2026年中考数学-模型·方法·技巧突破练 专题1-1一网打尽全等三角形模型·十个模型（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学-模型·方法·技巧突破练 专题1-1一网打尽全等三角形模型·十个模型（学生版+名师详解版），共143页。

目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc150815813" 模型梳理 PAGEREF _Tc150815813 \h 2
\l "_Tc150815814" 题型一 倍长中线模型 PAGEREF _Tc150815814 \h 14
\l "_Tc150815815" 题型二 一线三等角模型 PAGEREF _Tc150815815 \h 14
\l "_Tc150815816" 题型三 半角模型 PAGEREF _Tc150815816 \h 17
\l "_Tc150815817" 2025·山东日照真题 PAGEREF _Tc150815817 \h 18
\l "_Tc150815818" 题型四 手拉手模型 PAGEREF _Tc150815818 \h 21
\l "_Tc150815819" 2025·张家界真题 PAGEREF _Tc150815819 \h 23
\l "_Tc150815820" 2025·贵阳中考 PAGEREF _Tc150815820 \h 23
\l "_Tc150815821" 题型五 对角互补+邻边相等模型 PAGEREF _Tc150815821 \h 26
\l "_Tc150815822" 题型六 平行线夹中点模型 PAGEREF _Tc150815822 \h 27
\l "_Tc150815823" 题型七 截长补短模型 PAGEREF _Tc150815823 \h 28
\l "_Tc150815824" 题型八 绝配角模型 PAGEREF _Tc150815824 \h 32
\l "_Tc150815825" 2025·深圳宝安区二模 PAGEREF _Tc150815825 \h 33
\l "_Tc150815826" 2025·深圳中学联考二模 PAGEREF _Tc150815826 \h 33
\l "_Tc150815827" 题型九 婆罗摩笈模型 PAGEREF _Tc150815827 \h 35
\l "_Tc150815828" 2025武汉·中考真题 PAGEREF _Tc150815828 \h 36
\l "_Tc150815829" 2025·宿迁中考真题 PAGEREF _Tc150815829 \h 37
\l "_Tc150815830" 题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） PAGEREF _Tc150815830 \h 39
模型梳理
模型1 倍长中线模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．
∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．
结论2：△BDE≌△CDF．
证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．
∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．
（三）解题技巧
遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．
模型2 一线三等角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△CAP≌△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．
结论2：△APC≌△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．
模型3 半角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
A
B
C
D
E
F
G
∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，
∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．
∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，
∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，
∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．
∴∠DEB＝∠DEF．
∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．
结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
A
D
B
E
C
F
G
∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．
∴∠AFD＝∠AFE．
∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．
A
B
C
E
D
F
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2，
∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，
∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，
∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2．
（三）解题技巧
对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．
模型4 手拉手模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．
证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
A
D
E
B
C
O
F
∴BD＝CE．
结论2：∠BOC＝∠BAC．
证明：设OB与AC相交于点F．
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．
A
D
E
B
C
O
G
H
结论3：OA平分∠BOE．
证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．
∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE，
∴＝．
∵BD＝CE，∴AG＝AH，
∴OA平分∠BOE．
（三）解题技巧
如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．
模型5对角互补+邻边相等模型
模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
如图，，
作垂线旋转
模型6 平行线夹中点模型
如图，AB//CD，点E是BC的中点．
【模型分析】
如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。
如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）
口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
模型7 截长补短模型
【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线
段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词
句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
模型8 绝配角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：AC＝EC．
证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．
∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，
∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．
（三）解题技巧
如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．
模型9 婆罗摩笈模型
如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B
【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．

【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．
【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）
证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，
易证：△PAD≌BDA
∴BC＝PD，BE=PA
∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，
又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，
易证：△CBE≌△PAB，
∴∠BCM＝∠ABN，
∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°
∴∠BMC＝90°
模型10 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
模型成立条件：等腰三角形顶角互补
已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，
则△BFD是等腰直角三角形.
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
【证明】法一：倍长中线
延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；
所以CG=ED=AD，∠2=∠7；
又∠1+∠2+∠3=360°，
∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），
∠4=∠6=90°；
所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，
所以∠1=∠5；
则△BCG≌△BAD（SAS），
所以∠DBG=90°，BG=BD；
所以BF=DG=DF，BF⊥DF。
法二：构造手拉手模型
将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称
连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD
重点题型·归类精练
题型一 倍长中线模型
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF．
A
B
C
D
F
E
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF．
A
G
B
E
D
C
F
如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．
A
B
C
D
E
F
题型二 一线三等角模型
基础篇
如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．
B
C
A
D
E
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________．
A
B
C
D
E
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为_________．
A
B
C
D

如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．
B
C
A
D
提高篇
如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．
A
B
C
E
D
F
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．
A
E
D
B
C
如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE＝2DF．
B
C
A
D
E
F
如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．
A
B
C
D
E
如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF⊥CF．
A
D
B
C
F
E
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．
A
B
C
F
D
E
题型三 半角模型
例题
例1 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．
A
E
F
B
C
D
例2 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________．
A
D
B
E
C
F
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则BF的长为_________．
C
A
E
B
F
2025·山东日照真题
例4 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
A
C
B
M
E
P
F
N
图1
A
C
B
M
E
P
F
N
图2
基础
如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．
A
E
F
B
C
D
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．
（1）求证：∠EAF＝45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．
A
D
B
E
C
F
G
提高
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．
C
A
B
E
F
P
如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．
F
B
A
C
D
E
P
Q
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻折得到△BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF ＝S△BEF，则CD 2＋EF 2的值是_________．
F
B
C
A
D
E
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．
（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；
（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．
A
D
B
E
C
F
（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；
（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．
B
C
E
F
A
B
C
F
A
E
图1
图2
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，∠ABF的平分线与EF的延长线交于点G．
（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；
（2）如图2，若＝，求CE的长；
（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长．
B
C
图1
A
D
E
F
G
G
B
C
图2
A
D
F
题型四 手拉手模型
例题
例1 在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明．
A
D
E
B
C
例2 如图，P为正方形ABCD外一点，∠APD＝45°，求证：∠BPC＝45°．
A
D
P
B
C
例3 已知△ABC为等边三角形．
（1）如图1，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PA＝PB＋PC；
（2）如图2，P为△ABC内一点，PB＞PC，∠BPC＝150°，若PA＝4，△PBC的面积为，求△ABC的面积．
A
B
C
P
A
B
C
P
图1
图2
基础篇
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BAC＝90°，D，E，C三点在一条直线上，BD＝1，BC＝，求DE的长．
A
B
C
D
E
2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在△ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD＝3，BD＝，求DF的长．
A
B
C
D
E
F
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ．
提高篇
4．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．
A
B
C
D
2025·张家界真题
5．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）．
A． B． C． D．
A
B
C
O
2025·贵阳中考
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．
C
A
B
D
E
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，AB⊥AC，若∠ABD＝30°，求∠ACD的度数．
B
C
A
D
8．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
9．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
10．已知△ABC是等边三角形，PA＝5，PB＝3．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数；
（2）如图2，点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．
B
C
图1
P
A
B
C
图2
P
A
11．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
12．如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．
题型五 对角互补+邻边相等模型
如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ．
如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．

如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝ （用含α的代数式表示）.
题型六 平行线夹中点模型
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC．
A
D
B
C
E
如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．
A
B
D
C
E
深圳中考
如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且，，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（ ）
A．1 B．EQ 3－ \R(,3) C．EQ \R(,5)－1 D．EQ 4－2 \R(,2)
题型七 截长补短模型
如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为________
如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．
如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；
（2）证明：DF+CF＝EF．

在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
题型八 绝配角模型
例题
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长．
A
D
B
C
【例2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，点M为AC上一点，且∠EMC＝2∠BDE，BE＝2，CE＝5，求EM的长．
A
D
E
F
M
B
C
图1
A
D
E
M
B
C
图2
基础篇
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝6，BD＝1，则CD的长为_________．
A
C
D
B
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．
A
B
C
D
E
2025·深圳宝安区二模
如图，在中，，点为中点，，则的值为 ．（后续计算用到相似）
2025·深圳中学联考二模
如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则 ．
提高篇
如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．
A
B
C
D
F
E
如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．
B
E
C
A
D
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E在AC边上，AE＝BC＝2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，CE的长为_________．
A
D
E
C′
B
C
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的长．
B
D
C
A
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，∠EBC＝2∠ADE，求AE的长．
A
B
C
D
E
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，∠BDE＝2∠ABD，EF⊥BD于点G，交AB于点F，用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明．
A
B
E
C
D
G
F
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，延长BA到点E，使AE＝AB，连接DE，过点D作DH⊥AE于点H．
（1）求证：△ADE≌△ADC；
（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；
（3）若AD＝，CD＝6，求AB的长．
E
D
A
H
B
C
题型九 婆罗摩笈模型
如图，△ABE和△ACF都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明．
C
B
D
E
A
F
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，
求证：DE＝2AM.
2025武汉·中考真题
如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ．
我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
2025·宿迁中考真题
【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
综合与实践
以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.

(1)如图①，若，证明：；
(2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；
(3)如图③，，，，且，则________________.
我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°．
A
B
C
E
D
如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：△CEF是等腰直角三角形．
A
B
C
F
E
D
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 ．
如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：
（1）AF＝DF； （2）AF⊥DF．
如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
已知两个等腰有公共顶点C，，连接，M是的中点，连接．
(1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长；
(2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由；
(3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．
(1)如图1，当与在同一直线上时，求证：；
(2)如图2，当时，求证：．
已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．
专题1-1 一网打尽全等三角形模型（10个模型）
导语：熟悉模型，补全结构
条件不足另外凑，凑不出来挠挠头，下次考试再来秀
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc150815813" 模型梳理 PAGEREF _Tc150815813 \h 2
\l "_Tc150815814" 题型一 倍长中线模型 PAGEREF _Tc150815814 \h 13
\l "_Tc150815815" 题型二 一线三等角模型 PAGEREF _Tc150815815 \h 15
\l "_Tc150815816" 题型三 半角模型 PAGEREF _Tc150815816 \h 22
\l "_Tc150815817" 2025·山东日照真题 PAGEREF _Tc150815817 \h 24
\l "_Tc150815818" 题型四 手拉手模型 PAGEREF _Tc150815818 \h 31
\l "_Tc150815819" 2025·张家界真题 PAGEREF _Tc150815819 \h 34
\l "_Tc150815820" 2025·贵阳中考 PAGEREF _Tc150815820 \h 35
\l "_Tc150815821" 题型五 对角互补+邻边相等模型 PAGEREF _Tc150815821 \h 45
\l "_Tc150815822" 题型六 平行线夹中点模型 PAGEREF _Tc150815822 \h 49
\l "_Tc150815823" 题型七 截长补短模型 PAGEREF _Tc150815823 \h 50
\l "_Tc150815824" 题型八 绝配角模型 PAGEREF _Tc150815824 \h 61
\l "_Tc150815825" 2025·深圳宝安区二模 PAGEREF _Tc150815825 \h 64
\l "_Tc150815826" 2025·深圳中学联考二模 PAGEREF _Tc150815826 \h 65
\l "_Tc150815827" 题型九 婆罗摩笈模型 PAGEREF _Tc150815827 \h 71
\l "_Tc150815828" 2025武汉·中考真题 PAGEREF _Tc150815828 \h 73
\l "_Tc150815829" 2025·宿迁中考真题 PAGEREF _Tc150815829 \h 79
\l "_Tc150815830" 题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） PAGEREF _Tc150815830 \h 90
模型梳理
模型1 倍长中线模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．
∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．
结论2：△BDE≌△CDF．
证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．
∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．
（三）解题技巧
遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．
模型2 一线三等角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△CAP≌△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．
结论2：△APC≌△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．
模型3 半角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
A
B
C
D
E
F
G
∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，
∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．
∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，
∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，
∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．
∴∠DEB＝∠DEF．
∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．
结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
A
D
B
E
C
F
G
∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．
∴∠AFD＝∠AFE．
∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．
A
B
C
E
D
F
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2，
∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，
∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，
∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2．
（三）解题技巧
对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．
模型4 手拉手模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．
证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
A
D
E
B
C
O
F
∴BD＝CE．
结论2：∠BOC＝∠BAC．
证明：设OB与AC相交于点F．
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．
A
D
E
B
C
O
G
H
结论3：OA平分∠BOE．
证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．
∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE，
∴＝．
∵BD＝CE，∴AG＝AH，
∴OA平分∠BOE．
（三）解题技巧
如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．
模型5对角互补+邻边相等模型
模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
如图，，
作垂线旋转
模型6 平行线夹中点模型
如图，AB//CD，点E是BC的中点．
【模型分析】
如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。
如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）
口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
模型7 截长补短模型
【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线
段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词
句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
模型8 绝配角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：AC＝EC．
证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．
∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，
∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．
（三）解题技巧
如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．
模型9 婆罗摩笈模型
如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B
【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．

【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）

过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，
易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM
∴AP＝DQ
易证：△APN≌△DQN
∴AN＝DN
②如图，由①知，S＝S ，S＝S，S＝S
∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S
＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得证.
③如图，由①得，PN＝QN，
∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.
【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．
【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）
证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，
易证：△PAD≌BDA
∴BC＝PD，BE=PA
∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，
又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，
易证：△CBE≌△PAB，
∴∠BCM＝∠ABN，
∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°
∴∠BMC＝90°
模型10 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
模型成立条件：等腰三角形顶角互补
已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，
则△BFD是等腰直角三角形.
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
【证明】法一：倍长中线
延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；
所以CG=ED=AD，∠2=∠7；
又∠1+∠2+∠3=360°，
∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），
∠4=∠6=90°；
所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，
所以∠1=∠5；
则△BCG≌△BAD（SAS），
所以∠DBG=90°，BG=BD；
所以BF=DG=DF，BF⊥DF。
法二：构造手拉手模型
将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称
连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD
重点题型·归类精练
题型一 倍长中线模型
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF．
A
B
C
D
F
E
证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．
A
B
C
D
F
E
G
∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．
∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB，
∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，
∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BED．
∵∠AEF＝∠BED，∴∠DAC＝∠AEF，
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF．
A
G
B
E
D
C
F
证明：延长GE到点H，使EH＝EG，连接CH．
A
G
B
E
D
C
F
H
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE．
∵∠BEG＝∠CEH，∴△BEG≌△CEH，
∴BG＝CH，∠G＝∠H．
∵EF∥AD，∴∠G＝∠BAD，∠CFE＝∠DAC．
∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠DAC，
∴∠H＝∠CFE，∴CF＝CH，∴BG＝CF．
如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．
A
B
C
D
E
F
证明：过点B作BG∥DE，交EF的延长线于点G．
A
B
C
D
E
F
G
则∠G＝∠DEF，∠GBF＝∠EDF．
∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，
∴∠ACE＝∠AEC．
∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BCF＝∠DEF，
∴∠G＝∠BCF，∴BG＝BC，∴BG＝DE，
∴△BGF≌△DEF，∴BF＝DF，
即F为BD的中点．
考点分析：全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．
思路点拨：过点B作BG∥DE，交EF的延长线于点G．先根据△ABC≌△ADE，得AC＝AE，BC＝DE，再证BG＝BC，最后证△BGF≌△DEF即可．
题型二 一线三等角模型
基础篇
如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．
B
C
A
D
E
证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBC＝90°．
∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＝∠EBC．
∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴CE＝BD．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________．
A
B
C
D
E
【答案】2
【解析】∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠D＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC＋∠ECB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ECB＝90°
∴∠DCA＝∠EBC．
∵AC＝BC，∴△CDA≌△BEC，
∴AD＝CE，CD＝BE＝6．
∵DE＝4，∴AD＝CE＝2，
∴S△ACE ＝CE·AD＝×2×2＝2．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为_________．
A
B
C
D
【答案】
【解析】过点D作DE⊥BC于点E．
A
B
E
C
D
∵∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，
∴AB＝＝2，∠BAC＋∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝90°，∴∠ECD＋∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD．
∵∠ABC＝∠E＝90°，AC＝CD，
∴△ABC＝△CED，∴DE＝BC＝1，CE＝AB＝2，
∴BE＝3，∴BD＝＝．
考点分析：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．
思路点拨：过点D作DE⊥BC于点E，先证△ABC≌△CED，再在Rt△BDE中用勾股定理求解．

如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

【答案】
【详解】解：过D点分别作于点G，交的延长线于点F，勾股即可

如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．
B
C
A
D
证明：过点C作CE⊥BD于点E．
B
C
A
D
E
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠CBE＝90°．
∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE．
∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD＝BE．
∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴BE＝DE，
∴BC＝CD，∴CD＝AB．
提高篇
如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．
A
B
C
E
D
F
【解析】证明：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H．
A
B
C
G
E
H
D
F
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴AG＝BC，BH＝BE．
∵点F是CE的中点，∴CF＝CE，
∴FH＝BC－BH－CF＝BC－BE－CE＝ EQ \F(1, 2 ) BC，
∴AG＝FH，∴FG＝FH－GH＝AG－GH＝BG－GH＝BH＝DH．
∵∠AGF＝∠FHD＝90°，∴△AFG≌△FDH，
∴AF＝DF，∠AFG＝∠FDH．
∵∠DFH＋∠FDH＝90°，∴∠DFH＋∠AFG＝90°，
∴∠AFD＝90°，∴AF⊥DF．
考点分析：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．
思路点拨：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H．先根据等腰直角三角形的性质推导等线段，再证△AFG≌△FDH，即可得到结论．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．
A
E
D
B
C
【答案】8
【解析】过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F．
A
E
D
B
C
F
∵CE⊥BD，AF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFA＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠BCE＝90°，
∴∠FCA＝∠EBC．
∵AC＝BC，∴△CAF≌△BCE，
∴AF＝CE＝4，∴S△ACE ＝CE·AF＝×4×4＝8．
如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE＝2DF．
B
C
A
D
E
F
【答案】证明：过点B作BG⊥CD于点G．则∠BGC＝∠CDA＝90°，
B
C
A
D
E
F
G
∴∠GBC＋∠GCB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠GCB＝90°，
∴∠DCA＝∠GBC．
∵AC＝BC，∴△CAD≌△BCG，
∴AD＝CG，CD＝BG．
∵CD＝DE，∴AE＝DG，BG＝DE．
∵∠BFG＝∠EFD，∠BGF＝∠EDF＝90°，
∴△BFG≌△EFD，∴FG＝DF，
∴AE＝DG＝2DF．
如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．
A
B
C
D
E
解：过点B作BF⊥AC于点F．
A
B
C
D
E
F
∵∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°．
∵∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE．
∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8．
∵BE＝BC，BF⊥AC，∴EF＝CF．
设EF＝CF＝x，则AE＝8－x，AD＝AC＝8＋x．
在Rt△AED中，8 2＋( 8－x )2＝( 8＋x )2，
解得x＝2，∴AE＝8－x＝6．
如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF⊥CF．
A
D
B
C
F
E
【答案】解：（1）过点A作AG⊥AF交DE于点G．
A
D
B
C
F
G
N
E
M
∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠FAG＝∠BAD，∴∠FAB＝∠GAD．
∵AF平分∠BAE，∴∠FAB＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠GAD．
∵AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADG．
∴△AEF≌△ADG，∴AF＝AG，
∴∠AFD＝∠AGF＝45°．
（2）分别过点A，C作DE的垂线，垂足为M，N．
则∠AMD＝∠DNC＝90°，∴∠ADM＋∠DAM＝90°．
∵正方形ABCD，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADM＋∠CDN＝90°，∴∠DAM＝∠CDN，
∴△ADM≌△DCN，∴AM＝DN，DM＝CN．
∵∠AMF＝90°，∠AFD＝45°，∴AM＝FM，
∴DN＝FM，∴DM＝FN，∴CN＝FN，
∴∠CFN＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥CF．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．
A
B
C
F
D
E
解：过点A作AG⊥AB，过点B作BG⊥BC，AG与BG交于点G，
连接GF与AC交于点O，则∠GAB＝∠BDF＝90°．
∴∠GBA＋∠AGB＝∠GBA＋∠DBF＝90°，
A
B
C
F
D
O
E
G
∴∠AGB＝∠DBF．
∵AB＝AC＝DF，∴△AGB≌△DBF，
∴∠AGB＝∠ABC，AG＝DB，∴∠BGF＝∠BFG＝45°．
设∠BAC＝2x，则∠ABC＝∠ACB＝90°－x，∠GAO＝90°＋2x，
∴∠AGB＝∠ABC＝90°－x，∴∠AGO＝45°－x，
∴∠AOG＝45°－x，∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO，∴DB＝AO．
∵AG⊥AB，DF⊥AB，∴AG∥DF，∠AGO＝∠EFO．
∵∠AOG＝∠EOF，∴∠EFO＝∠EOF，EF＝EO，
∴AD＋DE＝AB－DB－DF－EF＝m－AO－m－OE
＝2m－AE＝2m－n．
题型三 半角模型
例题
例1 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．
A
E
F
B
C
D
考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．
思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝2．
【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝2．
例2 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________．
A
D
B
E
C
F
【答案】 1
【解析】由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1．
思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1．
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则BF的长为_________．
C
A
E
B
F
【答案】
【解析】由半角模型可知EF 2＝AE 2＋BF 2，则BF＝＝＝．
思路点拨：由半角模型可知EF 2＝AE 2＋BF 2，则BF＝＝．
2025·山东日照真题
例4 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
A
C
B
M
E
P
F
N
图1
A
C
B
M
E
P
F
N
图2
思路点拨：（1）由条件可得S矩形PMCN ＝S△ABC，则S△PEF ＝S△AEM ＋ S△BFN，＝，由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形；（2）①过点C作CH⊥EF于点H．当a＝b时，可得CM＝CN＝CH，△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，则∠ECM＝∠ECH，∠FCN＝∠FCH，∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°；②将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．可证△CEF≌△CGF，则①中的结论成立．
【解析】（1）由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形，理由如下：
∵S△ABC＝＝8，S矩形PMCN ＝ab＝8，
∴S△ABC＝S矩形PMCN，∴S△PEF ＝S△AEM ＋ S△BFN，
∴＝，∴＝，
∴由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形．
（2）①当a＝b时，＝8，∴CM＝CN＝a＝．
如图1，过点C作CH⊥EF于点H．
∵AC＝BC＝4，∴CH＝，∴CM＝CN＝CH，
∴△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，
∴∠ECM＝∠ECH，∠ECN＝∠FCH，
∴∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°．
②当a≠b时，①中的结论仍然成立，理由如下：
如图2，将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．
则∠FBG＝90°，∴＝＝．
∵＝，∴EF＝FG．
∵CE＝CG，CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，
∴∠ECF＝∠GCF＝∠ECG＝∠ACB＝45°．
A
C
B
M
E
P
F
N
图1
H
A
C
B
M
E
P
F
N
G
图2
基础
如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．
A
E
F
B
C
D
【答案】1
【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝4，∴AB＝2．∵BE＝1，∴AE＝1．
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．
（1）求证：∠EAF＝45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．
A
D
B
E
C
F
G
【解析】解：（1）延长CB到点P，使BP＝DF，连接AP．
∵正方形ABCD，∴∠ABP＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABP≌△ADF，∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF．
∴∠PAF＝∠BAD＝90°．
∵EF＝BE＋DF，EP＝BE＋BP，∴EF＝EP．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEP，
∴∠EAF＝∠EAP＝45°．
（2）过点G作GH⊥DC于点H．
A
D
B
E
C
F
P
G
H
∵△ABP≌△ADF，∴∠P＝∠AFD．
∵△AEF≌△AEP，∠AEF＝∠P，∴∠AEF＝∠AFD．
∵FG平分∠EFC，∴∠EFG＝∠GFH，
∴∠AFE＋∠EFG＝∠AFD＋∠GFH＝90．
∵∠EAF＝45°，∴AF＝FG，∴△ADF≌△FHG，
∴AD＝FH，DF＝GH．
∵AD＝DC，∴FH＝DC，
∴CH＝DF，CH＝GH＝，
∴FH－CF＝，∴BC－CF＝．
提高
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．
C
A
B
E
F
P
【答案】 4
【解析】过点P作AC，BC，AB的垂线，垂足为M，N，H．
C
A
B
H
E
F
P
M
N
∵两锐角的角平分线交于点P，∴PM＝PH＝PN，
∴四边形PMCN是正方形，∴CM＝CN＝PM＝PN．
∵∠EPF＝45°，∴EF＝EM＋FN．
∵S△ABC ＝＝，
∴PM( AC＋BC＋AB )＝，
∴PM( 6＋8＋10 )＝6×8，∴PM＝2，CM＝CN＝2，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EM＋FN＝CM＋CN＝2＋2＝4．
如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．
F
B
A
C
D
E
P
Q
【答案】
【解答】连接DQ，过点F作FG⊥FB，交CA的延长线于点G．
F
B
A
C
D
E
P
Q
G
∵正方形ABCD，∴DA＝DC，∠DAF＝∠DCE＝∠ADC＝∠B＝90°，∠QCE＝45°，
∴FG∥BC，∴∠G＝∠QCE＝45°，∴AF＝FG．
∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE，DF＝DE，
∴FG＝CE，∴△FQG≌△EQC，
∴QE＝QF，QG＝QC，∴∠QDE＝45°，
∴AQ 2＋CP 2＝PQ 2．
∵正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，
∴AC＝，AF＝CE＝2，∴AG＝，
∴CG＝，∴QG＝QC＝，∴AQ＝，
∴＝，解得PQ＝．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻折得到△BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF ＝S△BEF，则CD 2＋EF 2的值是_________．
F
B
C
A
D
E
【答案】33
【解析】将四边形AFBC补成矩形GHBC，使点F在GH上．
F
G
H
B
C
A
D
E
∵∠DBF＝45°，∴∠HBF＋∠DBC＝∠EBF＋∠DBE．
∵∠DBC＝∠DBE，∴∠HBF＝∠EBF．
∵∠H＝∠BEF＝90°，BF＝BF，∴△BHF≌△BEF，
∴BH＝BE＝BC＝8，∴HF＝EF，四边形GHBC是正方形，
∴DF＝DE＋EF＝CD＋HF．
设CD＝a，HF＝b，则DF＝a＋b，DG＝8－a，FG＝8－b，
在Rt△DFG中，( 8－a )2＋( 8－b )2＝( a＋b )2，
整理得64－8a－8b＝ab．①
∵S△ADF ＝S△BEF，∴S△BHF ＝S△BEF ＝4S△ADF，
∴8b＝4( 6－a )( 8－b )，
整理得8a＋8b－48＝ab．②
由①②解得a＋b＝7，ab＝8，
∴CD 2＋EF 2＝a 2＋b 2＝( a＋b )2－2ab＝7 2－2×8＝33．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．
（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；
（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．
A
D
B
E
C
F
【解析】（1）证明：在BC上截取BG＝DF，连接AG．
A
D
B
E
C
G
F
∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF．
∵∠BAD＝90°，∴∠BAG＋∠DAG＝90°，
∴∠DAF＋∠DAG＝90°，∴∠GAF＝90°．
∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF，
∴EF＝EG＝BE－BG＝BE－DF．
（2）设正方形ABCD的边长为x．
则CF＝x＋2，EF＝BE－DF＝BC＋CE－DF＝x＋5－2＝x＋3．
在Rt△CEF中，5 2＋( x＋2 )2＝( x＋3 )2，
解得x＝10，即ABCD的边长为10．
（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；
（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．
B
C
E
F
A
B
C
F
A
E
图1
图2
【答案】（1）BE 2＋CF 2＝EF 2．
证明：如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ACD，连接DF．
B
C
F
A
E
图1
D
D
B
C
E
F
A
图2
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠DCF＝90°，
∴CD 2＋CF 2＝DF 2，∴BE 2＋CF 2＝DF 2．
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠CAF＝45°，
∴∠CAD＋∠CAF＝45°，∴∠EAF＝∠DAF＝45°．
∵AE＝AD，AF＝AF，∴△AEF≌△ADF，
∴DF＝EF，∴BE 2＋CF 2＝EF 2．
（2）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ACD，连接DF．
则∠ACD＝∠B＝45°，∠DAE＝90°．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠BCD＝90°，∴∠DCF＝90°．
∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠DAF，
∵AE＝AD，AF＝AF，∴△AEF≌△ADF，
∴DF＝EF＝EC＋CF＝1＋2＝3，
∴BE＝CD＝＝ ＝．
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，∠ABF的平分线与EF的延长线交于点G．
（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；
（2）如图2，若＝，求CE的长；
（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长．
B
C
图1
A
D
E
F
G
G
B
C
图2
A
D
F
解：（1）由题意，AD＝BF＝BC＝5，
∴AF＝＝＝4，
∴DF＝AD－AF＝5－4＝1．
（2）过点G作BC的平行线MN，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
G
M
N
B
C
A
D
F
则∠BMG＝∠BFG＝90°．
∵∠MBG＝∠FBG，BG＝BG，
∴△BMG≌△BFG，∴MG＝FG，BM＝BF＝BC，
∴四边形BCNM为正方形．
由＝，可设EF＝3x，则CE＝3x，MG＝FG＝10x，
GE＝13x，GN＝5－10x，EN＝5－3x．
在Rt△GEN中，( 5－10x )2＋( 5－3x )2＝( 13x )2，
解得x＝－（舍去）或x＝，
∴CE＝3x＝1．
（3）点G运动的路径长为．
提示：当点E与点C重合时，EF＝CE＝0，EN＝5，
GE＝FG＝MG＝5－GN．
在Rt△GEN中，5 2＋GN 2＝( 5－GN )2，
解得GN＝0．
当点E与点D重合时，EF＝CE＝CD＝3，EN＝2，
FG＝MG＝5－GN，GE＝EF＋FG＝8－GN．
在Rt△GEN中，2 2＋GN 2＝( 8－GN )2，
解得GN＝，点G运动的路径长为．
题型四 手拉手模型
例题
例1 在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明．
A
D
E
B
C
例2 如图，P为正方形ABCD外一点，∠APD＝45°，求证：∠BPC＝45°．
A
D
P
B
C
例3 已知△ABC为等边三角形．
（1）如图1，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PA＝PB＋PC；
（2）如图2，P为△ABC内一点，PB＞PC，∠BPC＝150°，若PA＝4，△PBC的面积为，求△ABC的面积．
A
B
C
P
A
B
C
P
图1
图2
思路点拨：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ；（2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ，连接PQ，证△ACQ和△PCQ都是直角三角形，△PCQ的面积为△PBC的面积的两倍，△ABC的面积＝△APQ的面积＋△PCQ的面积＋△PBC的面积．
基础篇
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BAC＝90°，D，E，C三点在一条直线上，BD＝1，BC＝，求DE的长．
A
B
C
D
E
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE＝1，∠ABD＝∠ACE，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，∴DC＝＝3，
∴DE＝DC－CE＝3－1＝2．
2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在△ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD＝3，BD＝，求DF的长．
A
B
C
D
E
F
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝，∠ABD＝∠ACE，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°．
∵点F为CE的中点，∴EF＝．
∵∠DAE＝90°，AD＝3，∴DE＝．
∴DF＝＝4
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ．
【答案】16
【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
过点A1作于点D
∴
∴×8×4=16，
又∵，
，
∴=16．
提高篇
4．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．
A
B
C
D
【答案】
【解析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，连接DE．
A
B
C
D
E
则BD＝AE，△CDE为等边三角形，DE＝CD＝2，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°，
∴BD＝AE＝＝＝
2025·张家界真题
5．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）．
A． B． C． D．
A
B
C
O
【答案】C
【解析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△CDB，连接OD．
A
B
C
D
O
则CD＝OA＝2，△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1．
∵OC＝，∴OC 2＋OD 2＝CD 2，
∴∠DOC＝90°，∴S△COD ＝＝，S△BOD ＝＝，
∴S△AOB ＋S△BOC ＝S△CDB ＋S△BOC ＝S△BOD ＋S△COD ＝．
2025·贵阳中考
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．
C
A
B
D
E
【答案】
【解析】过点C作CF⊥CD，交BE于点F．
C
A
B
D
E
F
G
则△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°．
∵BE＝2AD，∴BE＝2BF，∴BF＝EF，
∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF＝22.5°，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°．
过点E作EG⊥AB于点G．
∴EG＝EC，∴AE＝＝，
∴S△ABE ＝S△ABC ＝＝．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，AB⊥AC，若∠ABD＝30°，求∠ACD的度数．
B
C
A
D
解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接BE，CE，DE，CE交BD于点O．
B
C
A
D
E
O
∵AB＝AC，AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵AD∥BC，∴∠BAD＝135°，∴∠CAE＝135°，
∴∠BAE＝135°，∴∠BAD＝∠BAE．
∵AB＝AB，AD＝AE，∴△ABD≌△ABE，
∴BD＝BE，∠ABE＝∠ABD＝30°，
∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形．
∵∠ADB＝∠AEC，∴∠EOD＝∠EAD＝90°，
∴OB＝OD，∴BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC．
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝30°，∴∠DBC＝15°
∴∠BDC＝15°，∴∠BCD＝150°，∴∠ACD＝105°．
8．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】过点作交延长线于点，连接，如图，

根据旋转有：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
9．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】延长至，使得，连接，如图
∵
∴为等边三角形
∵绕着点逆时针旋转60°得到
∴为等边三角形
∴，
∵
即
在和中
∴（）
∴
过点作于点
∴
∴
∴，
∴
∴
10．已知△ABC是等边三角形，PA＝5，PB＝3．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数；
（2）如图2，点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．
B
C
图1
P
A
B
C
图2
P
A
【解答】（1）如图1，将△BPC绕点C顺时针旋转60°到△AQC，连接PQ．
则△PQC是等边三角形，AQ＝PB＝3，
∴∠PQC＝60°，PQ＝PC＝4．
∵PA＝5，∴AQ 2＋PQ 2＝PA 2，∴∠AQP＝90°，
∴∠BPC＝∠AQC＝∠AQP＋∠PQC＝90°＋60°＝150°．
（2）如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°到△AQC，连接PQ．
则△PQC是等边三角形，AQ＝PB＝3，
∠PAQ＝360°－∠PAC－∠QAC＝360°－∠PAC－∠PBC
＝∠APB＋∠ACB＝60°＋60°＝120°．
A
B
C
图2
P
Q
H
A
B
C
图1
P
Q
过点Q作QH⊥PA交PA的延长线于点H．
则∠QAH＝60°，∴AH＝＝，QH＝＝，
∴PH＝，PC＝QC＝＝7．
11．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
【答案】(1) ，；(2)成立，理由见解析；(3)
【详解】（1） ，，证明如下：
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）成立，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，
由旋转性质可得：，，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
在中：，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，．
12．如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．
【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）34或14
【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC=AC，EC=DC，
∴BC-EC=AC-DC，
∴BE=AD，
∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，
∴BE⊥AD，
故答案为BE=AD，BE⊥AD；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
由旋转知，∠BCE=∠ACD，
∵BC=AC，EC=DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
如图2， BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠BHC=90°，
∵∠BHC=∠AHG，
∴∠CAD+∠AHG=90°，
∴∠AGH=90°，
∴BE⊥AD；
（3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，
∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，
∴EM=CM=DE=10，
在Rt△AMC中，AC=26，
根据勾股定理得，，
∴AE=AM-EM=24-10=14；
②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N，
∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，
∴EN=CN=DE=10，
在Rt△ANC中，AC=26，
根据勾股定理得，
∴AE=AN+EN=24+10=34；
综上，AE的长为14或34
题型五 对角互补+邻边相等模型
如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ．
【答案】
【详解】解：∵，，将绕点逆时针旋转，得，如图所示，
∴，，
∴，
∵，则，
∴点在的延长线上，且，，
∴是等边三角形，过点作于，，
∴，，
∴，
∴
如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】如图，结论：EF＝EB+FC，
理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF
如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．

【答案】
【详解】解：如图，过点作于F，过点作于M，

四边形为正方形，
，，
，
由，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
解得：，
，
则
如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝ （用含α的代数式表示）.
【解答】如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，
可得△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，
则EG＝EF，
∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，
∴∠BCD＝2∠ECF＝2α
题型六 平行线夹中点模型
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC．
A
D
B
C
E
证明：延长AE交BC的延长线于点F．
A
D
B
C
F
E
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，AE＝EF．
∵AE⊥BE，∴AB＝BF＝BC＋CF＝AD＋BC．
如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．
A
B
D
C
E
【答案】3
【解析】延长BE交CD于点F．
A
B
F
D
C
E
∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE．
∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，
∴△ABE≌△DFE，∴BE＝EF，DF＝AB＝2．
∵CD＝8，∴CD＝6．
∵BC＝6，∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，
∴BF＝BC＝6，∴BE＝3．
深圳中考
如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且，，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（ ）
A．1 B．EQ 3－ \R(,3) C．EQ \R(,5)－1 D．EQ 4－2 \R(,2)
【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G＝30°，
在△ADE和△GCE中，
EQ \B\lc\{(\a\al(∠DAE＝∠G,∠AED＝∠GEC,CE＝DE))，
∴△ADE≌△GCE(AAS)，
∴CG＝AD＝EQ \R(,2),AE＝EG＝
∴AG＝AE＋EG＝EQ 2 \R(,3)＋2 \R(,3)＝EQ 4 \R(,3),
∵AE⊥AF，
∴AF＝AG＝EQ 4 \R(,3)× \F(\R(,3),3)＝4，
GF＝AG÷cs30°＝EQ 4 \R(,3)÷ \F(\R(,3),2)＝8，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
则MN＝AD＝EQ \R(,2),
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BM＝CN，
∵MG＝AG＝EQ 4 \R(,3)× \F(\R(,3),2)＝6，
∴CN＝MG－MN－CG＝EQ 6－ \R(,2)－ \R(,2)＝EQ 6－2 \R(,2),
∵AF⊥AE，AM⊥BC，
∴∠FAM＝∠G＝30°，
∴FM＝AF＝EQ 4× \F(1,2)＝2，
∴BF＝BM－MF＝EQ 6－2 \R(,2)－2＝EQ 4－2 \R(,2)．
题型七 截长补短模型
如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为________
【答案】7
【详解】解：如图，在CA上截取CN=CB, 连接DN,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠NCD,
∵CD=CD,
∴△CBD≌△CND(SAS),
∴BD=ND,∠B=∠CND,CB=CN,
∵BC=9,AC=16,
∴CN=9,AN=AC−CN=7,
∵∠CND=∠NDA+∠A,
∴∠B=∠NDA+∠A,
∵∠B=2∠A,
∴∠A=∠NDA,
∴ND=NA, ∴BD=AN=7.
如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，如图；
是正方形，
；
，
，
，
∴，
又∵，
，
在和中
，
，
；
（2）解：成立．
在上取，连接，如图，
为正方形，
，
，
，，
又∵，
∴，
在和中
，
，
．
如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】）EF=FC-BE．
【分析】在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠ACB=50°，∠DBC=∠DCB=40°，进而证明△BED≅ △CGD(SAS)得到DG=DE，据此方法再证明△EDF≅ △GDF(SAS)，最后根据全等三角形的性质解题即可．
【详解】在CA上截取CG=BE,连接DG
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=80°
∴∠ABC=∠ACB=50°
∵∠BDC=100°，BD=CD
∴∠DBC=∠DCB=40°
∴∠EBD=∠GCD=90°
∵CG=BE，BD=CD
在△BED和△CGD中，
∵CG=BE，∠EBD=∠GCD，BD=CD
∴△BED≅ △CGD(SAS)
∴DG=DE
在△EDF和△GDF中，
∵FD=FD，∠GDF=∠EDF，ED=GD
∴△EDF≅ △GDF(SAS)
∴EF=FG=FC−CG=FC−BE
如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；
（2）证明：DF+CF＝EF．

（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴CD＝CE＝2AD＝4，
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴S△ECD＝•CD•CE＝×4×4＝8．
（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，
∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，
∴△ECM≌△DCF，
∴CM＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴CF＝MF，
∴EF＝EM+MF＝DF+CF．
在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【详解】解：（1）∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB=12(180°−∠A)=90°−12∠A，
∴∠BFC=180°−(∠FBC+∠FCB)=180°−(90°−12∠A)，
∴∠BFC=90°+12∠A，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得∠BFC=90°+12∠A，
∵∠BAC=60°，
∴∠BFC=120°，
∴∠BFD=∠EFC=180°−∠BFC=60°，
在△BFG与△BFD中，
BF=BF∠FBG=∠FBDBD=BG ，
∴△BFG≅△BFD（SAS）
∴∠BFD=∠BFG，
∴∠BFD=∠BFG=60°，
∴∠CFG=120°−∠BFG=60°，
∴∠CFG=∠CFE=60°
在△FEC与△FGC中，
∠CFE=∠CFGCF=CF∠ECF=∠GCF，
∴△FEC≅△FGC(ASA)，
∴CE=CG，
∵BC=BG+CG，
∴BC=BD+CE；
∵BD=4，BC=6.5，
∴CE=2.5
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAC=180°−∠BAC=120°，
在△BFC与△CAP中，
BF=AC∠BFC=∠CAP=120°CF=PA ，
∴△BFC≅△CAP（SAS）
∴∠P=∠BCF，BC=PC，
∴∠P=∠ABC，
又∵∠P=∠BCF=12∠ACB，
∴∠ACB=2∠ABC，
又∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴3∠ABC+60°=180°，
∴∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠ABE=12∠ABC=20°，∠AEB=180°−(∠ABE+∠A)=180°−(20°+60°)=100°
课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【解析】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．
题型八 绝配角模型
例题
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长．
A
D
B
C
解：延长DA到点E，使AE＝AD，连接BE．
A
E
D
B
C
∵∠BAC＝90°，∴BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，∠ABE＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠EBD．
∵∠ABD＝∠C，∴∠EBD＝∠C，
∴∠EBC＝∠BDE，∴∠E＝∠EBC，
∴EC＝BC＝＝＝5，
∴AD＝AE＝EC－AC＝5－4＝1．
考点分析：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
思路点拨：延长DA到点E，使AE＝AD，连接BE，证∠E＝∠EBC．
【例2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，点M为AC上一点，且∠EMC＝2∠BDE，BE＝2，CE＝5，求EM的长．
A
D
E
F
M
B
C
图1
A
D
E
M
B
C
图2
解：（1）如图1，连接CD．
A
D
E
F
M
B
C
图1
A
D
E
F
M
B
C
G
图2
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，
∴BD＝CD，∠B＝∠DCF＝45°，∠BDC＝90°．
∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF，∴BE＝CF．
（2）如图2，在AC上取点F，使CF＝BE，延长AC到点G，使CG＝CF，连接EF，EG．
则EF＝EG，∴∠G＝∠EFG，∠CEF＝∠CEG，
∴∠FEG＝2∠CEF．
连接CD，DF．
则△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠DFE＝∠DCE，
∴∠CDF＝∠CEF，∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠FEG＝2∠BDE．
∵∠EMC＝2∠BDE，∴∠FEG＝∠EMC，
∴∠MEG＝∠EFG＝∠G，∴EM＝MG．
设EM＝MG＝x，则MC＝x－2．
在Rt△EMC中，5 2＋( x－2 )2＝x 2，
解得x＝，即EM的长为．
考点分析：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
思路点拨：（1）连接CD，△BDE≌△CDF；（2）在AC上取点F，使CF＝BE，延长AC到点G，使CG＝CF，连接EF，EG，导角证EM＝MG，在Rt△EMC中用勾股定理列方程求出EM的长．
基础篇
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝6，BD＝1，则CD的长为_________．
A
C
D
B
【答案】4
【解析】延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．
A
E
C
D
B
∵∠ABC＝90°，∴AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠BAD＝∠C，∴∠EAD＝∠C，
∴∠CAE＝∠ADE，∴∠E＝∠CAE，
∴EC＝AC＝6，∴CD＝EC－2BD＝6－2×1＝4．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．
A
B
C
D
E
【答案】2
【解析】在BA上截取BF＝BD，连接DF．
A
B
C
D
E
F
则∠BFD＝∠BDF＝90°－∠B＝90°－∠CDE＝∠CED，
∴∠AFD＝∠AED，∠BDF＋∠CDE＝90°，
∴∠EDF＝90°，∠ADF＝∠ADE＝45°．
∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE，
∴AF＝AE＝3，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－3＝2．
2025·深圳宝安区二模
如图，在中，，点为中点，，则的值为 ．（后续计算用到相似）
【答案】
【详解】解：延长至E，使，连接，设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，故答案为：．
2025·深圳中学联考二模
如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，延长至使，作交于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
提高篇
如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．
A
B
C
D
F
E
【答案】3
【解析】在AD上截取DG＝DC，连接CG．
A
B
C
D
F
E
G
设∠DBE＝x，则∠DAC＝2x，∠BAD＝60°＋2x，
∠ABE＝∠AEB＝60°－x，∠D＝60°－2x，
∠DGC＝∠EFC＝60°＋x，
∴AE＝AB＝AC，∠AGC＝∠AFE．
∵∠CAG＝∠EAF，∴△ACG≌△AEF，
∴AG＝AF，∴EG＝CF＝1，
∴CD＝DG＝DE＋EG＝2＋1＝3
如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．
B
E
C
A
D
【答案】
【解析】过点C作CF∥AB交BD的延长线于点F．
B
E
G
C
A
D
F
则∠ECF＝∠A，∠F＝∠ABE．
∵EB＝EA，∴∠A＝∠ABE，
∴∠ECF＝∠F，∴EF＝EC，
∴BF＝AC＝11，∴DF＝BF－BD＝11－8＝3．
在BD上取点G，使DG＝DF，连接CG．
则CF＝CG，∴∠CGF＝∠F＝∠ECF＝∠A＝2∠CBE，
∴∠CBG＝∠BCG，∴CG＝BG＝BD－DG＝5，
∴CD＝＝ ＝4，
∴BC＝＝ ＝．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E在AC边上，AE＝BC＝2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，CE的长为_________．
A
D
E
C′
B
C
【答案】
【解析】延长AC到点F，使CF＝CE，连接BF．
A
B
C
D
E
F
C′
∵∠ACB＝90°，∴BE＝BF，∴∠F＝∠BEF．
∵点D为AB中点，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD．
∵C′E∥CD，∴∠AEC'＝∠ACD，
∴∠A＝∠AEC'＝180°－2∠BEF＝180°－2∠F，
∴∠ABF＝∠F，∴AB＝AF．
设CE＝CF＝x，则AC＝x＋2，AB＝AF＝2x＋2．
在Rt△ABC中，2 2＋( x＋2 )2＝( 2x＋2 )2，
解得x＝－2（舍去）或x＝，∴CE的长为．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的长．
B
D
C
A
【答案】3
解：延长BC到点E，使CE＝CD，连接AE，过点B作AE的垂线，垂足为F．
F
B
D
C
E
A
∵∠ACB＝90°，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC＝2∠ABC．
∵∠FBE＝∠EAC＝90°－∠E，∴∠FBE＝2∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC，∴AF＝AC，∴BF＝BC．
设CD＝a，则BD＝2a，BF＝BC＝3a，BE＝4a，
在△ABE中，由面积法得BE·AC＝AE·BF，
∴4a·AC＝AE·3a，∴＝．
设AC＝3m，则AD＝AE＝4m，CD＝，
BC＝，AB＝＝＝3．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，∠EBC＝2∠ADE，求AE的长．
A
B
C
D
E
【答案】2
【解析】解：过点D作DF⊥DE，交BC于点F，延长BC到点G，使CG＝CF，连接CD，EF，EG．
A
B
F
C
D
G
E
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，CD⊥AB，∠DAE＝∠DCE＝∠DCF＝45°，
∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠DCE＝∠DFE，∴∠CEF＝∠CDF＝∠ADE．
∵∠EBC＝2∠ADE，∴∠EBC＝2∠CEF．
∵∠ACB＝90°，CG＝CF，∴EG＝EF，
∴∠CEG＝∠CEF，∠G＝∠EFG，∴∠EBC＝∠GEF，
∴∠BEG＝∠EFG＝∠G，∴BG＝BE．
设AE＝x，则CG＝CF＝x，BE＝BG＝8＋x，EC＝8－x，
在Rt△EBC中，8 2＋( 8－x )2＝( 8＋x )2，
解得x＝2，即AE的长为2．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，∠BDE＝2∠ABD，EF⊥BD于点G，交AB于点F，用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明．
A
B
E
C
D
G
F
【答案】BF＝2AD
【解析】证明：延长DA到点D'，使AD'＝AD，连接D'B．
A
F′
D′
B
E
C
D
G
F
∵∠BAC＝90°，∴BD＝BD'，
∴∠ABD＝∠ABD'，∴∠D'BD＝2∠ABD．
∵∠BDE＝2∠ABD，∴∠D'BD＝∠BDE，∴D'B∥DE．
过点B作BF'∥AC交DE的延长线于点F'．
则∠F'BE＝∠C＝∠FBE，四边形D'BF'D为平行四边形，
∴BF'＝D'D＝2AD，∠F'＝∠D'＝∠BDD'．
∵∠FAD＝∠FGD＝90°，∴∠BDD'＝∠BFE，
∴∠F'＝∠BFE．
∵BE＝BE，∴△BEF'≌△BEF，
∴BF'＝BF，∴BF＝2AD．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，延长BA到点E，使AE＝AB，连接DE，过点D作DH⊥AE于点H．
（1）求证：△ADE≌△ADC；
（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；
（3）若AD＝，CD＝6，求AB的长．
E
D
A
H
B
C
【解析】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB．
∵AB＝AC，∴AE＝AC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠CAD．
∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC．
（2）CD＝2AH．
在HB上截取HF＝HE，连接DF．
E
D
A
F
H
B
C
则DF＝DE，∴∠E＝∠DFA．
∵△ADE≌△ADC，∴∠E＝∠ACD，ED＝CD，
∴∠DFA＝∠ACD．
∵∠ACD＝2∠ABD，∴∠DFA＝2∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDF，∴BF＝DF＝DE＝CD，
∴AF＋BF＝AH＋HE＝AH＋AF＋AH，
∴BF＝2AH，∴CD＝2AH．
（3）∵CD＝6，∴AH＝3，ED＝6，
∴DH 2＝AD 2－AH 2＝()2－3 2＝11，
∴EH 2＝ED 2－DH 2＝6 2－11＝25，
∴EH＝5，∴AB＝AH＋EH＝3＋5＝8．
题型九 婆罗摩笈模型
如图，△ABE和△ACF都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明．
C
B
D
E
A
F
【答案】猜想：AD＝EF，AD⊥EF．
【解析】证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．
C
B
D
E
A
F
H
G
∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．
∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB，
∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，
∴AC∥BG，∴∠BAC＋∠ABG＝180°．
∵AC＝AF，∴BG＝AF．
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴∠ABG＝∠EAF．
∵AB＝AE，∴△ABG≌△EAF，
∴AG＝EF，∠G＝∠AFE，
∴AD＝AG＝EF，∠DAC＝∠AFE．
延长DA交EF于点H．
∵∠CAF＝90°，∴∠DAC＋∠HAF＝90°，
∴∠AFE＋∠HAF＝90°，∴∠AHF＝90°，∴AD⊥EF．
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，
求证：DE＝2AM.
【答案】见解析.
【详解】延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中

∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD，
在△EAD和△ABN中
∵，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴DE=AN=2MN．
2025武汉·中考真题
如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ．
【答案】80
【详解】连接LC、EC、EB，LJ，
在正方形，，中
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
∵.
∴,
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
【答案】(1)①；②
(2)AD＝BC，证明见解析
(3)旋补中线长为，
【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题．
②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
（2）结论：．如图1中，延长AD到M，使得，连接，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题．
（3）如图4中，过点P作于H，取BC的中点J，连接PJ．解直角三角形求出BC，PJ，利用（2）中结论解决问题即可．
(1)
解：①如图2中，
∵是等边三角形，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
②如图3中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
(2)
结论：AD＝BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
(3)
如图4中，过点P作PH⊥AB于H，取BC的中点J，连接PJ．
∵是等边三角形，
∴，
∵∠BCD＝150°，
∴∠PCB＝90°，
∵是的“旋补三角形”，
∴，
∵PH⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的“旋补中线”长，
∵，
∴，
∵也是 的“旋补三角形”，
∴．
2025·宿迁中考真题
【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解．
【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE；
证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，
∵点F为DE中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF和△ADF中，
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，∠G=∠DAF，
∴S△GEF=S△ADF，
∴S△EAD=S△GEA，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA和△CAB中，
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，
∵点F为DE中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF和△ADF中，
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，GF=AF=
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA和△CAB中，
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴∠EAG=∠ABC，AC=AG，
∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM=，
在△EAF和△ABM中，
，
∴△EAF≌△ABM（SAS），
∴EF=AM，
∵点F为DE中点，
∴DE=2EF=2AM，
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，
∵∠BAE=90°，∠DAC=90°，
∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90°
∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，
∵EP⊥MN，
∴∠EPA=90°
在△EAP和△ABM中，
，
∴△EAP≌△ABM（AAS），
∴EP=AM，
∵DO⊥MN，
∴∠AOD=90°，
在△CAM和△ADO中，
，
∴△CAM≌△ADO（AAS）
∴AM=DO，
∴EP=DO=AM，
在△EPN和△DON中，
∴△EPN≌△DON（AAS），
∴EN=DN，
∴MA的延长线平分ED于点N．
（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD
∵点F为BD中点，
∴DF=BF，
在△DQF和△BAF中，
∴△DQF≌△BAF（SAS），
∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，
∴DQ∥BA，
∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD
∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°，
∴AR=AC=AB=QD，RD=CE，
∵∠CAB=90°，
∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°，
∴R、A、B三点共线，
∵DQ∥BA，
∴∠QDA=∠RAD，
在△DQA和△ARD中，
∴△DQA≌△ARD（SAS），
∴AQ=DR，
∴2AF=AG=DR=CE，
∴2AF=CE．
综合与实践
以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.

(1)如图①，若，证明：；
(2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；
(3)如图③，，，，且，则________________.
【详解】（1）∵，，
∴
∵以的两边、为边，向外作正方形和正方形，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作交的延长线于P，过点G作 于Q，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
同理可得，
∴；
在和中，
，
∴，
∴；
即（1）中的结论成立；
（3）在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
过点E作交的延长线于P，过点G作 于Q，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得，
∴；
在和中，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；，证明见解析；(2)是的“旋补中线”， 证明见解析
【详解】（1）解：材料：由题意得：，，，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
故答案为：；
探索一：；
证明：如图1，延长至点E使，连接，

∵是的“旋补中线”，
∴是的中线，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的“旋补中线”，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）是的“旋补中线”；
证明：如图，作于H，作交延长线于F，

∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中线，
∴是的“旋补中线”．
题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°．
A
B
C
E
D
【解析】证明：过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F．
A
B
C
E
D
F
则∠F＝∠AEC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAE＝90°，
∴∠ABF＝∠CAE．
∵AB＝AC，∴△ABF≌△CAE，
∴AF＝CE，BF＝AE，
∵DE＝CE，∴AF＝DE，∴DF＝AE，
∴BF＝DF，∴∠BDF＝45°．
∵∠DEC＝90°，DE＝CE，∴∠CDE＝45°，
∴∠BDC＝90°．
如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：△CEF是等腰直角三角形．
A
B
C
F
E
D
【解析】证明：延长EF到点G，使FG＝EF，连接BG，CG，CE，设直线BC与DE相交于点H．
A
B
C
F
E
D
G
H
则△BFG≌△DFE，∴BG＝DE＝AE，∠GBF＝∠EDF，
∴∠GBC＝∠GBF＋∠FBC＝∠EDF＋∠FBC＝180°－∠H＝∠EAC．
∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCG，
∴CE＝CG，∠ACE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠ACB＝90°，
∴△CEG是等腰直角三角形．
∵EF＝FG，∴CF＝EF且CF⊥EF，
∴△CEF是等腰直角三角形．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 ．
解：连接CE，延长AB、CE交于T，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BC，DB＝EB，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝45°，∠ADB＝∠BEC，
∴BC＝BT＝AB，
∵点F是AE的中点，
∴BT是△AET的中位线，
∴TE＝2BF＝2，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴∠BDC＝∠BET，
∵∠T＝∠BCD，BT＝BC，
∴△BDC≌△BET（AAS），
∴CD＝ET＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：
（1）AF＝DF； （2）AF⊥DF．
证明：（1）连接BF，延长DF交AC于点G，
∵∠EBD＝∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝90°，
在RT△EBC中，F为斜边中点，
∴BF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠DFE＝∠DFB，
∵∠EFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠DFE+∠DFB＝∠FBC+∠FCB，
∴2∠DFB＝2∠FBC，
则∠DFB＝∠FBC，
∴DG∥BC，
∵△BAC为等腰直角三角形，且DG∥BC，AB＝AC，
∴AD＝AG，BD＝CG，
∵BD＝DE，
∴DE＝CG，
∵∠BDE＝∠CAB＝90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEF＝∠GCF，
在△DEF和△GCF中，
∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴DF＝FG，
∵△DAG为等腰直角三角形，
∴AF⊥DG；
（2）∵F为DG中点，
∴在RT△DAG中，AF＝DF．
如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
【答案】（1）PQBO，PQ⊥BO；（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由见解析；（3）
【详解】解:（1）∵点O为对角线AC的中点，
∴BO⊥AC，BO＝CO，
∵P为BC的中点，Q为BO的中点，
∴PQ∥OC，PQOC，
∴PQ⊥BO，PQBO；
故答案为：PQBO，PQ⊥BO．
（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接O'P并延长交BC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，
∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，
∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，
又∵点P是CE的中点，
∴CP＝EP，
在△O′PE和△FPC中
，
∴△O'PE≌△FPC（AAS），
∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，
∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，
∴BO'＝BF，
∴△O'BF为等腰直角三角形．
∴BP⊥O'F，O'P＝BP，
∴△BPO'也为等腰直角三角形．
又∵点Q为O'B的中点，
∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，
∴△PQB的形状是等腰直角三角形；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECG＝45°，
由旋转得，四边形O'ABG是矩形，
∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∵点P是CE的中点，
∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，
在△O'GP和△BCP中,
，
∴△O'GP≌△BCP（SAS），
∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，
∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，
∴∠O'PB＝90°，
∴△O'PB为等腰直角三角形，
∵点Q是O'B的中点，
∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，
∵AB＝1，
∴O'A，
∴O'B，
∴BQ．
∴S△PQBBQ•PQ．
已知两个等腰有公共顶点C，，连接，M是的中点，连接．
(1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长；
(2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由；
(3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)成立，证明见解析
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，B为中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵M是的中点，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：成立，证明如下：
如图，延长交于点D，连接，
根据题意得：，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．
(1)如图1，当与在同一直线上时，求证：；
(2)如图2，当时，求证：．
【分析】（1）法一：延长交于点，易证为等腰直角三角形，得到，进而得到为的中位线，即可得证；法二：延长交于，证明，进而推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得证；
（2）法一：延长交于点D，连接，易得，，证明，得到，即可得证；法二：延长交于D，连接、，分别证明，推出是等腰直角三角形，进而得证．
【详解】（1）解：法一：
如图：延长交于点，
∵等腰有公共顶点C，，
∴，，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点，
又∵点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴；
法二：
如图，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴；．
（2）法一：
如图，延长交于点D，连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴点B为中点，又点M为中点，
∴．
延长与交于点G，连接，
同法可得：，，
∴点E为中点，又点M为中点，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
法二：
如图，延长交于D，连接、，
∵为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴．
已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
解：（1）如图①，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE；
已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME（AAS），
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；

（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
A
B
D
C
E
已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．
结论1：△ACD≌△EBD．
A
B
D
C
F
E
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．
结论2：△BDE≌△CDF．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，
结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
A
B
D
P
C
1
2
3
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
结论1：△CAP≌△PBD．
1
2
3
D
P
C
B
A
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
结论2：△APC≌△BDP．
A
B
C
D
E
F
等边三角形含半角
已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，
∠EDF＝60°．
结论1：EF＝BE＋CF，
∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
A
D
B
E
C
F
正方形含半角
已知：四边形ABCD是正方形，点E，
F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．
结论2：EF＝BE＋DF，
∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
A
B
C
E
D
等腰直角三角形含半角
已知：△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，点D，E在BC上，
∠DAE＝45°．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
A
D
E
B
C
O
已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，
结论2：∠BOC＝∠BAC，
结论3：OA平分∠BOE．
A
B
C
D
E
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．
结论：AC＝EC．
A
B
D
C
E
已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．
结论1：△ACD≌△EBD．
A
B
D
C
F
E
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．
结论2：△BDE≌△CDF．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，
结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
A
B
D
P
C
1
2
3
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
结论1：△CAP≌△PBD．
1
2
3
D
P
C
B
A
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
结论2：△APC≌△BDP．
A
B
C
D
E
F
等边三角形含半角
已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，
∠EDF＝60°．
结论1：EF＝BE＋CF，
∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
A
D
B
E
C
F
正方形含半角
已知：四边形ABCD是正方形，点E，
F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．
结论2：EF＝BE＋DF，
∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
A
B
C
E
D
等腰直角三角形含半角
已知：△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，点D，E在BC上，
∠DAE＝45°．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
A
D
E
B
C
O
已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，
结论2：∠BOC＝∠BAC，
结论3：OA平分∠BOE．
A
B
C
D
E
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．
结论：AC＝EC．