2026年中考数学必刷压轴题--三角形与动点问题训练（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学必刷压轴题--三角形与动点问题训练（学生版+名师详解版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒
A．2.5B．3C．3.5D．4
2．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（ ）
A．3B．5C．4或5D．3或5
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的 .
A．1.5B．2
C．3或者1.5D．以上答案都不对
4．如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的时间是（ ）
A．B． 或 C．D．
5．如图已知 中， ， ， ，点D为 的中点.如果点P在线段 上以 的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为v，则当 与 全等时，v的值为（ ）
A．1B．3C．1或3D．2或3
6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=30cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t（0< t ≤15）． 过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF，若四边形AEFD为菱形，则t值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
7．中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点 A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（ ）s时，△APQ是直角三角形．
A．2.4B．3C．2.4或3D．3或4.8
9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（ ， ），（2， ），（3，0），点P为线段AB上的一个动点，连结CP，过点P作∠CPD＝120°，交y轴于点D，当点P从A运动到B时，点D随之运动，设点D的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A． ≤ b ≤ B． ≤ b ≤
C． ≤ b ≤ D． ≤ b ≤
10．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P为AC的中点，Q为AB上的一个动点，连接PQ，CQ，则PQ+CQ的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题
11．如图，在边长为6的等边 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值为 .
12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．
13．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB.问当AP= 时，才能使△ABC和△PQA全等.
14．如图，在 中， ， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动.如果 、 两点同时出发，问：经过 秒后 的面积等于 .
15．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为 ．
16．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ．
17．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点， 是 边上的一个动点，连接 ，过 作 的垂线，与 边交于点 .在 从 运动到 的过程中， 的中点 运动的路程为 .
18．如图， 是边长为 等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿 、 方向匀速运动，其中点P运动的速度是 ，点Q运动的速度是 ，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作 交 于点R，连接 ，设运动的时间为 ，当t= s时 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5 cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）．
20．如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上，且 ，点 的坐标为 点 为 的中点， 的垂直平分线交 轴于点 ，交 于点 ，点 为线段 上的一动点，当 的周长最小时，点 的坐标为 ．
三、综合题
21．如图，在中，，，D为AB的中点，点E在直线BC上移动，以DE为边向右作等边三角形DEF，连接CF．
（1）当点E在线段BC上移动时，如图①所示，求证：；
（2）当点E在直线BC上移动时，如图②、图③所示，线段EC、CF与AC之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
22．在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点C在y轴的正半轴上， ．
（1）如图①，求点C的坐标；
（2）将 沿x轴向右平移得 ，点A，O，C的对应点分别为 ．设 与 重叠部分的面积为S．
①如图②，当 与 重叠部分为四边形时， 分别与 相交于点D，E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S取得最大值时，求t的值（直按写出结果即可）．
23．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据教材中的分析．
（1）结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图②，在中，，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．连接MB，若AB=8cm，的周长是14cm．
①求BC的长；
②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
24．如图，直线 与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8，OB=6.动点P从O点出发，沿路线O→A→B以每秒2个单位长度的速度运动，到达B点时运动停止.
（1）则A点的坐标为 ，B两点的坐标为 ；
（2）当点P在OA上，且BP平分∠OBA时，则此时点P的坐标为 ；
（3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并直接写出当S=8时点P的坐标.
25．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC．
（1）当点P与点A重合时，如图2．
①根据题意在图2中完成作图；
②判断EC与BC的位置关系并证明．
（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM＝EC，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】设运动的时间为x秒，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4
故答案为：D．
【分析】设运动的时间为x秒，根据等腰三角形的性质可得AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，即可得到20﹣3x＝2x，再求出x的值即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC＝AM＝3，
设AB＝x，BC＝9－x，
由三角形两边之和大于第三边得：
，
解得3＜x＜6，①AC为斜边，则32＝x2＋（9－x）2，即x2－9x＋36＝0，方程无解，即AC为斜边不成立，②若AB为斜边，则x2＝（9－x）2＋32，解得x＝5，满足3＜x＜6，③若BC为斜边，则（9－x）2＝32＋x2，解得x＝4，满足3＜x＜6，
∴x＝5或x＝4；
故答案为：C．
【分析】设AB＝x，则BC＝9－x，根据三角形两边之和大于第三边，得到x的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴ ，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
∴AQ=2 ， ， ，
的面积是 面积的 ，
，
整理得 ，
解得 ，
当 s时， 的面积是 面积的 ．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的面积公式可求出t。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：设动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，
则BP为（8-t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
（8-t）×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使 的面积为 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意求出 （8-t）×2t=15，再解方程计算求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
∵ ，点D为 的中点.
∴BD= AB=6，
由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，
又∵∠B=∠C
∴①当BP=CQ，BD=CP时， ≌
∴2t=vt，解得：v=2
②当BP=CP，BD=CQ时， ≌
∴8-2t=2t，解得：t=2
将t=2代入vt=6，解得：v=3
综上，当v=2或3时， 与 全等
故答案为：D.
【分析】设运动时间为t秒，由题目条件求出BD= AB=6，由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，然后结合全等三角形的判定方法，分①当BP=CQ，BD=CP时，②当BP=CP，BD=CQ时，两种情况列方程求解.
6．【答案】A
【解析】【解答】∵点D和点E的速度分别为4cm/s和2cm/s，
∴CD=4t，AE=2t，
∵四边形AEFD为菱形，
∴AD=AE，
即30-4t=2t，
解得：t=5，
故答案为：A．
【分析】先求出CD=4t，AE=2t，再结合菱形的性质可得AD=AE，即30-4t=2t，求出t的值即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，∠B=30°，
∴AC= =4，
∴AP的长不能大于8，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于4；
故答案为：A．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=4，再利用垂线段最短的性质可得答案。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设运动的时间为t秒，则BP=2t厘米，AQ=t厘米，
①当∠PQA=90°时，如图1所示，
在Rt△APQ中，∵∠PQA=90°，∠A=60°，AP=（12-2t）cm，
∴
解得t=3，
②当∠QPA=90°时，如图2所示，
在Rt△APQ中，∵∠QPA=90°，∠A=60°，AP=（12-2t）cm，
∴
两点的最长运动时间为 ，所以 都符合题意，
综上所述，运动的时间为3秒或4.8秒，
故答案为：D．
【分析】根据题意分两种情况进行解答，即∠PQA=90°或∠QPA=90°时，分别表示直角三角形APQ的两边的长，再根据直角三角形的边角关系求解即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥OC于点H
∵ A，B，C三点的坐标分别为（ ， ），（2， ），（3，0），
∴AB∥x轴，
∴CH=3-2=1，BH=
∴
∴BC=2CH，
∴∠HBC=30°
∴∠ABC=90°+30°=120°，
∴当点P运动到与点B重合时，BP∥x轴，
∴此时b的值最大，最大值为；
当点P运动到与点A重合时，此时b的值最小，最小值为
∴b的取值范围是.
故答案为：D
【分析】过点B作BH⊥OC于点H，利用点的坐标，可证得AB∥x轴，同时可求出CH，BH的长，利用勾股定理求出BC的长，由此可求出∠HBC=30°，∠ABC=120°，当点P运动到与点B重合时，BP∥x轴，可得到b的最大值；当点P运动到与点A重合时，此时b的值最小，可求出最小值，即可得到b的取值范围.
10．【答案】D
【解析】【解答】如图，过点P作点P关于AB的对称点P'，连接P'C，交AB点Q'，连接AP'，
则AP＝AP'，PQ'＝P'Q'，
PQ+CQ＝P'Q+CQ P'Q'+CQ'＝CP'，
即当P'、Q'、C在同一直线上时，PQ+CQ的最小值为CP'．
∵直角△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAB＝45°，∠P'AC＝45°，
∴∠CAP'＝90°，
∵AC＝BC＝2，P为AC的中点，
∴AP'＝AP＝1，
∴CP'＝ = = ，
即PQ＋CQ的最小值为 .
故答案为：D．
【分析】过点P作点P关于AB的对称点P'，连接P'C，交AB点Q'，连接AP'．则AP＝AP'，PQ'＝P'Q'，当P'、Q'、C在同一直线上时，PQ＋CQ的最小值为CP'．由勾股定理得，CP'＝ = = ，即PQ＋CQ的最小值为 .
11．【答案】
【解析】【解答】如图所示，∵边长为6的等边 ，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于 ，当点P运动到 时，CP取到最小值
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴
即
故答案为：
【分析】以AB为直径作圆，利用等边三角形的性质，可证得AB=AC，∠ACB=∠CAB，利用SAS证明△ACF≌△BAE，利用全等三角形的性质可证得∠CAP=∠PBA，由此可证得∠APB=120°；可推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB=120°，连接CO交⊙O于 ，当点P运动到 时，CP取到最小值；再利用SSS证明△ACO≌△BCO，利用全等三角形的性质，可求出∠CAO=∠CBO=90°；然后利用解直角三角形分别求出OP´，OC，CP´的长，即可得到CP的最小值.
12．【答案】1或
【解析】【解答】解：设点F的运动速度为x m/s，
由题意可得， ， ， ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴此时点F的运动速度为1m/s；
当 时，
， ，
∴ ， ，
解得： ， ．
∴此时点F的运动速度为 m/s；
故答案为：1 或 ．
【分析】设点F的运动速度为x m/s，由题意可得， ， ， ，再分两种情况：当 时，当 时，再利用全等三角形的性质求解即可。
13．【答案】8或3
【解析】【解答】解：①AC=AP=8时，△BCA≌△QAP，
在Rt△BCA和Rt△QAC中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△QAC（HL）；
②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ，
在Rt△BCA和Rt△QAC中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△PAQ（HL）；
故答案为8或3.
【分析】分两种情况讨论，即①AC=AP=8时，利用HL证明Rt△BCA≌Rt△QAC；②当AP=BC=3时，再利用HL证明Rt△BCA≌Rt△PAQ.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QE⊥PB于点E ，则 ，
，
，
设经过t秒后△PBQ的面积等于 ，
则 ， ， ，
根据题意可得：
， ，
当 时， ，不合题意；
.
经过2秒后△PBQ的面积等于 .
故答案为：2.
【分析】过点Q作QE⊥PB于点E，根据含30°角的直角三角形的性质可得QB=2QE， 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB=(6-t)cm，QB=2t(cm)，QE=tcm，根据三角形的面积公式可得t的值，据此解答..
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
当CD⊥AB时，
∵△ABC的面积＝ AB×CD＝ AC×BC，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴EF的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等得出EF=CD，再根据垂线段最短得出CD⊥AB时EF的最小值，进而解答即可。
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝ CD＝1，
∴DQ＝ ，
∴DQ的最小值是 ，
故答案为： ．
【分析】先求出∠BCQ＝120°，再求出CQ=1，最后利用勾股定理计算求解即可。
17．【答案】2
【解析】【解答】如图，
根据 ， ，作BG⊥AC
当点E与A重合时，F点与B重合，N点为AB中点P，
当点E与B重合，点F与C重合时，N点为BC的中点Q，
∴线段EF的中点N运动的轨迹为线段PQ，即△ABC的中位线.
∵
∴PQ=
故答案为：2.
【分析】取特殊点寻找轨迹，线段EF的中点N运动的路程为△ABC的中位线，即可求解.
18．【答案】1.2
【解析】【解答】解：∵ 是边长为 等边三角形，
∴
∵ ，∴ ，
∴ 为等边三角形
∵点P运动的速度是 ，点Q运动的速度是
∴ ， ， ，C ，
∵∴
若要 ，则需满足
∴ ，
∴ ，又∵
∴∴
∴ ，解得
【分析】先证明 为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QR//BA推得∠QPR=∠APR，从而△PRQ中再有一个角等于∠A=60°，证出，再利用比例式求解即可。
19．【答案】①③④
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点D是AB中点，AB＝20cm，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，
∴ ，故②不符合题意；
当 时，CM的值最小，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，故③符合题意；
取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，如图所示：
∵点P始终是线段CM的中点，
∴ ，
∴ ，
∴点F为BC的中点，
∵点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，
∴点P在线段EF上运动，
∴ ，
即点P运动路径的长度10cm，故④符合题意；
∴正确的结论是①③④；
故答案为①③④．
【分析】由直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，由∠A＝3∠B可求出，根据直角三角形斜边中线的性质可得，利用等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，据此判断①②；当 时，CM的值最小，可证 是等腰直角三角形，可得，求出CM及额判断③；取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，由题意可得点P在线段EF上运动，根据三角形中位线定理即可求解即可判断④.
20．【答案】( ， )
【解析】【解答】解：如图所示，连接BP，BD，
点P为线段AB的垂直平分线上一点，则 AP=BP，
OA=6，点A在轴正半轴上，点D为OA的中点，
则OD=AD=3，
∴A点坐标为(6，0)，D点坐标为(3，0)，
则△APD的周长=AP+PD+AD=BP+PD+3>BD+3，即当点B，P，D三点共线时，△APD的周长取得最小值，
设直线BD解析式为y=kx+b，将点B(2，4)，D(3，0)代入得：
，解得 ，
所以直线BD的解析式为 ；
∵B(2，4)，A(6，0)，
∴AB= ，
过点B作BF⊥OA于点F，
∴BF=4，AF= ，
∴BF= AF，即点F在线段AB的垂直平分线上，
∵AB的垂直平分线交x轴于点C，
∴点C与点F重合，即点C在线段AB的垂直平分线上，
∴点C的坐标为(2，0)，
∵点B为AB的中点，
则E点坐标为(4，2)，
同理求得所以直线EP的解析式为 ，
联立： ，得 ，
故P点坐标为( ， ) ．
【分析】先求出直线BD的解析式为 ，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：如图①，连接CD，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴AD=BD=CD=AB，∵BC=AB，∴BD=CD=BC，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠BDC=∠DEF，即∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠CDF，∴∠BDE=∠CDF，在△BDE和△CDF中，BD=CD∠BDE=∠CDFDE=DF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE=FC，∵AB=2BC，∴AC=，∴BC=AC，∵EC+BE=BC，∴EC+FC=AC；
（2）解：图②中：EC-FC=AC，图③中：FC-EC=AC，理由如下：如图②，连接CD，
由（1）知：BD=CD，DE=DF，∠BDC=∠EDF=60°，BC=AC，∴∠BDF+∠CDF=∠BDF+∠BDE，∴∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE=FC，∵EC-BE=BC， ∴EC-FC=AC；如图③，连接CD，
由（1）知：BD=CD，DE=DF，∠BDC=∠EDF=60°，BC=AC，∴∠BDC+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE=FC，又∵BE-EC=BC，∴FC-EC=AC．
【解析】【分析】 (1)、 做辅助线连接CD，证得 △BCD是等边三角形 ，根据等边三角形的性质求得 ∠BDE=∠CDF ，证明 △BDE≌△CDF（SAS），勾股定理求得AC=BC，再通过线段的代换即可解得.
(2)、 第一种情况证明 如图②，△BDE≌△CDF（SAS）证得BE=FC，即可解得.第二种情况证明 如图③，△BDE≌△CDF（SAS）证得BE=FC，即可解得.
22．【答案】（1）解：

即
（2）①
②
【解析】【解答】解：(2)① ，
设 直线解析式为
则
解得
直线解析式为

轴，
当 与 重叠部分为四边形时，则 ，即




②
，开口向下，对称轴为 ，
时，取得最大值
【分析】（1）证明角相等，根据正弦函数的定义列出方程，解出CO
（2）根据S=S-S求解，即可得到答案；
根据S面积公式，找到对称轴，开口向下，所以t=2时面积最大
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在△ACP与△BCP中，
，
∴△ACP≌△BCP，
∴PA=PB；
（2）解：①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，
∵AC=AB=8cm，
∴BC=6cm．
②如图，
当点P与点M重合时，的值最小，
∵MN垂直平分AB．
∴PB=PA，
∴PB+CP=PA+PC≥AC，
∴当点P与点M重合时，的值最小，为AC的长
∴△PBC的周长最小值是8+6=14cm．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△ACP≌△BCP，再利用全等三角形的性质可得PA=PB；
（2）①根据垂直平分线的性质可得MB=MA，再利用三角形的周长可得AC+BC=14cm，再求出BC的长即可；
②当点P与点M重合时，的值最小，且正好为AC的长，再求出AC的长即可。
24．【答案】（1）（8，0）；（0，6）
（2）（3，0）
（3）解：∵OA=8，v=2，∴t=8÷2=4，∴P从O运动到A的时间为4秒，∴当0≤t≤4时，P在线段OA上运动.
OP=2t，PA=8－OP=8－2t，S=S△BAP= •PA•OB= •（8-2t）•6=24－6t.
当S=8时，8=24－6t，解得：t= ，∴OP=2t =2× = ，∴P（ ，0）.
答：S= 24－6t（0≤t≤4），当S=8时，P（ ，0）.
【解析】【解答】解：（1）∵OA=8，OB=6，∴A（8，0），B（0，6）.
故答案为：（8,0），（0,6）；
（2）过P作PD⊥BA于D.
∵BP平分∠OBA，
∴PD=OP.
∵BP=BP，
∴Rt△BDP≌Rt△BOP，
∴BD=OB=6.
∵OA=8，OB=6，
∴BA=10，
∴DA=AB－BD=10－6=4.
在Rt△PDA中，∵ ，
∴ ，
解得：OP=3，
∴P（3，0）.
故答案为：（3,0）；
【分析】（1）根据OA和OB的长度可求出A、B两点的坐标；
（2）过P作PD⊥BA于D.由角平分线的性质得到PD=OP，通过证明Rt△BDP≌Rt△BOP，得到BD=OB=6，DA= 4,在Rt△PDA中，由勾股定理即可求得结论；
（3）当0≤t≤4时，P在线段OA上运动，由OP=2t，PA=8－2t，根据三角形面积公式即可得出结论，当S=8时，代入解析式即可求得t的值，进而得出结论.
25．【答案】（1）解：①图形如图2中所示：
②结论：EC⊥BC．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠EAD＝∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴EC⊥BC
（2）解：当BP＝ 时，总有EM＝EC．
理由：如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．
∵PD＝PE，∠DPE＝∠SPN＝90°，
∴∠DPS＝∠EPN，
∵∠PSD＝∠N＝90°，
∴△DPS≌△EPN（AAS），
∴PH＝PS，∠PSD＝∠N＝90°，
∵∠PEQ＝∠PSQ＝∠SPN＝90°，
∴四边形PNQS是矩形，
∵PS＝PN，
∴四边形PNQS是正方形，
∵BP＝ ，∠B＝45°，AB＝2，
∴BS＝PS＝ ，BC＝2 ，
∴BQ＝2BS＝ ，QC＝ ，
∵M是BC的中点，
∴MC＝ ，
∴MQ＝QC＝ ，
∵EQ⊥CM，
∴NQ是CM的垂直平分线，
∴EM＝EC
【解析】【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②结论：EC⊥BC，证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题；
（2）当BP=时，总有EM=EC，如图3中， 作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC． 通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可。