2026年中考数学必刷压轴题--圆与动点问题训练（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学必刷压轴题--圆与动点问题训练（学生版+名师详解版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，过点B作直线的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．2
2．如图，半径为13的内有一点，，点在上，当最大时，等于（ ）
A．40B．45C．30D．65
3．如图，点在半径为的内，，为上一点，延长、交于、当取最大值时，的长等于（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
5．如图，已知在平面直角坐标系 中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作 ，与y轴交于点A和点B，点P是 上的一动点，Q是弦 上的一个动点，延长 交 于点E，运动过程中，始终保持 ，当 的结果最大时， 长为（ ）
A．B．C．D．
6．已知的直径，与的弦垂直，垂足为，且，则直径上的点（包含端点）与点的距离为整数的点有（ ）
A．1个B．3个C．6个D．7个
7．如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）
8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图 )，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图 是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.
图1 图2
有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形
②图1中，点A到 上任意一点的距离都相等
③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
9．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，以点 为圆心的圆与 轴相切．点 、 在 轴上，且 ．点 为 上的动点， ，则 长度的最大值为（ ）．
A．14B．15C．16D．8
10．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
二、填空题
11．如图，在中，AD为直径，弦于点H，连接OB．已知，．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为．当时，的值为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，的半径为，交x轴正半轴于点B，弦，点P为y轴上一点，且的值最小，则点P坐标为 ．
13．如图，半圆 的半径为4，初始状态下其直径平行于直线 ．现让半圆 沿直线 进行无滑动滚动，直到半圆 的直径与直线 重合为止．在这个滚动过程中，圆心 运动路径的长度等于 ．
14．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 ．
15．如图，边长为 的正六边形在足够长的桌面上滚动(没有滑动)一周，则它的中心 点所经过的路径长为 ．
16．如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝ 将扇形AOB在直线l上向右滚动．
（1）滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝ ．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝ ．
17．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
18．如图，⊙O 的半径为3，点A是⊙O 外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接 OA、OP．则线段 OP的最大值是 ．
19．如图，半圆O的直径，在中，，，．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为（s），运动开始时，半圆O在的左侧，．当 时，的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
20．如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 与x轴的正半轴交于点A，点B是 上一动点，点C为弦 的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点D、E，则 面积的最小值为 ； 面积的最大值为 ．
三、综合题
21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B，O均落在格点上， 为⊙O的半径．
（1） 的大小等于 （度）；
（2）将 绕点O顺时针旋转，得 ，点A，B旋转后的对应点为 ， ．连接 ，设线段 的中点为M，连接 ．当 取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）．
22．如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ．以点 为圆心，分别以 、 为半径作大小两个半圆，连结 ．
（1）求证： ；
（2）设小半圆与 相交于点 ， ．
①当 取得最大值时，求其最大值以及 的长；
②当 恰好与小半圆相切时，求弧 的长．
23．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。请研究如下美丽的圆，如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现 是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明。
24．如图，平行四边形中，于，，，经过点作圆和边切于点（点可与点、重合），分别交边，边于点、．
（1）的长为 ；
（2）若点在边上，求的长；
（3）嘉琪说：“若点与点重合，则点一定在圆上”.你觉得嘉琪的判断对吗？请说明理由；
（4）设圆的半径为，直接写出的取值范围．
25．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是 ；
②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围 ．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】如图，连接AC，BD，二线交于点G，
∵平行四边形中，，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BG⊥AC，
∴点G在以BC为直径的圆上，
设圆心为O，则半径OB=，
连接OG，
∵，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°，
∴△GOC是等边三角形，
∴∠GOC=60°，∠GOB=120°，
根据题意，点F的运动路径为，
∴的长为：，
故答案为：B．
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，证明出点F的运动路径为，再利用弧长公式求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如图当PA与小圆相切时，∠OPA最大，
∵OA⊥PA，
∴，
S△OPA=，
故答案为：C．
【分析】当PA与小圆相切时，∠OPA最大，根据切线的性质求出PA，即可求出三角形的面积.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：，及半径为3为定值，
当时，，
此时最小，
为的直径，
，
，
当时，最小，的值最大，
故答案为：C．
【分析】根据，PM为定值，再根据PN越小，MN的长越大，求出PN的最小值即可得到答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在直角 中， ，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出PQ⊥OQ，再利用勾股定理求出，最后求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，∵ ， ，
∴△AQP∽△APB，
∴AP：AB=AQ：AP，
∴ ，
过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，
∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，
∴MG=3，MA=5，
根据勾股定理，得AG= =4，
∴AB=2AG=8，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∵AQ=AB-QB，
∴AP+QB= +8-AQ=
=
∴AP+QB有最大值，且当 时，有最大值10，
∴AQ=2，AP =4，
连接AE，设MA与PE的交点为N，
∵△AQP∽△APB，
∴∠APQ=∠ABP，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠APQ=∠AEP，
∴AP=AE=4， ，
根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，
设AN=x，则MN=5-x，
在Rt△AEN中， ，
在Rt△MEN中， ，
∴ = ，
解得x= ，
∴ ，
∴EN= ，
∴PE=2EN= ，
故答案为：D.
【分析】过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△AQP∽△APB，于是可得比例式AP：AB=AQ：AP，化为乘积式为AP2=AQ×AB；在直角三角形AMG中，用勾股定理可求得AG的值，由垂径定理得AB=2AG可求得AB的值，结合乘积式可将AP用含AQ的代数式表示出来，而AQ=AB-QB，于是AP+QB可表示为AP+QB=-+10，根据AP+QB有最大值，且当 时，有最大值10，则AQ、AP的值可求解；连接AE，设MA与PE的交点为N，由已有的相似三角形可得∠APQ=∠ABP，结合已知可得∠APQ=∠AEP，由等边对等角可得AP=AE，弧AE=弧AP，根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，在Rt△AEN中，用勾股定理可将EN2用含x的代数式表示出来；同理在Rt△MEN中，用勾股定理可将EN2用含x的代数式表示出来；于是可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则EN的值可求解，由垂径定理得PE=2EN可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：Rt△AOM中，AO=CD=5，AM=4.8=，
∴OM=，
Rt△AMD中，MD=OD-OM=，AM=，
∴AD=，
∵CD是圆的直径，∴∠CAD=90°，
Rt△ACD中，CD=10，AD=6，
∴AC=，
A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，
A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，
∴直径上的点（包含端点）与点的距离为整数的点有6个，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AC和AD的长可得A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，从而得解。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AQ、PA，如图，
∵PQ切⊙A于点Q，
∴AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴PQ＝ ，
当AP的长度最小时，PQ的长度最小，
∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，
∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，
∵A（﹣3，2），
∴此时P点坐标为（﹣3，0）．
故答案为：D．
【分析】先求出PQ＝ ，再根据点A的坐标求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：①勒洛三角形不是中心对称图形，故①不符合题意；
②图1中，点A到 上任意一点的距离都相等，故②符合题意；
③图2中，设圆的半径为r
∴勒洛三角形的周长=
圆的周长为
∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③符合题意；
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④不符合题意
故答案为：B
【分析】逐一对选项进行分析即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝ ＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为：C．
【分析】连接OC并延长，⊙C上一点P，以O为圆心，OP为半径作圆⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP=8，则AB的最大值为16.
10．【答案】C
【解析】【解答】连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在直角 中， ，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为 ，
故答案为：C．
【分析】连接PQ、OP，根据切线的性质得到PQ⊥OQ，再根据勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值。
11．【答案】1s或3s或6s
【解析】【解答】解：∵OB=2，∠OBC=30°，，
∴OH=，
当点E从O运动到D的过程中，
点E运动到点H时，∠OBE=30°，
∴1t=1，t=1s，
点E从点O运动到点D，则t=2÷1=2s，
当点E从D运动到O的过程中，
点E运动到点H时，∠OBE=30°，
∴1（t-2）=1，t=3s，
∵∠BOH=90°-∠OBH=90°-30°=60°，
∵∠OBE=30°，
∴∠BEO=∠BOH-∠EBO=30°，
∴OE=OB=2=OA，
∴点E运动到点A时，∠EBO=30°，
∵AD=2AO=4，
∴1（t-2）=4，t=6s，
当时，的值为1s或3s或6s．
【分析】分类讨论，结合图形，列方程计算求解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：B点的对称的是C点，连接交y轴于P，则的值最小，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标是．
故答案为：．
【分析】B点的对称的是C点，连接交y轴于P，则的值最小，先证明，可得，将数据代入求出，即可得到点P的坐标。
13．【答案】4π
【解析】【解答】由题意知：半圆 的半径为4，
∴从初始状态到垂直状态，圆心 运动路径的长度= ．
∴从垂直状态到重合状态，圆心 运动路径的长度= ．
即圆心 运动路径的总长度= ．
故答案为4π．
【分析】由图可知，圆心 运动路径的长度主要分两部分求解，从初始状态到垂直状态，圆心一直在一条直线上；从垂直状态到重合状态，圆心运动轨迹是 圆周，计算两部分结果，相加即可．
14．【答案】2
【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，
由勾股定理求得OB＝5，
∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PB最小值为2．
故答案为：2．
【分析】先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题。
15．【答案】2π
【解析】【解答】解：∵正六边形的内角为120°，
∴∠BAF=120°,
∴∠FAF´=60°,
∴
∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为：
故答案为：2π
【分析】首先求得从B到B´时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是 的长,又由正六边形的内角为120°，求得 所对 的圆心角为60°，根据弧长公式 计算即可.
16．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】（1）扇形AOB滚动一周得到扇形A′O′B′，
∵∠AOB＝120°，OA＝1
∴
∴
（2）∵ ，
∴
即扇形AOB滚动5周后，O与E相距 ，继续滚动，B点与HE相交，即公共点D点，
∴ ， ，
∴
【分析】（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，可得OO'等于扇形的周长，根据弧长公式即可求出弧AB的长，进而可得结果；
（2）先求出当扇形与矩形EFGH由公共点时扇形滚动的周数，可得点O'到点E的距离，进而利用勾股定理可得结论。
17．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OMCD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝21，
∴OMCD，
即OM的最大值为；
故答案为．
【分析】先求出OM是△ACD的中位线，可得OMCD，所以当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，再求出OM的值即可。
18．【答案】
【解析】【解答】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．
∵OA=6，OT=3，
∴OT=TA，
∵AP=PB，
∴PT= OB= ，
∵OP≤PT+OT，
∴OP≤ ，
故答案为： ．
【分析】连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT，根据题意可得：OT=TA，再结合线段AB的中点为P，可得PT是三角形ABO的中位线，所以PT= OB= ，再利用三角形三边的关系可得OP≤PT+OT，即可得到OP≤ 。
19．【答案】1或4或7
【解析】【解答】如图，当点C与点E重合时，AC与半圆O所在的圆相切，
∵，
∴，
∴，即点O运动了2cm，
∴，
当AB与半圆O所在的圆相切时，
过点C作交于点F，
∵，，
∴，
∴，即点O与点C重合，
∴点O运动了8cm，
∴，
当点C与点D重合时，AC与半圆O所在的圆相切，
，即点O运动了14cm，
∴，
故答案为：1或4或7．
【分析】分类讨论，结合图形，根据 半圆O的直径，在中，，，． 计算求解即可。
20．【答案】2；7
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO=90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x=0时， =-3，则D（0，-3），
当y=0时， =0，
解得x=4，则D（4，0），
∴OD=4，
∴ ，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP=1，
∴PD=OD-OP=3，
∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE=DP：DE，
即PH：3=3：5，
解得PH= ，
∴MP=PH+1= ，
NH=PH-1= ，
∴S△NED= ×5× =2，
S△MED= ×5× =7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2，△CDE面积的最大值为7，
故答案为：2；7．
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得到点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E、D的坐标，则DE=5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP、NH的长，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出S△NED和S△MED得到S的范围，即可求解。
21．【答案】（1）45
（2）解：取 的中点N，连接MN， ，构成 ，延长AO交⊙O于点H，如图，
根据三角形三边关系， ,
当点 ，N，M三点共线时， 取最大值，
在 中， ，
∵点M，N分别是 的中点，
∴ ，
作 ，由网格图的特点可得，
在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于 ，如图所示，
，此时 ， ，
故连接OC与⊙O交于 ，点 即为所求．
【解析】【解答】解：（1）由图形可知，OA=OB，OB⊥OA，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为：45；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定及性质求解即可；（2）如图， 取 的中点N，连接MN， ，构成 ，延长AO交⊙O于点H，再利用三角形三边的关系判定即可。
22．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
∴
（2）解：①当 时， 取得最大值，
最大值 ，
在 中， ，
∴ ；
②当 恰好与小半圆相切时， ，
∵在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴弧 的长
【解析】【分析】（1）先利用SAS证明三角形全等，再求出AB=CD即可；
（2）①先求出三角形ABE面积的最大值为4，再利用勾股定理求出AB的值，最后求解即可；
②先求出AE=2，再求出∠ABE=30°，最后利用弧长公式计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：连接OD、DB，
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分OB，
∴DB=DO
∵DO=OB，
∴DB=DO=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO=∠DBO=60° ，
∵BC=OB= BD，∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD=∠BDC= ∠DBO．
∵∠DBO=60°，
∴∠CDB=30°
∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：这个确定的值是
连接OP，如图：
由已知可得：OP=OB=BC=2OE
∴
∵∠COP=∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴
【解析】【分析】（1）连接OD，DB，利用垂径定理易证DE垂直平分OB，利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DO，可推出DB=DO=OB，可证得△ODB是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠BDO=∠DBO=60°，利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质，可求出∠CDB=30°，即可得到∠ODC=90°；然后利用切线的判定定理，可证得结论.
（2）连接OP，易证OP=OB=BC=2OE，可得到PO是线段OE，CO的比例中项，再利用∠COP=∠POE，可证得△OEP∽△OPC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出PE与PC的比值，由此可得到 是一个确定的值.
24．【答案】（1）8
（2）解：如图，当圆在上时，连接．
∵圆和边切于点，
∴，
∵，
∴，
∴
由于点在上，∴，
∴的长为．
（3）解：嘉琪的判断错误，理由如下：
如图，设与圆交于点，连接、，
∵，四边形为平行四边形，
∴，∴，
∴为圆的直径，必过点
∵切圆于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴在圆的外部．
∴嘉琪的判断不符合题意；
（4）解：．
【解析】【解答】(1)，
，
，，
，
，
由勾股定理得，
故答案为：8；
(4)当O、C、E在同一直线上时，r最小，
此时，斜边上的高CE为圆O的直径，
，
，
，即半径为；
当圆O与AB边相切于点B时，r最大，
连接OB，过点O作BC的垂线OH，交BC于点H，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，即r的最大值为，
．
【分析】（1）利用勾股定理即可得出BC的长；
（2）当圆在上时，由于点在上，利用弧长公式即可得解；
（3）嘉琪的判断错误，设与圆交于点，连接、，由四边形为平行四边形，得出为圆的直径，必过点，利用相似得出，得出，推出在圆的外部，即可得出答案；
（4）当O、C、E在同一直线上时，r最小，此时，斜边上的高CE为圆O的直径，当圆O与AB边相切于点B时，r最大，连接OB，过点O作BC的垂线OH，交BC于点H，在中，求出∠ABC的正切值，再利用勾股定理得出OB的值，即可得出r的最大值。
25．【答案】（1） ， ； 是 关于 的内直角， ，且点 在 的内部， 满足条件的点 形成的图形为如图2中的半圆 （点 ， 均不能取到）， 过点 作 轴于点 ， ， ， ， ， 并可求出直线 的解析式为 ， 当直线 过直径 时， ， 连接 ，作直线 交半圆于点 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ， ， ， ， ， 是半圆 的切线． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 ，此时 ， 的取值范围是
（2）解： 对于线段 上每一个点 ，都存在点 ，使 是 关于 的最佳内直角，
点 一定在 的边上，
， ，线段 上任意一点（不包含点 都必须在以 为直径的圆上，该圆的半径为2，
当点 在该圆的最高点时， 有最大值，
即 的最大值为2．
分两种情况：
①若点 不与点 重合，那么点 必须在边 上，此时 ，
点 在以 为直径的圆上，
如图3，当 与 相切时， ，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
当 与 重合时， ，
此时 的取值范围是 ，
②若点 与点 重合时，临界位置有两个，一个是当点 与 重合时， ，另一个是当 时， ，
此时 的取值范围是 ，
综合以上可得， 的取值范围是
【解析】【解答】解：（1）①如图1，
， ， ，
， ， ，
不在以 为直径的圆弧上，
故 不是 关于 的内直角，
， ， ，
， ， ，
，
，
是 关于 的内直角，
同理可得， ，
是 关于 的内直角，
故答案为： ， ；
【分析】（1）①判断点P1，P2，P3， 是否再以AB为直径的圆弧上即可得到答案；②求得直线AB解析式，当直线y=2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b=5，则答案可求出；
（2）可知线段MN上任意一点（不包含M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t的值即可得到答案。