2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期中数学试卷（含解析），文件包含分层练习12第五章第七讲功和机械能教师版docx、分层练习12第五章第七讲功和机械能学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1.已知复数z=z1z2，其中z−1=1−3i,z2=2−i，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 1D. 22
2.设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为( )
A. −56bB. 56bC. −38bD. 38b
3.已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为4π，则圆锥的高为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是( )
A. 4 2π3
B. 4m
C. 6π
D. 8π
5.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A. 3 3B. 2 393C. 8 33D. 392
6.一个体积为4 3π的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为( )
A. 54 3B. 54C. 27 3D. 27
二、多选题：本题共6小题，共36分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则( )
A. 该圆锥的母线长为 2B. 该圆锥的体积为13π
C. 该圆锥的侧面积为πD. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 2π
8.2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.如图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AH=2HB，AG=2GD，则下列等式一定成立的是( )
A. AC=AB+AD
B. AB+BC=AD+DC
C. HG+GD=AD−AH
D. EF=34HG
9.在△ABC中，若csA=45，csC=1213，a=1，则下列正确的是( )
A. sinA=−35B. sinB=5665C. S△ABC=6D. b=5639
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，a= 3，则下列结论正确的是( )
A. 若b= 2，则△ABC有一解
B. 若b=2，则△ABC有两解
C. △ABC面积的最大值为3 34
D. 若△ABC是锐角三角形，则b+c的取值范围为(3,2 3]
11.在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，点D为边BC上一动点，则( )
A. BC=2 7
B. 当AD为角A的角平分线时，AD=12 35
C. 当点D为边BC上点，BD=2DC时，AD=4 133
D. 若点P为△ABC内任一点，PA⋅(PB+PC)的最小值为−194
12.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确的是( )
A. |AD|≤10
B. AB⋅AD的最大值是78
C. 当AB⋅CD=0时，sin∠DAB=2 35
D. AC⋅AB=32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与−3a+2b垂直，则λ= ______．
14.已知a，b∈R，复数z1=a+i，z2=−b−i，且z1+z2=0，若z=a+bi，则|z− 3i|的最小值______．
15.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为60°、45°、30°，且AB=BC=10 6米，则雕像高为______米.
16.在△ABC中，E为AC上一点，且AC=4AE，P为BE上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则1m+1n最小值为 ．
四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 3bsinA=a(2+csB)．
(1)求B；
(2)若a=3c，点D是AC的中点，且BD= 7，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积是3 34,a=2，求△ABC的周长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
(1)求三棱锥D−A1B1C1的体积；
(2)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z=z1z2，其中z−1=1−3i,z2=2−i，则z1=1+3i，
所以z=z1z2=1+3i2−i=(1+3i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+7i−35=−15+75i，
所以|z|= (−15)2+(75)2= 2．
故选：B．
根据共轭复数的概念，利用复数的乘、除法运算求出复数z，结合复数的几何意义计算即可求解．
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，
则a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=3×4×cs120°4⋅b4=−38b．
故选：C．
根据投影向量的求法求得正确答案．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设球的半径为r，则圆锥的底面半径为r，设圆锥的高为ℎ，
则球的表面积为4πr2=4π，∴r=1，
∴圆锥的母线l= r2+ℎ2= 1+ℎ2，又圆锥的侧面展开图是半圆，
∴π=2πrl=2π 1+ℎ2，解得ℎ= 3．
故选：C．
根据圆锥与球的几何性质，即可求解．
本题考查圆锥与球的几何性质，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，
且这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，
所以大圆直径2R=2 2，所以R= 2，
所以这个半球的表面积是2πR2+πR2=3π×2=6π．
故选：C．
根据题意可得大圆直径2R=2 2，从而可求解．
本题考查球的几何性质，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，
则12bcsinA= 3，
即c=4，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA可得：a2=13，
即a= 13，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：a+b+csinA+sinB+sinC=asinA= 13 32=2 393，
故选：B．
由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设球的半径为R，因为43πR3=4 3π，
所以R= 3，
因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，
所以正三棱柱的高为2 3，
设正三棱柱底面边长为a，
因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，
所以 3=13× 32a，
所以a=6，
则正三棱柱的表面积为3×6×2 3+2×12×6×6× 32=54 3．
故选：A．
先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可．
本题考查几何体表面积的计算，属于中档题．
7.【答案】ABD
【解析】解：设该圆锥的母线长为l，因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，所以12l2=1，解得l= 2，A正确；
设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA=SB= 2，所以AB=2，则圆锥的高SO=1，
所以该圆锥的体积V=13π×12×1=13π，
侧面积为πrl=π×1× 2= 2π，B正确、C错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则 2α=2π×1，所以α= 2π，D正确．
故选：ABD．
利用三角形的面积公式求出圆锥SO的母线长，可判断A选项；利用圆锥的体积公式、侧面积公式可判断B、C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项．
本题考查圆锥的几何特征，属于中档题．
8.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由题图可知在四边形ABCD中，AC=AB+AD不一定成立，故A错误；
对于B，AB+BC=AC，AD+DC=AC，所以AB+BC=AD+DC，故B正确；
对于C，HG+GD=HD，AD−AH=HD，所以HG+GD=AD−AH，故C正确；
对于D，连接BD，如下图所示，因为E，F分别是BC，CD的中点，由中位线的性质可知EF/​/BD，EF=12BD，故EF=12BD，
又AH=2HB，AG=2GD，所以HG=23BD，所以EF=12BD=12×32HG，
所以EF=34HG，故D正确．
故选：BCD．
9.【答案】BD
【解析】解：根据A、C是三角形内角，可得sinA= 1−cs2A=45，sinC= 1−cs2C=513．
所以sinB=sin(π−B)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=35×1213+45×513=5665，
根据正弦定理得b=asinBsinA=1×566535=5639，
所以S△ABC=12absinC=12×5639×1×513≠6，可知B、D正确，A、C错误．
故选：BD．
根据同角三角函数的关系算出sinA、sinC，运用诱导公式与两角和的正弦公式求出sinB，结合正弦定理求出边b，进而根据三角形的面积公式求出S△ABC，即可得出本题答案．
本题主要考查正弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A选项，根据正弦定理，asinA=bsinB，即 3 32= 2sinB，得sinB= 22，
且b