2024-2025学年河北省邯郸市部分学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市部分学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( )
A. 48种B. 36种C. 24种D. 12种
2.计算3C86+A62的值为( )
A. 114B. 99C. 142D. 198
3.已知等差数列{an}的公差为−2，且a2+a4+a6=39，则a5=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
4.已知函数f(x)=alnx+12x2−6x+4在定义域内单调递增，则a的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (9,+∞)D. [9,+∞)
5.在等比数列{an}中，a1+a2=6，若a1，a2+3，a3成等差数列，则{an}的公比为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.已知函数f(x)=ax2x−1(x>1)有最大值−8，则a的值为( )
A. −2B. −4C. −8D. −12
7.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有( )
A. 240
B. 480
C. 420
D. 360
8.将数列{2n−1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}(若有相同元素，按重复方式计入排列)，则数列{an}的前50项和为( )
A. 2160B. 2240C. 2236D. 2490
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式(x−2)6的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 常数项为−64B. 含x的系数为−192
C. 所有的二项式系数之和为64D. 所有项的系数之和为−1
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若{an}为等差数列，则{Snn}是等差数列
B. 若{an}为等差数列，则Sn，S2n，S3n成等差数列
C. 若{an}为等比数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q∈N∗”是“am⋅an=ap⋅aq”的充分不必要条件
D. 若{an}是公比为q的等比数列，则S2n=(1+qn)Sn
11.已知函数f(x)=x2+e2x−3−axex，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)恰有3个零点，则a=e+1e2
B. 若f(x)恰有3个零点，则a=e2+1e3
C. 若f(x)恰有4个零点，则a的取值范围是(e−32,e+1e2)
D. 若f(x)恰有4个零点，则a的取值范围是(2e−32,e+1e2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1−1x)(x+1)5的展开式中x3的系数是______.(用数字作答)
13.在数列{an}中，a1=1，2an+1⋅an+nan+1=(n+1)an，则a2024= ______．
14.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，若对任意的x∈R，都有f′(x)x2的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−4x2−ax+b的图象在x=0处的切线方程为16x+y−2=0．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的极值．
16.(本小题15分)
若(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3=80．
(1)求m的值；
(2)求(a0+a2+a4)2−(a1+a3+a5)2．
17.(本小题15分)
(1)7名学生站成一排照相留念，其中男生5人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？
(2)某兴趣小组有10名同学，其中男生6名，女生4名，现要从中选取3人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
(3)从0，1，3，5中任取2个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+2n−6．
(1)证明：{an−1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)记bn=(−1)n(4an−2)anan+1，记数列{bn}的前n项和为Tn．
①求T2n；
②若存在n∈N∗，使得λ≥Tn，求λ的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2xlnx−a(x2−1)(a∈R)．
(1)若a=1，求证：f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)若f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2(n+1)(n∈N∗)．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，
根据分类加法计数原理，不同的选法共有6+4+2=12种．
故选：D．
利用分类加法计数原理可求．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知，3C82+A62=3×8×72×1+6×5=114．
故选：A．
由排列数和组合数的计算公式可得结果．
本题主要考查了排列数公式和组合数公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为等差数列{an}的公差为−2，且a2+a4+a6=39，
由等差数列的性质可得3a4=39，即a4=13，
所以a5=a4+d=a4−2=11．
故选：B．
由等差数列的性质得到a4=13，再结合通项公式即可求解．
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意，f(x)的定义域为(0,+∞)，
因为f(x)在定义域内单调递增，
所以f′(x)=ax+x−6≥0在(0,+∞)上恒成立，
所以a≥−x2+6x在(0,+∞)上恒成立，因为函数y=−x2+6x=−(x−3)2+9，
所以当x=3时，y=−x2+6x取得最大值9，
所以a≥9，即a的取值范围是[9,+∞)．
故选：D．
求出函数的导函数，依题意可得f′(x)=ax+x−6≥0在(0,+∞)上恒成立，参变分离可得a≥−x2+6x在(0,+∞)上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：等比数列{an}中，a1，a2+3，a3成等差数列，所以2(a2+3)=a1+a3，
又a1+a2=6，所以2a2+a1+a2=a1+a3，
所以a3=3a2，故q=3．
故选：B．
设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，由a1=2，a2+3，a3成等差数列得出2(a2+3)=a1+a3，结合a1+a2=6得出a3=3a2，即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：易知f′(x)=2ax(x−1)−ax2(x−1)2=ax(x−2)(x−1)2，且x∈(1,+∞)；
显然当a=0时不合题意，
当a>0时，若x∈(1,2)，易知f′(x)0，此时函数f(x)在(2,+∞)上单调递增；
此时f(x)无最大值，不符合题意；
当a0，此时函数f(x)在(1,2)上单调递增，
若x∈(2,+∞)，易知f′(x)0,ℎ′(12)=2e−2−10，
当x0