初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式背景图ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式背景图ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了你发现了什么，完全平方公式，p2+2p+1，m2+4m+4，p2–2p+1，m2–4m+4，a2+2ab+b2，a2–2ab+b2，问题1，问题2等内容，欢迎下载使用。
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
(2) (m+2)2=( )( )= .
(3) (p–1)2=( )( )= .
(4) (m–2)2=( )( )= .
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
(a–b)2= .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S=
=S1+S2+S3+S4= .
a2−2ab+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
利用完全平方公式进行计算
(a –b)2 = a2– 2ab + b2
解： =
利用完全平方公式计算：(1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2.
(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
= (100 –1)2
=10000–200+1
=10000+400+4
例2 运用完全平方公式计算：
利用完全平方公式进行简便计算
利用乘法公式计算：(1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242.
＝(2025–2024)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395.
(2)原式＝20252–2×2025×2024＋20242
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20.
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
利用完全平方公式的变形求整式的值
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.
(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=________ .
(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.
a+(b+c) = a+b+c; a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) .
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
例 运用乘法公式计算:(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+ 2bc+c2.
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc.
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
3.已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= .
2.已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .
1.计算: (x+2y)2=（ ） A. x2+4xy+4y2 B. x2+2xy+4y2 C. x2+4xy+2y2 D. x2+4y2
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( ) A．(a–b)2 B．(–a–b)2 C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　) A．a2–4a+4 B．a2–2a+4 C．a2–4 D．a2–4a–4
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=______________；(2)(4x–3y)2=_____________；(3) (2m–1)2 =______________；(4)(–2m–1)2 =____________.
36a2+60ab+25b2
16x2–24xy+9y2
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792=________．
计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．
(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]
＝(3a)2–(b–2)2
＝9a2–b2＋4b–4.　
＝(x–y)2–(m–n)2
＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.
1.若a+b=5，ab= –6， 求a2+b2，a2–ab+b2.2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.
解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；
a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.
解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;