A. 若，则，故原命题为假命题，此项不符合题意；
B. 对顶角相等，原命题为真命题；相等的角不一定是对顶角，即逆命题是假命题，此项符合题意；
C. 若a为无理数，则不一定为无理数，故原命题为假命题，此项不符合题意；
D. 等弧所对的圆周角相等，原命题为真命题；圆周角相等，其所对的弧相等，此命题只有在同圆或者等圆中成立，故逆命题是假命题，此项符合题意，
故选：BD．
【点睛】本题主要考查了命题与逆命题，圆周角定理等知识，正确得出命题的逆命题，并判断出其真假，是解答本题的关键．
例12：（2025·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
【答案】D
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在中，，2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．故选：D．
变式1.（2025·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A．B．C．与相交D．与相交
【答案】D
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可
【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
变式2．（2025·杭州·校联考二模）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是 ．
【答案】
【分析】当时，满足，但是不满足，于是可以作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例．
【详解】解：说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的命题叫做定理，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
变式3.（2025·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
【答案】②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，是2的倍数，
可设（为正整数），则，，即，
是2的倍数，，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
例13：（2025·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上” ．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（ ）的手上．
A．甲B．乙C．丙D．无法判断
【答案】B
【分析】由题意知，若甲正确，则乙正确，甲、乙同学说法均正确，不符合要求；若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙、丙同学说法均正确，不符合要求；若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，若甲正确，则乙正确，甲乙同学说法正确，故不符合要求；
若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙丙同学说法正确，故不符合要求；
若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，
∴当三个同学中只有一个说对了，则红桃A在乙的手上，故选：B．
【点睛】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．
变式1．（2025·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”
丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（ ）
A．甲乙丙丁戊B．丙乙甲戊丁C．丁戊甲乙丙D．丁甲乙戊丙
【答案】B
【分析】从各人的名次排列情况来分析，从“每个名次都有人猜对”入手分析，只有戌的名次是重复的，所以戌一定是第四名，据此一一进行排序．
【详解】解：∵只有戌的名次是重复的，∴戌一定是第四名，∴丁就不是第四名，而是第五名，
∴甲一定是第三名，∴乙不是第三名，而是第二名，∴丙一定是第一名；
∴第一至第五名的同学顺序：丙乙甲戊丁；故选．
【点睛】本题考查了推理能力，认真审题，依次假设得到与问题相符的结论是解题的关键．
变式2．（2025·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】先确定乙、丙之间打了9局，乙与甲打了5局，丙与甲打了3局，进而确定甲、乙、丙三人共打的比赛局数.
【详解】解：∵甲共当裁判9局，∴乙、丙之间打了9局，
∵乙、丙分别进行了14局、12局比赛，∴乙与甲打了局，丙与甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打的比赛局数为局；故选：C.
【点睛】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据题目提供的数据和信息、找出其中的逻辑关系.
例14：（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．

【答案】(1)B(2)①见解析；②见解析；(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及命题与定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（1）根据四边形中，对角线与相交于点，，补充条件即可判定四边形是平行四边形；（2）先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；
（3）根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例．
【详解】（1）解：在四边形中，对角线与相交于点，
若，则当时，四边形是平行四边形；故答案为：B；
（2）解：①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
②已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，．
求证：四边形是平行四边形．
．
证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图所示，四边形满足，但四边形不是平行四边形．
变式1.（2025·浙江嘉兴·统考一模）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
(1)补全已知和求证（在方框中填空）．(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
【答案】(1)，平行(2)见解析
【分析】（1）根据题意补全已知和求证；（2）证明得出，即可得证．
【详解】（1）已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，故答案为：，平行．
（2）证明：在与中，，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2025·河南·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________
求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明
（2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明
【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
证明：，，
，，，
同理可证，，∴点E是的中点
故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
（2）四边形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点，
是中点
∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形
【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键
几何体
立体图形
表面展开图
侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
已知：如图，在四边形中，
．
________．
求证：四边形是________四边形．
几何体
立体图形
表面展开图
侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
已知：如图，在四边形中，
．
________．
求证：四边形是________四边形．