2024-2025学年河北省廊坊市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市高二（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有
A．9种B．6种C．12种D．24种
2．已知数列的前项和为，且，则
A．1B．2C．D．
3．在的展开式中，的系数为
A．250B．500C．D．
4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则
A．1B．2C．4D．8
5．曲线在点，（1）处的切线方程为
A．B．C．D．
6．已知直线与函数，的图象分别交于点，，当取得最小值时，
A．0B．1C．D．
7．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则
A．1B．2C．D．
8．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．记为等差数列的前项和．已知，，则
A．B．
C．D．
（多选）10．已知函数，下列结论正确的是
A．若为奇函数，则
B．的图象关于直线对称
C．若，则的单调递增区间为，
D．当时，在，上单调递增
（多选）11．已知，，，表示，，，中最小的数，，，，表示，，，中最大的数．若数列，都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，，，，，，，，，，，，，，，则
A．的值可能为4，5，6，7B．的值可能为3，4，5，6
C．的概率为D．的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ．
13．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种．
14．将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ，的前202项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）若，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求的取值范围．
16．为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
（1）从参与该实验的人中任选1人，表示事件“选到的人服用中药预防方”， 表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求，的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为，求的期望．
17．设等比数列的公比为，前项和为．令，数列的前项和为．
（1）若，，，求的通项公式；
（2）若为等比数列，且，求．
18．（17分）已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，，求的取值范围．
19．（17分）某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动类终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有2个白球和3个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加1个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有
A．9种B．6种C．12种D．24种
【答案】
解：现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．
故选：．
2．已知数列的前项和为，且，则
A．1B．2C．D．
【答案】
解：数列的前项和为，且，
可得时，，解得，
当时，，
解得．
故选：．
3．在的展开式中，的系数为
A．250B．500C．D．
【答案】
解：在的展开式中，的系数为．
故选：．
4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则
A．1B．2C．4D．8
【答案】
解：各项均为正数的等比数列的前4项和为30，
即①，
因为，
所以②，
①②联立可得，，，
则．
故选：．
5．曲线在点，（1）处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】
解：因为，所以，
所以（1），（1），
所以所求切线方程为．
故选：．
6．已知直线与函数，的图象分别交于点，，当取得最小值时，
A．0B．1C．D．
【答案】
解：令，，
则，
令，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
即，；
由题意可得，，
所以；
所以，
令（a），
则（a），
令（a），
得，
当时，（a），（a）单调递减，
当时，（a），（a）单调递增，
所以（a）．
即当取得最小值时，．
故选：．
7．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则
A．1B．2C．D．
【答案】
解：盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，
取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则．
故选：．
8．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为
A．B．C．D．
【答案】
解：设正三棱柱的底面边长为，高为，
则根据题意可得，
所以，
所以该正三棱柱的体积为：
，
当且仅当时，等号成立，
所以该正三棱柱的体积最大为．
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．记为等差数列的前项和．已知，，则
A．B．
C．D．
【答案】
解：因为等差数列中，，，
则，，
所以，正确；
则，则，错误；
，正确．
故选：．
（多选）10．已知函数，下列结论正确的是
A．若为奇函数，则
B．的图象关于直线对称
C．若，则的单调递增区间为，
D．当时，在，上单调递增
【答案】
解：选项，的定义域为，
若为奇函数，则，解得，错误；
选项，，
所以的图象关于直线对称，正确；
选项，若，则，．
令，解得，
所以的单调递增区间为，，正确．
选项，
，
当时，，，故．
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，，正确．
故选：．
（多选）11．已知，，，表示，，，中最小的数，，，，表示，，，中最大的数．若数列，都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，，，，，，，，，，，，，，，则
A．的值可能为4，5，6，7B．的值可能为3，4，5，6
C．的概率为D．的概率为
【答案】
解：将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成2组，有种分法，
对于，，的值可能为4，5，6，7，故正确；
不妨设，，，，，，，
若，，，中的最大值为4，则，，，中的最大值为8，有1种情况，此时，
若，，，中的最大值为5，则，，，中的最大值为8，有种情况，此时，
若，，，中的最大值为6，则，，，中的最大值为8，有种情况，此时，
若，，，中的最大值为7，则，，，中的最大值为8，有种情况，此时，
所以，，，，
，故正确；
对于，，的值可能为2，3，4，5，故错误；
不妨设，，，，，，，
若，，，中的最小值为5，则，，，中的最小值为1，有1种情况，此时，
若，，，中的最小值为4，则，，，中的最小值为1，有种情况，此时，
若，，，中的最小值为3，则，，，中的最小值为1，有种情况，此时，
若，，，中的最小值为2，则，，，中的最小值为1，有种情况，此时，
所以，，，，
，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 4 ．
【答案】4
解：根据题意，数列的通项公式为，
设，，
由对勾函数的性质可知：（2），即当时，取得最小值，
当时，取得最小项，其最小项为．
故答案为：4．
13．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 1800 种．
【答案】1800．
解：将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，
则将6人分为1，1，1，1，2五组，有种方法，
再分到5个小区，共有种方法．
故答案为：1800．
14．将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 14 ，的前202项和为 ．
【答案】14；49609．
解：与 的公共项为，去掉它们的公共项后，
剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，，
所以，且每两个相邻的公共项之间有5项，
以这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列．
因为，
所以的前202项和为．
故答案为：14；49609．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）若，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）已知函数，
当，
则，，
所以曲线在点，处的切线的斜率为，
又因为，
因此曲线在点，处的切线方程为．
（2），，，
当时，，，，此时在上单调递增；
当时，，，，此时在上单调递减；
因此，
又在上恰有2个零点，
则必须满足：，
即，
解得：，
所以实数的取值范围为．
16．为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
（1）从参与该实验的人中任选1人，表示事件“选到的人服用中药预防方”， 表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求，的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为，求的期望．
【答案】（1），；
（2）9．
解：（1）由题意可得，，
，，
所以，；
（2）从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为，
由已知得，
则．
17．设等比数列的公比为，前项和为．令，数列的前项和为．
（1）若，，，求的通项公式；
（2）若为等比数列，且，求．
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）等比数列中，，，，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，又因为，
所以，解得：，．
所以；
（2）因为为等比数列，，
所以，即，
所以，
所以，
可得：，，所以，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由可得：，解得．
18．（17分）已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，，求的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值；
（2）当时，无单调区间，
当时，的单调递减区间为，，无递增区间；
（3），．
解：（1）的定义域为，故，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；
（2），定义域为，，，
当时，，无单调区间，
当时，，
故的单调递减区间为，，无递增区间；
（3），，即，
所以，
其中，令，则，
，
若，则，其中在恒成立，
故在上单调递增，所以，即，
令，，则，
故在上单调递增，
故（1），即，所以，与取交集，故，
若，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且时，恒成立，时，恒成立，
所以，满足要求，
综上，，即的取值范围是，．
19．（17分）某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动类终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有2个白球和3个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加1个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）由题意可得第2名和第3名顾客各抽中一份奖品，即第1名顾客抽取的是红球；
第2名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第3名顾客抽取的是白球，
故第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率为；
（2）这两份奖品被第1名顾客抽走的概率为，
被第2名顾客抽走的概率为，
被第3名顾客抽走的概率为，
，
被第名顾客抽走的概率为；
（3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，
以下讨论的情形：若第名顾客共抽取了两份奖品，
则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第，，名顾客抽到了一份奖品，
则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为，
第名顾客只获得一份奖品，其概率为，
第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为：
，
所以，
当时，，不符合上式，
因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为．
服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600
服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600