河北省廊坊市部分高中2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版）

这是一份河北省廊坊市部分高中2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等,则的共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】复数，因为复数的实部与虚部相等，所以，得，
所以，所以.
故选：C.
2. 设是直线上两点，则“到平面的距离相等”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则两点到平面的距离相等，但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧，且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交．
故选：B．
3. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表.
则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（ ）
A. 5B. 5.5C. 6D. 6.5
【答案】C
【解析】由,故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人,
又，故第25百分位数是6.
故选：C.
4. 已知向量，，，若，则实数（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】∵向量．
∴，
∵，
∴，解得．
故选：C．
5. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记另3名同学分别为，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为．
故选：B.
6. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2张卡片都不是红色B. 2张卡片不都是红色
C. 2张卡片至少有一张红色D. 2张卡片至多有1张红色
【答案】A
【解析】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片， 则选项A事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色” 是互斥而不对立，所以正确；
选项B事件“2张卡片不都是红色”与事件“2张卡片都为红色”是对立事件，所以不正确；
选项C事件“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，所以事件“2张卡片至少有一张红色”与事件“2张卡片都为红色”不是互斥事件，所以错误；
选项D事件“2张卡片至多有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”是对立事件，所以错误.
故选：A.
7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以，
又，
所以，取的中点，连接，
显然有，即二面角的平面角为，
即，又，
，，则，
的面积为.
故选：A.
8. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331
342 241 244 342 142 431 233 214
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】组随机数中，满足条件的有221，132，241，142，这4组数据满足条件，所以估计恰好抽取三次就停止的概率.
故选：C.
二、多选题
9. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，所以，故A正确；
由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误；
又，故C正确，D错误；
故选：AC
10. 在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ）
A. 直线B. 直线
C. 平面D. 平面
【答案】AD
【解析】如图
由，且平面，平面，
故直线与平面平行，故A正确；
直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误；
由图，显然平面与平面相交，故C错误；
由， ，且，，
故平面与平面平行，故D正确；
故选：AD
11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A. 30~41周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%
D. 丁险种最受参保人青睐
【答案】AD
【解析】对A：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项正确；
对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项错误；
对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项错误；
对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项正确.
故选：AD.
三、填空题
12. 求值：__________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 数据的方差为1，则数据的方差为_________．
【答案】4
【解析】设的平均数为，则的平均数为
，
所以的方差为：
.
故答案为：4.
14. 若平面有不共线的五点，记，，，，满足.，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由,可得，且，即
.作，如图所示，
则，，均为正三角形，且，
由，得，
化简可得，，所以在直线上.
由图像可知，，所以，
可得点在以点为圆心，以为半径的圆E上，所以.
如图过E作MN垂线垂足为C，交圆E于D点，则显然，
此时的最小值为.
四、解答题
15. 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中表示红色骰子向上一面的点数，表示蓝色骰子向上一面的点数.
（1）写出该试验的样本空间；
（2）指出所表示的事件；
（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示.
解：（1）该试验的样本空间，，，，，，，，，
（2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”.
（3）事件“点数之和不超过5”就是集合.
16. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求和的值；
（2）求的面积．
解：（1）在中，由，可得．
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
由，解得．
所以．
（2）由（1）知，，
所以的面积．
17. 如图，四棱柱的底面是正方形，．
（1）证明：平面∥平面；
（2）证明：平面平面．
解：（1）由题意可知：∥，，可知为平行四边形，
则∥，且平面，平面，可得∥平面，
又因为∥，，可知为平行四边形，
则∥，且平面，平面，可得∥平面，
且，平面，所以平面∥平面.
（2）因为为正方形，则，
因为，则，
可得，
设，可知为的中点，则，
且，平面，可得平面，
由平面，所以平面平面.
18. 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：
（1）恰有一人面试合格的概率；
（2）至多一人签约的概率．
解：（1）记事件A：甲面试合格，
事件B：乙面试合格
事件C：丙面试合格
事件D：恰好有一人面试合格
依题意，事件A、B、C相互独立
.
（2）至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况，
事件F：甲签约乙丙没有签约，
事件G：三人都没有签约，
事件E：至多一人签约，
因为F与G互斥，所以，
，
，
，
所以至多一人签约的概率为．
19. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.

（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
（3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.
解：（1）由频率和为1，得，解得；
设综合评分的平均数为，
则，
所以综合评分的平均数为81.
（2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间
，；
记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，
则，，
所以所求的概率为.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
所以，
.借书数量（单位：本）
5
6
7
8
9
10
频数（单位：人）
5
8
13
11
9
4