2026年中考数学-模型·方法·技巧突破练 专题1-2一文吃透相似三角形12个模型·共14类题型（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学-模型·方法·技巧突破练 专题1-2一文吃透相似三角形12个模型·共14类题型（学生版+名师详解版），共193页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151081730" 模型梳理 PAGEREF _Tc151081730 \h 3
\l "_Tc151081731" 题型一 A字模型 PAGEREF _Tc151081731 \h 12
\l "_Tc151081732" 2025·四川成都·真题 PAGEREF _Tc151081732 \h 12
\l "_Tc151081733" 2025宜宾 PAGEREF _Tc151081733 \h 13
\l "_Tc151081734" 2025·山东潍坊·真题 PAGEREF _Tc151081734 \h 13
\l "_Tc151081735" 2025·浙江杭州·真题 PAGEREF _Tc151081735 \h 13
\l "_Tc151081736" 2025·浙江温州·真题 PAGEREF _Tc151081736 \h 14
\l "_Tc151081737" 2025安徽 PAGEREF _Tc151081737 \h 15
\l "_Tc151081738" 2025·广东·真题 PAGEREF _Tc151081738 \h 15
\l "_Tc151081739" 2025·山东泰安·真题 PAGEREF _Tc151081739 \h 16
\l "_Tc151081740" 2025·四川眉山·真题 PAGEREF _Tc151081740 \h 16
\l "_Tc151081741" 2025·江苏淮安·真题 PAGEREF _Tc151081741 \h 17
\l "_Tc151081742" 题型二 “8”字型 PAGEREF _Tc151081742 \h 18
\l "_Tc151081743" 2025·辽宁·真题 PAGEREF _Tc151081743 \h 18
\l "_Tc151081744" 2025·四川乐山·真题 PAGEREF _Tc151081744 \h 18
\l "_Tc151081745" 2025·湖北武汉·真题 PAGEREF _Tc151081745 \h 19
\l "_Tc151081746" 2025·四川泸州·真题 PAGEREF _Tc151081746 \h 19
\l "_Tc151081747" 2025·浙江杭州·真题 PAGEREF _Tc151081747 \h 20
\l "_Tc151081748" 2025·四川眉山·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081748 \h 20
\l "_Tc151081749" 2025深圳 PAGEREF _Tc151081749 \h 21
\l "_Tc151081750" 题型三 三角形内接矩形 PAGEREF _Tc151081750 \h 21
\l "_Tc151081751" 2025·山东东营·真题 PAGEREF _Tc151081751 \h 21
\l "_Tc151081752" 题型四 倒数型（三平行结构） PAGEREF _Tc151081752 \h 23
\l "_Tc151081753" 湖南株洲·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081753 \h 23
\l "_Tc151081754" 2025·四川内江·真题 PAGEREF _Tc151081754 \h 23
\l "_Tc151081755" 2024届·深圳中学九年级期中 PAGEREF _Tc151081755 \h 24
\l "_Tc151081756" 题型五 A字型及8字型相结合 PAGEREF _Tc151081756 \h 24
\l "_Tc151081757" 2025·黑龙江哈尔滨·真题 PAGEREF _Tc151081757 \h 24
\l "_Tc151081758" 2025·安徽·真题 PAGEREF _Tc151081758 \h 24
\l "_Tc151081759" 2025·陕西·真题 PAGEREF _Tc151081759 \h 25
\l "_Tc151081760" 题型六 射影定理 PAGEREF _Tc151081760 \h 25
\l "_Tc151081761" 2025·湖南郴州·真题 PAGEREF _Tc151081761 \h 25
\l "_Tc151081762" 2025湘潭 PAGEREF _Tc151081762 \h 26
\l "_Tc151081763" 题型七 子母模型（公共边公共角） PAGEREF _Tc151081763 \h 27
\l "_Tc151081764" 2025·湖北鄂州·真题 PAGEREF _Tc151081764 \h 27
\l "_Tc151081765" 2025·四川凉山·真题 PAGEREF _Tc151081765 \h 27
\l "_Tc151081766" 题型八 一线三等角模型 PAGEREF _Tc151081766 \h 30
\l "_Tc151081767" 2025·黑龙江大庆·真题 PAGEREF _Tc151081767 \h 30
\l "_Tc151081768" 2025·山东东营·真题 PAGEREF _Tc151081768 \h 31
\l "_Tc151081769" 浙江中考真题 PAGEREF _Tc151081769 \h 33
\l "_Tc151081770" 2025·浙江丽水·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081770 \h 34
\l "_Tc151081771" 徐州中考 PAGEREF _Tc151081771 \h 36
\l "_Tc151081772" 2025·湖北武汉·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081772 \h 38
\l "_Tc151081773" 题型九 旋转相似模型（手拉手） PAGEREF _Tc151081773 \h 39
\l "_Tc151081774" 2025·湖南常德·真题 PAGEREF _Tc151081774 \h 39
\l "_Tc151081775" 2025烟台 PAGEREF _Tc151081775 \h 39
\l "_Tc151081776" 2025天门 PAGEREF _Tc151081776 \h 39
\l "_Tc151081777" 2025河池 PAGEREF _Tc151081777 \h 40
\l "_Tc151081778" 2025·辽宁营口·真题 PAGEREF _Tc151081778 \h 41
\l "_Tc151081779" 2025鞍山 PAGEREF _Tc151081779 \h 42
\l "_Tc151081780" 题型十 作辅助线构造A字和8字型相似 PAGEREF _Tc151081780 \h 43
\l "_Tc151081781" 2025·湖北十堰·真题 PAGEREF _Tc151081781 \h 44
\l "_Tc151081782" 2025·浙江·真题 PAGEREF _Tc151081782 \h 44
\l "_Tc151081783" 2025·江苏·中考真题 PAGEREF _Tc151081783 \h 45
\l "_Tc151081784" 2025·湖南常德·真题 PAGEREF _Tc151081784 \h 45
\l "_Tc151081785" 2025·四川绵阳·真题 PAGEREF _Tc151081785 \h 45
\l "_Tc151081786" 2025襄阳 PAGEREF _Tc151081786 \h 46
\l "_Tc151081787" 2025·山东烟台·真题 PAGEREF _Tc151081787 \h 47
\l "_Tc151081788" 2025·湖北武汉·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081788 \h 49
\l "_Tc151081789" 题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） PAGEREF _Tc151081789 \h 50
\l "_Tc151081790" 2025·新疆·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081790 \h 50
\l "_Tc151081791" 2025·浙江丽水·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081791 \h 50
\l "_Tc151081792" 重庆中考 PAGEREF _Tc151081792 \h 51
\l "_Tc151081793" 题型十二 十字架模型 PAGEREF _Tc151081793 \h 52
\l "_Tc151081794" 2025·辽宁丹东·真题 PAGEREF _Tc151081794 \h 52
\l "_Tc151081795" 2025·山东菏泽·中考真题 PAGEREF _Tc151081795 \h 53
\l "_Tc151081796" 2025·四川达州·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081796 \h 54
\l "_Tc151081797" 题型十三 对角互补模型 PAGEREF _Tc151081797 \h 56
\l "_Tc151081798" 深圳中考 PAGEREF _Tc151081798 \h 56
\l "_Tc151081799" 题型十四 双高型 PAGEREF _Tc151081799 \h 57
模型梳理
一、A字模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．
A
B
C
D
E
结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）
反A字型
结论：＝＝．（共线的边之积相等）
构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型
A
B
C
D
E
二、8字模型
已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．
A
B
D
C
O
结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．
构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型
A
D
B
C
O
三、反8字模型（两组相似，四点共圆）
性质一：如左图，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
性质二：如右图，△AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似)
性质三：四点共圆 (圆周角定理)

四、三角形内接矩形型
三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．
若四边形DEFG为矩形，则：
特别地，
(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：
(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为
(3)
证明：把△FGC向左平移至△，则，∴
五、倒数模型（三平行结构）
六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边)²＝共线的边之积）
补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型．
（2）在圆中也会出现射影定理模型．

七、母子相似模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB．
证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB．
母子相似模型也叫共边共角相似模型．
（三）解题技巧
如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．
八、一线三等角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△CAP∽△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．
结论2：△APC∽△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1＝∠2＝∠3＝90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查
九、旋转相似模型(手拉手)
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：△ABD∽△ACE．
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
（三）解题技巧
如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解．
十、十字架模型
【正方形内的十字架结构】垂直相等，相等垂直
【十字结构在矩形中】
如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比
一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上）
【十字结构在直角三角形中】
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可
如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长
如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值
十一、对角互补模型
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。
△FDC∽△GEC
△DOC∽△EFC
十二、双高模型
双高模型：可谓“相似成灾”
共有8组相似！
①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON;
②△BCM∽△OFM (蝴蝶相似必成队）
③△NOF∽△NCB（反A型）
重点题型·归类精练
题型一 A字模型
2025·四川成都·真题
如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ．

2025宜宾
如图，△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝_________．
A
B
C
E
F
1
2
2025·山东潍坊·真题
在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

2025·浙江杭州·真题
如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
2025·浙江温州·真题
如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．

(1)求证：，(2)当，时，求的长．
小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
2025安徽
如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G，连接DF，若DE＝1，DF＝，则MN＝_________．
A
D
E
G
B
C
M
N
F
（2025·深圳·九年级统考期中）如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2025·广东·真题
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．

2025·山东泰安·真题
如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上则图中阴影部分的面积为 ．
2025·四川眉山·真题
如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．

2025·江苏淮安·真题
如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ．
（2025上·广东深圳·九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯的高，并求影长的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
题型二 “8”字型
2025·辽宁·真题
如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
2025·四川乐山·真题
如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

2025·湖北武汉·真题
如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

2025上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中
如图，在中，为边上的点，，连接交于点，的面积为，则的面积为 ．
2025·四川泸州·真题
如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．

2025·浙江杭州·真题
在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
2025·四川眉山·统考中考真题
如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
如图，矩形中，点在上，，与相交于点．与相交于点．
(1)证明：；
(2)若，，求的长度．
2025深圳
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2√5，连接CE，以CE为底作等腰Rt△CDE，CD＝DE，点F是线段AE上一点，连接BD，BF，∠FBD＝45°，则AF的长为_________．
A
B
C
D
E
F
题型三 三角形内接矩形
2025·山东东营·真题
如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
如图，是的高，点E、F在边上，点G在边上，点H在边上，，高，四边形是内接正方形，

(1)与相似吗？为什么？
(2)求内接正方形边长．
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
题型四 倒数型（三平行结构）
湖南株洲·统考中考真题
如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A．B．C．D．
2025·四川内江·真题
如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．3
2024届·深圳中学九年级期中
如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．

题型五 A字型及8字型相结合
2025·黑龙江哈尔滨·真题
如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线分别与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G，若BE＝6，EF＝4，则FG的长为_________．
D
A
B
C
E
F
G
2025·安徽·真题
如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A．B．C．D．
2025·陕西·真题
如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A．B．7C．D．8
如图，在中，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G，则的值是（ ）
A．B．C．D．
题型六 射影定理
2025·湖南郴州·真题
在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
2025湘潭
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积．
A
B
C
F
D
E
l
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，则＝_________．
A
D
O
B
C
如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长.
题型七 子母模型（公共边公共角）
2025·湖北鄂州·真题
如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
2025·四川凉山·真题
如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
（2025上·广东深圳·九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9，BD＝7，AC＝12．
（1）求证：AC 2＝AD·AB；（2）若AE＝8，求EF的长．
A
F
B
C
D
E
如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A' 处，连接CA' 并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长．
A
D
F
E
A′
B
C
（2025上·四川成都·九年级统考期末）在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
(1)求证：：
(2)当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长；
（3）如图2，若BF＝，BC＝4，求EF的长．
A
C
B
E
F
A
C
B
D
D
F
E
图1
图2
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC，交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：AE 2＝BE·DE；
（2）求证：△AFE∽△CAE；
（3）若tan∠BEF＝，CE＝2，求AF的长．
A
D
C
B
E
F
题型八 一线三等角模型
2025·黑龙江大庆·真题
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

2025·山东东营·真题
如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，顶点A在边DE上，AB与CD相交于点F，若AE＝2，AD＝4，则△AFC的面积为_________．
A
E
D
F
B
C
如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________．
A
B
C
E
D
F
如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的长为_________．
A
B
C
E
D
F
如图，点P是等边的一边上的任意一点，且，连接，作的垂直平分线交于M、N两点，则的值为 ．
如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为 ．
浙江中考真题
如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 ．
如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为 ．
2025·浙江丽水·统考中考真题
如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
如图，将8个边长为1的小正方形叠放，过其四个角的顶点A、E、F、G作一个矩形ABCD，则矩形ABCD的面积为 .

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为BC上一点，点E为AD上一点，∠BED＝∠CED＝45°，若BD＝3，则CE的长为_________．
A
B
C
D
E
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E是AB的中点，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，EF的延长线交BC于点G，则BG的长为_________．
A
D
B
C
G
E
F
（2025南京）如图，将□ABCD绕点A逆时针旋转到□AB′C′D′ 的位置，使点B′ 落在BC上，B′C′ 与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为_________．
A
D
B
C
B′
D′
E
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝3，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，使点F落在边BC上，且BF＝4CF，则DE·AF的值为_________．
A
B
C
F
D
E
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E在AB边上，点F在CA的延长线上，∠EDF＝45°，DF交AB于G．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若sin∠BDE＝，EF＝5，求AF的长．
A
F
B
C
D
E
徐州中考
如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
（2025上·四川成都·九年级统考期末）如图，点E是正方形 的对角线延长线上一点，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，交于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，点G为的中点，求的长．
（2025上·四川成都·九年级统考期末）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求及的长；
(3)若，求的值.
和是一副三角尺，且，按如图所示的方式恰好放置在矩形内，点E、G分别在边、上，点B、D恰好与矩形的顶点重合，则 ．
在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，∠EDF＝90°，分别过点E，F作AB的垂线，垂足为G，H．
（1）如图1，当AC＝BC时，求证：AG＝DH；
（2）如图2，当AC≠BC时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
C
图1
A
B
D
G
H
E
F
C
E
F
图2
A
B
D
G
H
（1）模型探究；如图1，，，分别为三边，，上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的面积之比．
2025·湖北武汉·统考中考真题
问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
题型九 旋转相似模型（手拉手）
2025·湖南常德·真题
如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

2025烟台
如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，连接BD，CE，并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________．
A
B
C
E
D
F
G
2025天门
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．
A
B
C
E
D
2025河池
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF＝＝2，AE与BF交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_________．
A
D
N
F
B
C
E
M
O
如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝，则AD的长为_________．
A
D
C
B
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，PA＝2，PC＝3，PB＝，求
△ABC的面积．
A
C
B
P
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，点D为△ABC外一点，∠BDC＝∠ACB，若AD＝，CD＝，求BD的长．
D
A
C
B
2025·辽宁营口·真题
如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

（2025上·广东深圳·九年级统考期中）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
（2025上·广东深圳·九年级深圳市高级中学校考期中）已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A．

(1)如图1，当点G在上，F在上，求的值；
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转，如图2，直接写出的值；
(3)若，，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，求的长度．
2025鞍山
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在边AC上，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接CE，点F在线段BD上．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）如图1，若AF∥CE，AF＝5，CE＝12，求的值；
（3）如图2，若AF∥DE，若AF＝3，CE＝，求的值．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
F
E
图1
图2
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC．
（1）求证：△ADM∽△BDC；
（2）用等式表示∠CDE与∠ADE的数量关系，并证明；
（3）若AD＝，BD＝6，求tan∠ADE的值．
M
A
B
C
D
E
如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE，将△ADE绕点A旋转，直线BD与CE相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）连接AF，判断AF与CF的位置关系，并说明理由；
（3）若F为BD的中点，AB＝8，BC＝11，AD＝2eq \r(,5)，直接写出BD的长．
C
B
E
A
D
F
C
B
A
备用图
题型十 作辅助线构造A字和8字型相似
在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
2025·湖北十堰·真题
如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．

2025·浙江·真题
如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
2025·江苏·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A．B．C．D．
2025·湖南常德·真题
如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ．
2025·四川绵阳·真题
如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
2025襄阳
如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF∶FD＝3∶1，AB＋BE＝，则△ABC的周长为_________．
A
B
C
E
D
F
如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ．
如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2025·山东烟台·真题
如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．
如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得BD=2DC，连接AC，如果，则的值是（ ）
A．B．C．D．
（2025·扬州九年级联考期中）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
（2025上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校联考期中）如图，中，点在的延长线上，且，连接，为中线，延长交于点．若，则 ．

（2025·四川成都·真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．

2025·湖北武汉·统考中考真题
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
（2025·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景
（1）如图1，在中，，D是边的中点，延长至点E，使，求证：；
变式迁移
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，点E在边上，，点F是与的交点，且，求的值；
问题拓展
（3）如图3，在中，，若点D在边上，点E在的延长线上，，点F是的延长线与的交点，且，当，时，直接写出的值（用含n，a的式子表示）.

题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）
2025·新疆·统考中考真题
如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ．
2025·浙江丽水·统考中考真题
如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
重庆中考
如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则线段的长是 ．

如图，以的斜边为一边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为 ．
题型十二 十字架模型
2025·辽宁丹东·真题
如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
2024届·深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中
如图，在正方形中，点E是边上一点，其中．线段的垂直平分线分别交于点F，G，H，则的值为 ．
（2025·江苏苏州·统考三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】
(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
2025·山东菏泽·中考真题
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．证明:=；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：
当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得=成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．求的值．

2025·四川达州·统考中考真题
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为__________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为__________；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且．
①求的值；
②连接，若，直接写出的长度．
题型十三 对角互补模型
深圳中考
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=
（2025上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、．
问题发现

（1）如图1，当为的中点，且，时，______；
（2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接，当______时，与相似．
题型十四 双高型
如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，则AC边上的高为 ．
如图．已知锐角，AD、CE分别是BC、AB边上的高，和的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：；
（2）求点B到直线AC的距离．
如图，是边上的高，点E在边上，联接交于点O，．
(1)求证：；
(2)联接，作平分，交于点F，交于点G．求证：．
专题1-2 一文吃透相似三角形12个模型·共14类题型
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151081730" 模型梳理 PAGEREF _Tc151081730 \h 4
\l "_Tc151081731" 题型一 A字模型 PAGEREF _Tc151081731 \h 14
\l "_Tc151081732" 2025·四川成都·真题 PAGEREF _Tc151081732 \h 14
\l "_Tc151081733" 2025宜宾 PAGEREF _Tc151081733 \h 15
\l "_Tc151081734" 2025·山东潍坊·真题 PAGEREF _Tc151081734 \h 15
\l "_Tc151081735" 2025·浙江杭州·真题 PAGEREF _Tc151081735 \h 16
\l "_Tc151081736" 2025·浙江温州·真题 PAGEREF _Tc151081736 \h 17
\l "_Tc151081737" 2025安徽 PAGEREF _Tc151081737 \h 19
\l "_Tc151081738" 2025·广东·真题 PAGEREF _Tc151081738 \h 22
\l "_Tc151081739" 2025·山东泰安·真题 PAGEREF _Tc151081739 \h 23
\l "_Tc151081740" 2025·四川眉山·真题 PAGEREF _Tc151081740 \h 24
\l "_Tc151081741" 2025·江苏淮安·真题 PAGEREF _Tc151081741 \h 25
\l "_Tc151081742" 题型二 “8”字型 PAGEREF _Tc151081742 \h 28
\l "_Tc151081743" 2025·辽宁·真题 PAGEREF _Tc151081743 \h 28
\l "_Tc151081744" 2025·四川乐山·真题 PAGEREF _Tc151081744 \h 29
\l "_Tc151081745" 2025·湖北武汉·真题 PAGEREF _Tc151081745 \h 29
\l "_Tc151081746" 2025·四川泸州·真题 PAGEREF _Tc151081746 \h 31
\l "_Tc151081747" 2025·浙江杭州·真题 PAGEREF _Tc151081747 \h 32
\l "_Tc151081748" 2025·四川眉山·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081748 \h 33
\l "_Tc151081749" 2025深圳 PAGEREF _Tc151081749 \h 35
\l "_Tc151081750" 题型三 三角形内接矩形 PAGEREF _Tc151081750 \h 36
\l "_Tc151081751" 2025·山东东营·真题 PAGEREF _Tc151081751 \h 36
\l "_Tc151081752" 题型四 倒数型（三平行结构） PAGEREF _Tc151081752 \h 40
\l "_Tc151081753" 湖南株洲·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081753 \h 40
\l "_Tc151081754" 2025·四川内江·真题 PAGEREF _Tc151081754 \h 41
\l "_Tc151081755" 2024届·深圳中学九年级期中 PAGEREF _Tc151081755 \h 41
\l "_Tc151081756" 题型五 A字型及8字型相结合 PAGEREF _Tc151081756 \h 42
\l "_Tc151081757" 2025·黑龙江哈尔滨·真题 PAGEREF _Tc151081757 \h 42
\l "_Tc151081758" 2025·安徽·真题 PAGEREF _Tc151081758 \h 44
\l "_Tc151081759" 2025·陕西·真题 PAGEREF _Tc151081759 \h 44
\l "_Tc151081760" 题型六 射影定理 PAGEREF _Tc151081760 \h 46
\l "_Tc151081761" 2025·湖南郴州·真题 PAGEREF _Tc151081761 \h 46
\l "_Tc151081762" 2025湘潭 PAGEREF _Tc151081762 \h 46
\l "_Tc151081763" 题型七 子母模型（公共边公共角） PAGEREF _Tc151081763 \h 50
\l "_Tc151081764" 2025·湖北鄂州·真题 PAGEREF _Tc151081764 \h 50
\l "_Tc151081765" 2025·四川凉山·真题 PAGEREF _Tc151081765 \h 52
\l "_Tc151081766" 题型八 一线三等角模型 PAGEREF _Tc151081766 \h 61
\l "_Tc151081767" 2025·黑龙江大庆·真题 PAGEREF _Tc151081767 \h 61
\l "_Tc151081768" 2025·山东东营·真题 PAGEREF _Tc151081768 \h 61
\l "_Tc151081769" 浙江中考真题 PAGEREF _Tc151081769 \h 65
\l "_Tc151081770" 2025·浙江丽水·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081770 \h 67
\l "_Tc151081771" 徐州中考 PAGEREF _Tc151081771 \h 74
\l "_Tc151081772" 2025·湖北武汉·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081772 \h 83
\l "_Tc151081773" 题型九 旋转相似模型（手拉手） PAGEREF _Tc151081773 \h 86
\l "_Tc151081774" 2025·湖南常德·真题 PAGEREF _Tc151081774 \h 86
\l "_Tc151081775" 2025烟台 PAGEREF _Tc151081775 \h 86
\l "_Tc151081776" 2025天门 PAGEREF _Tc151081776 \h 87
\l "_Tc151081777" 2025河池 PAGEREF _Tc151081777 \h 88
\l "_Tc151081778" 2025·辽宁营口·真题 PAGEREF _Tc151081778 \h 91
\l "_Tc151081779" 2025鞍山 PAGEREF _Tc151081779 \h 97
\l "_Tc151081780" 题型十 作辅助线构造A字和8字型相似 PAGEREF _Tc151081780 \h 102
\l "_Tc151081781" 2025·湖北十堰·真题 PAGEREF _Tc151081781 \h 102
\l "_Tc151081782" 2025·浙江·真题 PAGEREF _Tc151081782 \h 104
\l "_Tc151081783" 2025·江苏·中考真题 PAGEREF _Tc151081783 \h 105
\l "_Tc151081784" 2025·湖南常德·真题 PAGEREF _Tc151081784 \h 106
\l "_Tc151081785" 2025·四川绵阳·真题 PAGEREF _Tc151081785 \h 107
\l "_Tc151081786" 2025襄阳 PAGEREF _Tc151081786 \h 108
\l "_Tc151081787" 2025·山东烟台·真题 PAGEREF _Tc151081787 \h 113
\l "_Tc151081788" 2025·湖北武汉·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081788 \h 119
\l "_Tc151081789" 题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） PAGEREF _Tc151081789 \h 125
\l "_Tc151081790" 2025·新疆·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081790 \h 125
\l "_Tc151081791" 2025·浙江丽水·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081791 \h 127
\l "_Tc151081792" 重庆中考 PAGEREF _Tc151081792 \h 128
\l "_Tc151081793" 题型十二 十字架模型 PAGEREF _Tc151081793 \h 130
\l "_Tc151081794" 2025·辽宁丹东·真题 PAGEREF _Tc151081794 \h 130
\l "_Tc151081795" 2025·山东菏泽·中考真题 PAGEREF _Tc151081795 \h 135
\l "_Tc151081796" 2025·四川达州·统考中考真题 PAGEREF _Tc151081796 \h 140
\l "_Tc151081797" 题型十三 对角互补模型 PAGEREF _Tc151081797 \h 144
\l "_Tc151081798" 深圳中考 PAGEREF _Tc151081798 \h 144
\l "_Tc151081799" 题型十四 双高型 PAGEREF _Tc151081799 \h 148
模型梳理
一、A字模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．
A
B
C
D
E
结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）
反A字型
结论：＝＝．（共线的边之积相等）
构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型
A
B
C
D
E
二、8字模型
已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．
A
B
D
C
O
结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．
构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型
A
D
B
C
O
三、反8字模型（两组相似，四点共圆）
性质一：如左图，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
性质二：如右图，△AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似)
性质三：四点共圆 (圆周角定理)

四、三角形内接矩形型
三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．
若四边形DEFG为矩形，则：
特别地，
(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：
(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为
(3)
证明：把△FGC向左平移至△，则，∴
五、倒数模型（三平行结构）
六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边)²＝共线的边之积）
补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型．
（2）在圆中也会出现射影定理模型．

七、母子相似模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB．
证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB．
母子相似模型也叫共边共角相似模型．
（三）解题技巧
如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．
八、一线三等角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△CAP∽△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．
结论2：△APC∽△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1＝∠2＝∠3＝90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查
九、旋转相似模型(手拉手)
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：△ABD∽△ACE．
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
（三）解题技巧
如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解．
十、十字架模型
【正方形内的十字架结构】垂直相等，相等垂直
【十字结构在矩形中】
如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比
一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上）
【十字结构在直角三角形中】
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可
如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长
如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值
十一、对角互补模型
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。
△FDC∽△GEC
△DOC∽△EFC
十二、双高模型
双高模型：可谓“相似成灾”
共有8组相似！
①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON;
②△BCM∽△OFM (蝴蝶相似必成队）
③△NOF∽△NCB（反A型）
重点题型·归类精练
题型一 A字模型
2025·四川成都·真题
如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ．

【答案】
【详解】解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴
2025宜宾
如图，△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝_________．
A
B
C
E
F
1
2
【答案】
【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEF，
∴＝，∴＝，∴EF＝．
2025·山东潍坊·真题
在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

【答案】
【详解】解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，解得：，经检验符合题意；∴（米）
2025·浙江杭州·真题
如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2；(2)6
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
2025·浙江温州·真题
如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．

(1)求证：，(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．

小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
【答案】路灯的高度为6.3米
【详解】解：且
，，
，
设，则，
又，
，即，
解得：，
经检验是原方程的解，
2025安徽
如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G，连接DF，若DE＝1，DF＝，则MN＝_________．
A
D
E
G
B
C
M
N
F
【答案】
【解析】延长BC与GF交于点H．
A
D
E
G
B
C
H
M
N
F
可证△ABE≌△GEF，∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，
∴DG＝AE，∴CH＝DG＝GF＝＝2，
∴BC＝CD＝GH＝EG＝DE＋DG＝3，
∴BH＝5，FH＝1．
可证△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴DM＝，NC＝，
∴MN＝CD－DM－NC＝．
（2025·深圳·九年级统考期中）如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH，CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2，AD=4，再证△ADF∽△ABC可得，据此得出EF=DF-DE．
【详解】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF//BC，∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵
∴△DAE≌△HAE（AAS），
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE（AAS），
∴CG=CH，
设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，
∵，
∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF//BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴
，
2025·广东·真题
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】15
【详解】解：如图，

由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
2025·山东泰安·真题
如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

【答案】
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，∴
如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】10
【详解】解：如图：
由题意得：、、是直角三角形，四边形DEGC是矩形，,
在和中
，
，
，
，
，
，S阴影=S△ABC-6=16-6=10
2025·四川眉山·真题
如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．

【答案】
【详解】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线，
∴点E是的中点，
∴是的中线，
又∵是的中线，且与交于点F，
∴点F是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∴
2025·江苏淮安·真题
如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵的面积是2，
∴点到的距离为，
在中，点到的距离为，
∴点到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，故答案为：
（2025上·广东深圳·九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯的高，并求影长的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
【答案】(1)见解析；(2)路灯的高为9m，影长为步；(3)9
【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
题型二 “8”字型
2025·辽宁·真题
如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
【答案】3
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，∴
2025·四川乐山·真题
如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

【答案】
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴
2025·湖北武汉·真题
如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

【答案】
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去）
2025上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中
如图，在中，为边上的点，，连接交于点，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴
2025·四川泸州·真题
如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．

【答案】
【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，

由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，当取得最小值时，的值是为
2025·浙江杭州·真题
在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：由题知，，
若，则．
四边形是正方形，
，
又，
，
，
即，
．
（2）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
（3）解：设，
则，．
在中，，
即，解得．
2025·四川眉山·统考中考真题
如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设,则，
可得方程，解得
如图，矩形中，点在上，，与相交于点．与相交于点．
(1)证明：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，与相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）．
2025深圳
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2√5，连接CE，以CE为底作等腰Rt△CDE，CD＝DE，点F是线段AE上一点，连接BD，BF，∠FBD＝45°，则AF的长为_________．
A
B
C
D
E
F
【答案】
【解析】过点D作DG⊥DB，交BF的延长线于点G，连接GE．
A
B
C
D
G
E
F
∵∠FBD＝45°，∴DB＝DG．
∵∠EDC＝90°，∴∠BDC＝∠GDE．
∵CD＝ED，∴△BDC≌△GDE，
∴GE＝BC＝5，∠DBC＝∠DGE．
∵∠ABC＝90°，∠FBD＝45°，
∴∠ABF＋∠DBC＝45°，∠EGF＋∠DGE＝45°，
∴∠ABF＝∠EGF．
∵∠AFB＝∠EFG，∴△ABF∽△EGF，
∴＝＝，∴AF＝＝．
题型三 三角形内接矩形
2025·山东东营·真题
如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【答案】
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，解得，∴
如图，是的高，点E、F在边上，点G在边上，点H在边上，，高，四边形是内接正方形，

(1)与相似吗？为什么？
(2)求内接正方形边长．
【答案】(1)相似，理由见解析;(2)
【详解】（1）解：相似，理由如下：
∵四边形是内接正方形，
∴，
∴；
（2）设与的交点为M，

∵，
∴
∴,解得
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【答案】矩形的长为mm，宽是mm．
【详解】解：∵PQMN是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
设边PN为xmm，则PQ为2xmm，
即
∵AD是高，
∴PN∥AD，
∴△PBN∽△ABD，
∴
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝，2x＝．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长为mm，宽是mm
如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20
【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，
∴(8﹣y)：8＝y：10，
解得：y＝；
（2）设EF＝x，则KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20
题型四 倒数型（三平行结构）
湖南株洲·统考中考真题
如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴，
∴= ,=，
∴+=+==1.
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，∴EF=．
2025·四川内江·真题
如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．3
【答案】C
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
2024届·深圳中学九年级期中
如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．

【答案】
【详解】解：、为边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，是的中位线，
，
∵，则，
，
，
，即，解得：
题型五 A字型及8字型相结合
2025·黑龙江哈尔滨·真题
如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线分别与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G，若BE＝6，EF＝4，则FG的长为_________．
D
A
B
C
E
F
G
【答案】 5
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AEF∽△CEB，△ABE∽△CGE，
∴＝，＝，∴＝，
∴＝，∴EG＝9，∴FG＝5．
2025·安徽·真题
如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，
2025·陕西·真题
如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A．B．7C．D．8
【答案】C
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴
如图，在中，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设DE=x,由得出AD=2x，AE=3x，利用平行四边形的性质知AE∥BC，BC=AD=2x，据此得出，利用相似三角形的性质得即可得出答案．
【详解】解:设DE=x，由知AD=2x,
则AE=3x,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//BC，BC=AD=2x，
∴
∴
题型六 射影定理
2025·湖南郴州·真题
在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴
2025湘潭
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积．
A
B
C
F
D
E
l
解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．
∵∠ADB＝∠CEA＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE＝3，
∴BD＝AE＝AD＋DE＝4，
∴AB＝AC＝＝＝5．
∵∠ABD＝∠FBA，∠ADB＝∠FAB，
∴△ABD∽△FBA，∴＝＝，
∴AF＝，∴CF＝＝，
∴S△BFC ＝S△ABC ＝＝．
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，则＝_________．
A
D
O
B
C
【答案】【解析】过点B作BE⊥AC于点E．
A
D
E
O
B
C
∵∠DAC＝90°，∴∠BEO＝∠DAO．
∵∠BOE＝∠DOA，∴△BOE∽△DOA，
∴＝＝．
∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，∠BAE＝∠CBE＝∠CAB，
∴△AEB∽△BEC∽△ABC，∴＝＝＝，
∴CE＝2BE＝4AE．
设OE＝4a，则OA＝3a，AE＝7a，CE＝28a，OC＝32a，
∴＝＝＝．
如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）AF·GF=2EG，证明见解析；
（3）BE的长为 .
【详解】(1)证明：∵△AEF是由△ADF折叠得到的
∴AD=AE，∠DAG=∠EAG
又∵AG=AG
∴△AGE≌△AGD
（2）AF×GF=2EG 证明如下：
连接DE交GF于点O
∵△AEF是由△ADF折叠得到的
∠DAG=∠EAG，DF=EF
∵△AGE≌△AGD
∴GD=GE，∠ AGD=∠AGE
∴∠ FGD=∠FGE
∵EG∥CD
∴∠DFG=∠FGE
∴∠ FGD=∠DFG
∴GD=DF
∴GD=EG=EF=DF
∴四边形DGEF是菱形
AF⊥DE，OF=GF
∴∠ADF=∠DOF =90°
又∵∠DFO=∠DFA
∴△DFO∽△AFD
∴
∴OF×AF=DF
∵OF=GF, DF=EG
∴GF×AF= EG
即：AF×GF=2EG
（3）过点G作GH⊥CD于H
则四边形CHGE是矩形，
∴CE=GH
设GF=x，则AF=6+x
∵AF×GF=2EG EG=2
∴x(6+x)=40
解得：x=4
∴GF=4,
∴ AF=6+4=10
在Rt△AEF中
AE=
∴BC=AD=AE=4
∵GH∥AD
∴△FGH∽△FAD
∴
∴
∴CE=GH=
∴BE=BC-CE=4-=
题型七 子母模型（公共边公共角）
2025·湖北鄂州·真题
如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
【答案】
【详解】
法一图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
法二：【解析】过点A作AH⊥BC于点H．
A
B
C
H
D
E
P
则BH＝＝3，AH＝．
∵BD＝2，∴DH＝1，∴AD＝＝．
∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠PBD．
∵∠ADB＝∠BDP，∴△ABD∽△BPD，
∴＝＝，∴＝＝，
∴BP＝，PD＝，∴AP＝，
∴△ABP的周长＝＝．
2025·四川凉山·真题
如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解；(2)
【详解】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，解得：
如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明，可得,设，则,再证明，可得，可得，从而可得结论．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴,而，，
∴,
设，则,
同理可得：，
∴,
∴,
∴,
∴,即，
∴.
（2025上·广东深圳·九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【详解】解：（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴，
即AE2=AO•AP，
∵AO=AC，
∴AE2=AC•AP，
∴2AE2=AC•AP
如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9，BD＝7，AC＝12．
（1）求证：AC 2＝AD·AB；（2）若AE＝8，求EF的长．
A
F
B
C
D
E
【详解】（1）证明：∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝16，AC 2＝144，
∴AD·AB＝9×16＝144，∴AC 2＝AD·AB．
（2）解：∵AC 2＝AD·AB，∴＝．
∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACE＝∠ABF．
∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAF，
∴△ACE∽△ABF，∴＝，
∴＝，AF＝，EF＝．
如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A' 处，连接CA' 并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长．
A
D
F
E
A′
B
C
【详解】解：过点A' 作A'G∥DE，交CD于点G，延长EA' 交CD于点H．
A
D
F
E
A′
B
C
G
H
则＝＝，∴DG＝＝．
由题意，∠HDE＝∠AED＝∠HED，
∴DH＝EH，∴DG＝A'E＝AE＝．
设∠ADF＝∠A'DF＝x，则∠A'DC＝60°－2x，
∠DA'C＝∠DCA'＝60°＋x，∴∠DFA'＝60°，
∴∠A'FE＝120°＝∠DA'E．
∵∠A'EF＝∠DEA'，∴△A'EF∽△DEA'，
∴＝，∴＝，∴EF＝．
（2025上·四川成都·九年级统考期末）在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
(1)求证：：
(2)当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)①；②
【详解】（1）证明：，，
又，
且，
，
，
即：；
（2）解：①过点做，
设，则，
又为中点且，
．
，
，
，，
又，
，
解得：；
②过点做，垂足为点，
为等腰直角三角形，
且，
，
，
又，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长；
（3）如图2，若BF＝，BC＝4，求EF的长．
A
C
B
E
F
A
C
B
D
D
F
E
图1
图2
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠E，∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB．
（2）如图1，过点C作CG∥AF交EF于点G．
A
C
B
E
F
G
D
图1
A
C
B
D
F
E
H
图2
∵AD是中线，∴BD＝DC，∴BF＝FG．
∵AC＝CE，∴FG＝GE．
∵△ABC∽△AEB，∴＝＝，
∴AB 2＝AC·AE＝AC 2，∴AB＝，
∴＝，∴BE＝＝，
∴EF＝＝．
（3）如图2，过点C作CH∥EF交AF于点H．
则∠BDF＝∠CDH，∠BFD＝∠CHD．
∵BD＝CD，∴△BDF≌△CDH，∴CH＝BF＝．
设AC＝a，AE＝k 2a，则AB 2＝AC·AE＝k 2a 2，AB＝ka．
∵CH∥EF，∴△ACH∽△AEF，∴＝，
∴＝，∴EF＝．
∵＝，∴＝，
解得k＝（舍去）或k＝，
∴EF＝＝．
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC，交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：AE 2＝BE·DE；
（2）求证：△AFE∽△CAE；
（3）若tan∠BEF＝，CE＝2，求AF的长．
A
D
C
B
E
F
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABE＝∠ACE＝45°．
A
G
D
C
B
E
F
图1
A
D
H
C
B
E
F
图2
∵∠DAE＝45°，∴∠ABE＝∠DAE．
∵∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE，
∴＝，∴AE 2＝BE·DE．
（2）如图1，过点A作AG⊥AF，交BC的延长线于点G．
则∠BAF＝∠CAG，∠ABF＝∠ACG＝135°．
∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACG．
∴AF＝AG，∠BFD＝∠G．
∵∠DAE＝45°，∴∠GAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，
∴∠AFE＝∠G＝45°－∠CAG＝∠CAE．
∵∠FAE＝∠ACE＝45°，∴△AFE∽△CAE．
（3）∵△ABF≌△ACG，∴BF＝CG．
由tan∠BEF＝，可设BF＝3a，则BE＝4a，
CG＝3a，EG＝EF＝5a，EC＝2a＝2，
∴a＝1，∴BE＝4，BF＝3，EF＝5．
∵△AFE∽△CAE，∴＝＝，
∴AE 2＝CE·EF＝2×5＝10，∴AE＝．
如图2，过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝CH．
设AH＝CH＝x，则EH＝x－2．
在Rt△AHE中，( x－2 )2＋x 2＝10，
解得x＝－1（舍去）或x＝3，∴AC＝，
∴＝，∴AF＝．
题型八 一线三等角模型
2025·黑龙江大庆·真题
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
2025·山东东营·真题
如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，顶点A在边DE上，AB与CD相交于点F，若AE＝2，AD＝4，则△AFC的面积为_________．
A
E
D
F
B
C
【答案】
【解析】∵AE＝2，AD＝4，∴DE＝6，∴CD＝CE＝．
由题意，△ADF∽△CEA，∴＝，
∴＝，∴DF＝，
∴CF＝＝，
∴S△AFC ＝S△ADC ＝S△CDE ＝＝．
如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________．
A
B
C
E
D
F
【答案】4.5
【解析】由题意，△BDE∽△CEF，∴＝，
∴＝，∴BE 2－6BE＋2CF＝0．
∵在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝6 2－4×2CF＝0，∴CF＝4.5．
如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的长为_________．
A
B
C
E
D
F
【答案】5
【解析】由题意，可知等边△ABC的边长为4＋8＝12．
设BD＝DF＝x，BE＝EF＝y，则AD＝12－x，CE＝12－y．
由∠A＝∠DFE＝∠C＝60°，可得△ADF∽△CFE，
∴＝＝，∴＝＝，
∴x＝，∴＝，
解得y＝7，∴CE＝12－y＝5．
如图，点P是等边的一边上的任意一点，且，连接，作的垂直平分线交于M、N两点，则的值为 ．
【答案】
【分析】连接证明，再证明，即可得出绪论
【详解】连接，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵是的垂直平分线，
∴
又，
∴
∴
∴
又
∴
又
∴
∵
∴设则
如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为 ．
【答案】20
【详解】如图，设，则，，
设，，，，
由，
，
，
故答案为：20．
浙江中考真题
如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 ．
【答案】
【详解】解：根据等角的余角相等，得
∠BAE=∠CEF=∠DFG．
又∠B=∠C=∠D=90°，AE=EF=4，FG=2，
∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG．
∴AB=CE，BE=CF，DF：CE=FG：EF=1：2．

设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理，得
x2+4x2=16，
x=．
则矩形ABCD的周长为：
如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为 ．
【答案】9
【详解】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则BH=a-7，BG=a-3，
∴∠ACB=60°，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH=∠ACG=60°，
∴∠BGH=∠CAG，
∵∠B=∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2-10a+9=0，
∴a=9或1（舍弃），
∴AB=9
2025·浙江丽水·统考中考真题
如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【简证】如图，出现一线两等角可构造一线三等角，作AF⊥AD交CD延长线于F，相似比为，故EC为
如图，将8个边长为1的小正方形叠放，过其四个角的顶点A、E、F、G作一个矩形ABCD，则矩形ABCD的面积为 .

【答案】
【详解】如图，

∵四边形ABCD是矩形，AE、EF、FG是8个小正方形组成的图形的边，
∴∠C=∠D =∠EFG=，
∴∠3+∠4=∠5+∠6=∠4+∠5=，
∴∠3=∠5，
∴，
∴，
设，，则，，
∵四边形ABCD是矩形，AE、EF、FG是正方形的边，
∴∠B=∠C=∠AEF =，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠2+∠3=，
∴∠1=∠3，
，∠B=∠C=，
∴，
∴，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，∠C=，，，，
∴，
∴，
∴，
矩形ABCD的面积为：
．故答案为：．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为BC上一点，点E为AD上一点，∠BED＝∠CED＝45°，若BD＝3，则CE的长为_________．
A
B
C
D
E
【答案】
【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝．
∵∠BED＝∠CED＝45°，∴△ABE∽△CAE，
∴＝＝＝，∴CE＝，AE＝，
∴CE＝2BE，∴BC＝．
过点D作DF∥BE，交CE于点F．
A
B
C
D
E
F
则∠EDF＝∠BED＝∠CED，∴DF＝EF，
∴＝＝＝＝，∴CD＝2BD＝6，
∴BC＝9，∴＝9，∴BE＝，∴CE＝．
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E是AB的中点，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，EF的延长线交BC于点G，则BG的长为_________．
A
D
B
C
G
E
F
【答案】3
【解析】过点F作MN∥BC，交AB于点M，交CD于点N．
A
D
B
C
G
E
F
M
N
则∠EMF＝∠DFE＝∠FND＝90°，
∴△EMF∽△FND，∴＝＝＝＝＝．
设MF＝3a，则ND＝9a，FN＝12－3a，EM＝4－a，
CN＝BM＝a，CD＝10a＝8，
∴a＝，MF＝3a＝，EM＝4－a＝．
∵MN∥BC，∴△EMF∽△EBG，
∴＝＝，∴BG＝＝3．
（2025南京）如图，将□ABCD绕点A逆时针旋转到□AB′C′D′ 的位置，使点B′ 落在BC上，B′C′ 与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为_________．
A
D
B
C
B′
D′
E
【答案】
【解析】延长B′C到点F，使B′F＝B′E，连接EF．
A
D
B
F
C
B′
D′
E
则∠B′EF＝∠F．
由旋转可知，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠EB′F，∴∠B＝∠F，
∵AB∥CD，∴∠ECF＝∠B＝∠F，
∴△ABB′∽△B′EF∽△ECF．
∵AB＝3，BB'＝1，∴B'C＝3，AB＝3BB'，
∴BE＝BF＝3EF，CE＝EF＝3CF．
设CF＝x，则CE＝EF＝3x，BF＝9x＝3＋x，
∴x＝，∴CE＝3x＝．
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝3，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，使点F落在边BC上，且BF＝4CF，则DE·AF的值为_________．
A
B
C
F
D
E
【答案】
【解析】过点D作DH⊥AC于点H．
A
B
C
F
D
E
H
由题意，AD＝DF，AE＝EF．
由BF＝4CF，可设CF＝x，则BF＝4x，
∴AB＝AC＝BC＝5x，△BDF的周长＝9x，△CFE的周长＝6x．
由一线三等角相似模型可知△BDF∽△CFE，
∴＝＝＝＝，
∴＝，∴CF＝2，∴x＝2，
∴BF＝8，AB＝AC＝10，AD＝7，
∴AH＝，DH＝，＝，
∴CE＝，∴AE＝．
∵S四边形ADFE ＝·AF＝2S△ADE ＝AE·DH，
∴DE·AF＝2AE·DH＝＝．
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E在AB边上，点F在CA的延长线上，∠EDF＝45°，DF交AB于G．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若sin∠BDE＝，EF＝5，求AF的长．
A
F
B
C
D
E
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BED＋∠BDE＝135°．
∵∠EDF＝45°，∴∠BDE＋∠CDF＝135°，
∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD．
（2）∵△BDE∽△CFD，∴＝＝．
∵∠EDF＝∠B＝45°，∴△DFE∽△BDE，
∴∠DFE＝∠BDE，∴sin∠DFE＝sin∠BDE＝．
过点E作EH⊥DF于点H．
A
F
B
C
D
E
H
∵EF＝5，∴DH＝EH＝，DE＝，FH＝，DF＝．
∵△BDE∽△CFD，△DFE∽△BDE，
∴△CFD∽△DFE，∴＝＝，
∴＝＝，∴CF＝9，CD＝，
∴AC＝＝6，∴AF＝3．
徐州中考
如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC＋∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°，
∴∠AEC＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE•CF，
∴（AB）2＝CE•CF，
∴CE•CF＝2AB2
（2025上·四川成都·九年级统考期末）如图，点E是正方形 的对角线延长线上一点，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，交于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，点G为的中点，求的长．
【答案】(1)检查详解；(2)
【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵，
，
∴，
∵绕点B顺时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵正方形的边长为4，点G为的中点，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴
（2025上·四川成都·九年级统考期末）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求及的长；
(3)若，求的值.
【答案】(1)等边三角形，理由见解析；(2)，；(3)的值为或
【详解】（1）在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形．
（2）过B点作，垂足为P，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转60°，得到线段，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（3）设，，
如图，过E点作交于H，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴的值为或．
和是一副三角尺，且，按如图所示的方式恰好放置在矩形内，点E、G分别在边、上，点B、D恰好与矩形的顶点重合，则 ．
【答案】
【详解】解：过点作，交分别于，
∵四边形为矩形，
∴四边形和四边形均为矩形，
∴，，；
∵和是一副三角尺，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即： ，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∴
在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，∠EDF＝90°，分别过点E，F作AB的垂线，垂足为G，H．
（1）如图1，当AC＝BC时，求证：AG＝DH；
（2）如图2，当AC≠BC时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
C
图1
A
B
D
G
H
E
F
C
E
F
图2
A
B
D
G
H
【详解】（1）证明：如图1，连接CD．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴∠DCE＝∠B＝45°，CD⊥AB，CD＝BD．
∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF，∴DE＝DF．
∵FH⊥AB，∴BH＝FH．
∵∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠DFH＝90°－∠FDH，
∴△DEG≌△FDH，∴DG＝FH，∴DG＝BH．
∵AD＝BD，∴AG＝DH．
（2）仍然成立，理由如下：
如图2，过点D作DM⊥AB，交BC于点M．
C
图1
A
B
D
G
H
E
F
C
M
E
F
图2
A
B
D
G
H
则∠ADE＝∠MDF，∠A＝∠DMF＝90°－∠B，
∴△ADE∽△MDF，∴＝．
∵AD＝BD，∴＝．
∵∠EDG＝∠DFH，∠EGD＝∠DHF＝90°，
∴△DEG∽△FDH，∴＝，
∴＝．
∵∠B＝∠B，∠MDB＝∠FHB＝90°，
∴△MDB∽△FHB，∴＝．
∴＝，∴DG＝BH，∴AG＝DH．
（1）模型探究；如图1，，，分别为三边，，上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的面积之比．
【答案】（1），理由见解析；（2）①；②
【详解】（1）解：，理由如下：
∵如图1，，
，
∴，
∴，
（2）①如图2，设，
∵为等边三角形，其边长为8，，
∴，
则
∵是由沿翻折得到，
∴
∵
∴，
∴，
∴，即，
解得，即
②如图3，设，
∵为等边三角形，其边长为8，，
∴，
∴，
又∵是由沿翻折得到，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，即，
∴，即，∴
2025·湖北武汉·统考中考真题
问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案为：．
（2）解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．

（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．

题型九 旋转相似模型（手拉手）
2025·湖南常德·真题
如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

【答案】
【详解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
2025烟台
如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，连接BD，CE，并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________．
A
B
C
E
D
F
G
【答案】
【解析】∵∠ABC＝∠ADE＝90°，＝，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，∴∠ABF＝∠ACG．
∵∠BGF＝∠CGA，∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝∠sinBAC＝．
由＝，可设AB＝3m，则BC＝4m，AC＝5m，
∴sin∠BFC＝＝＝．
2025天门
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．
A
B
C
E
D
【答案】5或
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠EDC＝90°，DE＝DC，
∴BC＝，EC＝，∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA，∴△BCE∽△ACD，
∴∠BEC＝∠ADC，∠EBC＝∠DAC．
设AD交BC于点F．
当点D在△ABC外部时，如图1．
∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠BEC，∴∠ACE＝∠ADC，
∴∠CAF＝∠DCE＝45°，∴∠AFC＝90°，
A
B
C
E
F
图1
A
B
C
E
D
F
图2
D
∴AF＝CF＝＝3．
∵AD＝1，∴DF＝4，
∴DC＝＝＝5．
当点D在△ABC内部时，如图2．
∵BE∥AC，∴∠EBC＝∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠EBC＝45°，∴∠AFC＝90°，
∴AF＝CF＝3，∴DF＝2，
∴DC＝＝＝．
综上所述，DC的长为5或．
2025河池
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF＝＝2，AE与BF交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_________．
A
D
N
F
B
C
E
M
O
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF．
∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠OBM＋∠CBF＝90°，∴∠OBM＋∠BAE＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠OAN＋∠BAE＝90°，∴∠OBM＝∠OAN．
∵OM⊥ON，∴∠NOM＝90°，
∴∠BOM＝∠AON，∴△OBM∽△OAN，
∴＝＝＝．
设CF＝4a，则BC＝10a，AN＝5a，BM＝2a，AM＝8a，
∴tan∠AMN＝＝＝
如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝，则AD的长为_________．
A
D
C
B
【答案】2
【解析】过点A作AE⊥AD，过点D作DE⊥CD交AE于点E．
A
E
D
C
B
∵∠ADC＝60°，∴∠ADE＝30°．
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，
∴△ABC∽△ADE，∴＝．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，
∴CE＝＝，∴DE＝＝，
∴AD＝＝2．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，PA＝2，PC＝3，PB＝，求
△ABC的面积．
A
C
B
P
【答案】
【解析】将△ACP绕点A顺时针旋转60°并扩大一倍到△ABD，连接PD，
过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E．
则BD＝2PC＝6，∠DAP＝∠BAC＝60°，△ABD∽△ACP，
E
A
C
B
第2题
D
P
∴＝，∴△ADP∽△ABC，
∴∠APD＝∠ACB＝90°，∴PD＝＝，
∴BD 2＋PD 2＝6 2＋()2＝48＝()2＝PB 2，
∴∠BDP＝90°，∴四边形APDE是矩形，
∴DE＝PA＝2，AE＝PD＝，
∴BE＝8，∴AB 2＝AE 2＋BE 2＝()2＋8 2＝76，
∴S△ABC ＝＝＝AB 2＝
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，点D为△ABC外一点，∠BDC＝∠ACB，若AD＝，CD＝，求BD的长．
D
A
C
B
【答案】10或14
【解析】过点B作BE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BD交BE的延长线于点F．
∵∠BDC＝∠ACB，∠BED＝∠BAC＝90°，
∴∠DBF＝∠ABC，∴∠DBA＝∠FBC．
D
A
E
C
B
第3题
F
∵∠BDF＝∠BAC＝90°，∴△DBF∽△ABC，
∴＝，∴△DBA∽△FBC，∴＝．
∵AB＝2AC，∴BC＝，
∴＝，∴CF＝．
∵∠EDF＝90°－∠BDC＝90°－∠ACB＝∠ABC，
∠DEF＝∠BAC＝90°，∴△EDF∽△ABC，
∴＝＝，∴DE＝2EF．
在Rt△CEF中，∴EF 2＋(－EF )2＝()2，
解得EF＝或EF＝，∴DE＝或EF＝，
∴BD＝＝10或14
2025·辽宁营口·真题
如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

【答案】
【详解】解：连接，

∵将绕着点C按顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，则，
取的中点H，连接，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴
（2025上·广东深圳·九年级统考期中）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴
（2025上·广东深圳·九年级深圳市高级中学校考期中）已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A．

(1)如图1，当点G在上，F在上，求的值；
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转，如图2，直接写出的值；
(3)若，，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，求的长度．
【答案】(1)；(2)；(3)当C，G，E三点共线时，的长度为或．
【详解】（1）解：∵正方形与正方形有公共点A，点在上，在上，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵正方形绕点逆时针方向旋转，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）解：①如图，

∵，，
∴，，，
∵三点共线，
∴在中，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴；
②如图：

由（2）知，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵C，G，E三点共线，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，当C，G，E三点共线时，的长度为或．
2025鞍山
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在边AC上，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接CE，点F在线段BD上．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）如图1，若AF∥CE，AF＝5，CE＝12，求的值；
（3）如图2，若AF∥DE，若AF＝3，CE＝，求的值．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
F
E
图1
图2
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝30°，BC＝，
∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE．
（2）如图1，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于点G．
A
B
C
D
E
G
F
A
B
C
D
F
H
E
图1
图2
∵△ABD∽△CBE，∴＝＝，
∴AD＝＝．
∵∠BAC＝120°，∴∠DAG＝60°，
∴AG＝＝，DG＝6，
∵△ABD∽△CBE，∴∠BCE＝∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝150°．
∵AF∥CE，∴∠FAD＝30°，∴∠BAF＝90°＝∠BGD．
∵∠ABF＝∠GBD，∴△ABF∽△GBD，
∴＝＝，∴AB＝5AG＝，
∴AC＝，∴DC＝，
∴＝＝．
（3）如图2，过点A作AH⊥BD于点H．
∵CE＝，∴AD＝＝．
∵∠ACB＝∠DEB＝30°，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABD．
∵AF∥DE，∴∠AFD＝∠BDE＝∠BAD＝120°，
∴∠AFH＝60°，∴FH＝＝，AH＝，
∴DH＝＝，∴DF＝1．
∵∠ADF＝∠BDA，∴△FAD∽△ABD，
∴＝＝，∴＝，∴＝．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC．
（1）求证：△ADM∽△BDC；
（2）用等式表示∠CDE与∠ADE的数量关系，并证明；
（3）若AD＝，BD＝6，求tan∠ADE的值．
M
A
B
C
D
E
【详解】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠ADE＝∠ABD＋∠DAM，
∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DAM＝∠DBC．
∵∠ADM＝∠BDC，∴△ADM∽△BDC．
（2）∠CDE＝2∠ADE．
证明：如图1，连接CM．
M
A
图1
B
C
D
E
M
A
图2
B
C
D
E
N
∵∠ACB＝90°，点M为AB的中点，
∴BM＝CM，∴∠ABC＝∠MCB，
∴∠AMC＝2∠ABC＝2∠ADE．
∵△ADM∽△BDC，∴＝．
∵∠ADM＝∠BDC，∴∠ADB＝∠MDC，
∴△ADB∽△MDC，∴∠ABD＝∠MCD，
∴∠BMC＝∠BDC，∴∠AMC＝∠CDE，
∴∠CDE＝2∠ADE．
（3）如图2，取BD中点N，连接CN．
∵△ADB∽△MDC，∴＝＝2，
∴CD＝＝BN＝DN＝3，∴∠DNC＝∠DCN，
∴∠CDE＝2∠DNC．
∵∠CDE＝2∠ADE，∴∠DNC＝∠ADE，
∴∠BNC＝∠ADB．
∵∠DAB＝∠NBC，∴△ADB∽△BNC，
∴＝＝．
设AB＝，则BC＝3a，AC＝＝2a，
∴tan∠ADE＝tan∠ABC＝＝＝．
如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE，将△ADE绕点A旋转，直线BD与CE相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）连接AF，判断AF与CF的位置关系，并说明理由；
（3）若F为BD的中点，AB＝8，BC＝11，AD＝2eq \r(,5)，直接写出BD的长．
C
B
E
A
D
F
C
B
A
备用图
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，
∴＝，∴△ABD∽△ACE．
（2）如图1，过点C作CM⊥DF于点M．
C
B
E
M
A
D
F
∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC．
∵∠AEC＋∠AEF＝180°，∴∠ADB＋∠AEF＝180°，
∴∠DAE＋∠DFE＝180°．
∵∠MFC＋∠DFE＝180°，∴∠DAE＝∠MFC，
∴∠BAC＝∠MFC，∴△ABC∽△FMC，
∴∠ACB＝∠FCM，＝，
∴∠ACF＝∠BCM，∴△AFC∽△BMC，
∴∠AFC＝∠M＝90°．
（3）BD＝或．
提示：如图2、图3，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，
A
B
C
E
D
F
H
G
C
H
D
A
G
F
B
E
图2
图3
连接BG，CG，DG，延长CB交DG于点H．
则四边形ABGD是平行四边形，
∴DG∥AB，BG＝AD＝，DG＝AB＝8，∴BH⊥DG．
∵AF⊥CF，∴CG 2＝AB 2＋BC 2＝8 2＋11 2＝185．
∵GH 2＝BG 2－BH 2＝CG 2－CH 2，
∴()2－BH 2＝185－( BH＋11 )2，
解得BH＝2，∴GH＝4，∴DH＝4或DH＝12，
∴BD＝BG＝或BD＝＝．
题型十 作辅助线构造A字和8字型相似
在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
【答案】见解析
【详解】证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
2025·湖北十堰·真题
如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．

【答案】6
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：

∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
设，则有，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，即，
∴，∴
2025·浙江·真题
如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
【答案】B
【详解】解：如图，连接，

点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18
2025·江苏·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则

∴
∴
∵,
∴
∴
解得：
∵点在上，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点
∴
2025·湖南常德·真题
如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ．
【答案】12
【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出,
2025·四川绵阳·真题
如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【答案】
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
解得：，∴，∴
2025襄阳
如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF∶FD＝3∶1，AB＋BE＝，则△ABC的周长为_________．
A
B
C
E
D
F
【答案】
【解析】过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，过点D作DP∥AE，交BC于点P．
A
B
C
E
P
D
H
G
F
∵AE是角平分线，∴FG＝FH，
∴＝＝＝3，∴AD＝．
∵D是AC的中点，DP∥AE，∴EP＝PC，
＝＝3，∴BE＝3EP，
∴AC＝，BC＝，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝＝＝．
如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，经检验符合题意
如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：过点作，交延长线于点，如下图：
由题意可得：，，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴
如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】解：延长AB、DE交于点H，如图所示：
在平行四边形中，，，
，
点为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
设，，
，，
将沿着直线翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
2025·山东烟台·真题
如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵等腰和等腰，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：取的中点H，连接，

∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（负值已舍），
经检验是所列方程的解，且符合题意，
∴
如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得BD=2DC，连接AC，如果，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵，即，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴，
∴CE＝，DE＝，
∴AE＝，∴tan∠CAD＝．
（2025·扬州九年级联考期中）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：作交于，如图，
，
，，
，
，
，
，，
,
，
，
（2025上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校联考期中）如图，中，点在的延长线上，且，连接，为中线，延长交于点．若，则 ．

【答案】
【详解】如图，作交于点，交于点，

则，，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴
（2025·四川成都·真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．

【答案】
【详解】解：如图所示，过点作于，

∵平分交于点，
∴,
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴,
又∵
∴
∴
∴
∵，，则，
∴
∴，，
∵
设，，则，则，
∵
∴
在中，
在中，
∴
即
解得：
∴，
则
∴
2025·湖北武汉·统考中考真题
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1）；（2）见解析(2)[问题拓展]
【详解】（1）[问题探究]：（1）如图，
中，，是的中点，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取的中点，连接．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）[问题拓展]如图，取的中点，连接．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2025·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景
（1）如图1，在中，，D是边的中点，延长至点E，使，求证：；
变式迁移
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，点E在边上，，点F是与的交点，且，求的值；
问题拓展
（3）如图3，在中，，若点D在边上，点E在的延长线上，，点F是的延长线与的交点，且，当，时，直接写出的值（用含n，a的式子表示）.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）证明：如图1，

作于，作于，
，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，，
，，，
，
，
，
；
（2）如图2，

作，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，

作，交的延长线于，交的延长线于，
由（2）得：，
，
，
，
，
，
，
，
作于，
，
，
，
，
，．
题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）
2025·新疆·统考中考真题
如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ．
【答案】
【详解】连接PQ，
∵绕点D顺时针旋转与完全重合，
∴DF=DE，∠EDF=90°，，
∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAQ=∠BAQ=45°，
∴∠DFQ=∠DAQ=45°，
∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角，
即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆，也可以用两次相似），
∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，
∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°，
∴FQ=DQ=EQ，
∵A、B、C、D是正方形顶点，
∴AC、BD互相垂直平分，
∵点Q在对角线AC上，
∴BQ=DQ，
∴BQ=DQ=FQ=EQ，
∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE，
∴∠AQF=∠CDE，
∵∠FAQ=∠PED=45°，
∴，
∴，
∴，
∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，
∴，
∴，
∴
2025·浙江丽水·统考中考真题
如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
点四点共圆，在以为直径的圆上，
如图，连接，

由圆周角定理得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，
重庆中考
如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则线段的长是 ．

【答案】
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵将沿翻折，得到，
∴，
∴，，
∴，
∴
如图，以的斜边为一边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，以为半径为圆心作，过点作，
中，，，
四边形是正方形
，
，
四点共圆，
是等腰直角三角形
又
题型十二 十字架模型
2025·辽宁丹东·真题
如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
2024届·深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中
如图，在正方形中，点E是边上一点，其中．线段的垂直平分线分别交于点F，G，H，则的值为 ．
【答案】2
【12345模型秒杀】（和角公式，详情见本专辑“12345模型”）
设AE＝3t，则FB＝FE＝5t，故HC＝2t
【常规法详解】解：过H点作于M点，交于N，如图，设，
∵四边形为正方形，
∴，，
在中，，
∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，
∴，∴
（2025·江苏苏州·统考三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】
(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，
由（1）中结论可得：，
∵，
∴设，，
∵点为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴，则，，
解得：，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；

（3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
设，
则，，
∴，整理得：，
∴，
由（1）中结论可得：．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．

2025·山东菏泽·中考真题
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．证明:=；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：
当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得=成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．求的值．

【答案】（1）见解析；（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立．证明见解析；（3）．
理由见解析.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴，即=.
（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴，
即当∠B+∠EGC=180°时，成立．
（3）解：．
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，
设CN=x，
∵AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠CBM=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴
∴
在Rt△CMB中，，BM=AM﹣AB=x﹣3，由勾股定理得：，
∴，
解得 x=0（舍去），x=
∴CN=，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴
2025·四川达州·统考中考真题
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为__________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为__________；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且．
①求的值；
②连接，若，直接写出的长度．
【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析；（4）①；②．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
（3）如图，过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
，
，
，
，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）①过作于点，连接交于点，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，在中，，
设，则，
∴，即，
∴或（舍去），
∴，，
由翻折的性质得：，
，
∴，
解得，
∴；
②由（4）①已证：，，
，
，
，解得，
由翻折的性质得：，
在中，，
，
在中，．
题型十三 对角互补模型
深圳中考
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=
【答案】6
【详解】解：如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝6∶8∶10=3∶4∶5，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝6，
∴x＝，
∴AP＝5x＝6．
（2025上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、．
问题发现

（1）如图1，当为的中点，且，时，______；
（2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接，当______时，与相似．
【答案】（1）2；（2）2；（3）；（4）或
【详解】解：（1），，，
，，
点是的中点，
，是的中位线，
，，
则，故答案为：2；
（2）如图2，过点作于点，作于点，

则，
，即，
，
，即，
，
，
，
由（1）知，，，故答案为：2；
（3）如图3，过点作于点，于点，

，，，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
同（2）的方法知，知，；
（4）如图3，连接，

在中，由勾股定理得：，
，
与相似有如下两种情况：
（Ⅰ），
则，
由（3）可知，，
整理，得：，
即，，
（Ⅱ），
则，由（3）可知，，
整理，得：，
；
综上，当或时，与相似
题型十四 双高型
如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，则AC边上的高为 ．
【答案】6
【详解】解：∵AD，CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC，
∴Rt△ABD∽Rt△CBE，
∴，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBE，
∵相似三角形面积比为相似比的平方，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，
∴= 9，
∴=3 ，
∴AC=3DE=3×2=6，
∴AC边上的高是
如图．已知锐角，AD、CE分别是BC、AB边上的高，和的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：；
（2）求点B到直线AC的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴，
∵，
，
，即，
在和中，，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∵和的面积分别为27和3，，
∴，
解得或（不符题意，舍去），
设点B到直线AC的距离为x，
，即，
解得，
即点B到直线AC的距离．
如图，是边上的高，点E在边上，联接交于点O，．
(1)求证：；
(2)联接，作平分，交于点F，交于点G．求证：．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
所以，
因为是边上的高，
所以，
所以即，
所以，
所以，
因为，
所以．
（2）证明：根据（1）得，
所以，
所以；
因为，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
倒数型相似
AB∥EF∥CD
示意图
结论
A
D
B
C
已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．
结论：△ACD∽△ABC，
＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边)²＝共线的边之积
1
2
3
A
B
D
P
C
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．
结论1：△CAP∽△PBD．
D
2
A
1
3
C
B
P
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．
结论2：△APC∽△BDP．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A旋转．
结论：△ABD∽△ACE．
倒数型相似
AB∥EF∥CD
示意图
结论
A
D
B
C
已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．
结论：△ACD∽△ABC，
＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边)²＝共线的边之积
1
2
3
A
B
D
P
C
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．
结论1：△CAP∽△PBD．
D
2
A
1
3
C
B
P
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．
结论2：△APC∽△BDP．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A旋转．
结论：△ABD∽△ACE．