2024-2025学年福建省漳州市文龙一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省漳州市文龙一中高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=1522，则P(A|B)=( )
A. 12B. 511C. 34D. 4475
2.下列求导运算正确的是( )
A. (ax−1)′=axB. (1x2)′=−1x3
C. (lnx+3)′=1x+3D. (csx)′=−sinx
3.已知向量a=(λ+1,1,λ)，b=(2,μ−1,1)，若a//b，则λ+μ=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.若函数f(x)=x2−alnx+1在[1,+∞)上单调递增，则实数a的最大值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，G是BC1与B1C的交点，若AB=a，AC=b，AA1=c，则A1G=( )
A. 12a+12b−12c
B. 12a−12b+12c
C. −12a+12b+12c
D. 12a+12b+12c
6.若随机变量X服从二项分布B(n,12)，且P(X=3)=P(X=4)>0，则Cn2+An2=( )
A. 39B. 50C. 63D. 68
7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，P，M分别为线段BC，A1B1的中点，Q，N分别为线段D1C1，AD上的动点，若PQ⊥MN，则线段QN的长度的最小值为( )
A. 10
B. 6
C. 5
D. 222
8.已知函数f(x)=aex−x2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. (0,4e2)B. (0,2e)C. (0,2e2)D. (0,4e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在R上的可导函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. −2是函数f(x)的极大值点，−1是函数f(x)的极小值点
B. 0是函数f(x)的极小值点
C. 函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
D. 函数f(x)的单调递减区间是(−2,−1)
10.下列说法中，正确的有( )
A. 若随机变量X的数学期望EX=2，则E(4X−2)=6
B. 若随机变量Y的方差DY=3，则D(3Y+6)=27
C. 将一收正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为X，则X服从两点分布
D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CD的中点，O是BD1的中点，P是侧面BB1C1C内的一动点(不包含四个顶点)，则下列结论正确的是：( )
A. 点D1到平面AEC1的距离为2 63
B. 三棱锥D−A1D1P体积是定值，定值为1
C. 存在点P，使得DP/​/平面AB1D1
D. 存在点P，使得OP⊥AA1且OP⊥BD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b的夹角的余弦值为14，|a|=2，|b|=4，则a⋅(b−a)= ______．
13.已知P(A)=13,P(B|A)=12,P(B−|A−)=56，则P(B)= ______．
14.函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+x(a∈R)，且f′(1)=4．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程．
16.(本小题15分)
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．
(1)设x表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和均值．
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=120°，PA=PC，PB=PD，AC∩BD=O．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°，求平面BPC与平面PCD夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
(1)若同学甲从B箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从A箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−lnx−a．
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x20)，
∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，则OA= 3t，
由(1)知PO⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成角为∠PAO=30°，得到PO=t，
以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,t,0)，C(− 3t,0,0)，P(0,0,t)，D(0,−t,0)，
得到BP=(0,−t,t)，CP=( 3t,0,t)，CD=( 3t,−t,0)，
设平面PBC与平面PCD的一个法向量分别为m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，
由m⋅BP=−ty1+tz1=0m⋅CP= 3tx1+tz1=0，取x1=1，得m=(1,− 3,− 3)，
由n⋅CP= 3tx2+tz2=0n⋅CD= 3tx2−ty2=0，取x2=1，得n=(1, 3,− 3)，
设平面BPC与平面PCD的夹角为θ，
∴csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=1 7× 7=17，
∴平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为17．
18.(1)设事件Ai表示“甲第i次从B箱中取到论述题”，i=1，2，
则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=25×14+35×24=25；
(2)设事件A为“丙从B箱中取出的第一道题是选择题”，事件B1为“乙从A箱中取出2道选择题”，
事件B2为“乙从A箱中取出1道选择题和1道论述题”，事件B3为“乙从A箱中取出2道论述题”，
则P(B1)=C62C92=1536=512，P(B2)=C61C31C92=1836=12，P(B3)=C32C92=336=112，
则P(A)=P(B1)P(A|B3)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=512×57+12×47+112×37=25+24+384=1321，
即丙取出的第一道题是选择题的概率为1321．
19.(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
解f′(x)=x−1x>0得x>1，解f′(x)=x−1x