山东省德州市宁津县第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

这是一份山东省德州市宁津县第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A  ( x, y) | 2x  y  6
 x  y  3 
若用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是（）
A. {x  3, y  0}B. {(3, 0)}C. {3, 0}D. {0, 3}
设集合 A  x 2  x  3 ， B  x x  1 或 x  4 ，则 A ðR B  （）
A. x 2  x  4
C x 3  x  4
B. x 1  x  3
D. x x  3或x  4
已知集合 A  1,1, 2, 4, B  x x 1  1，则 A ∩ B  （）
A. {1, 2}B. {1, 2}C. {1, 4}D. {1, 4}
代数式 x 1  x  2 的最小值是（）
A 3B. 3
C. 1D. 1
若 a ， b 均为实数，则“ a2  b2 ”是“ a  b ”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
使x | 5  x  16 成立的充分不必要条件可以是（ ）
x | x  16
C. x | 5  x  16
x | 5  x  16
D. x | 5  x  16
已知一元二次方程 x 2  2 x  1  0 的两个根分别为x ， x ，则 x2  x2 的值为（）
2
1212
B. 2C. 1
D. 6
命题“ x0  R ， x2  2x  a  0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围是（）
a  1
a  1
a＜1D. a＞1
若函数 f  x 的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A. 4, 11, 4
C. 2,2
若函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时，
B. 1,1
D. [−4,−1],[1,4]
f (x)  x2  2x ，则 f (1) 的值为（）
A. -1B. 2C. 3D. 1
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 5 分）
下列说法正确的是（ ）
联合国安理会常任理事国能组成一个集合
我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
由不大于3 的自然数组成的集合的所有元素为1, 2, 3
数1, 0, 51
36
， ，
组成的集合中有 5 个元素
1
4
， 2 ， 24
下列“若 p ，则 q ”形式的命题中， p 是 q 的必要条件的是（）
A 若两个三角形全等，则这两个三角形相似
B. 若 x  5 ，则 x  10
C. 若 ac  bc ，则 a  b
D. 若0  x  5 ，则| x 1| 1
若 x  A ， y  B ，下列对应关系或关系式是集合 A 到 B 的函数的有（ ）
A  Z ， B  R ，f： x  y  x ；
A  R ， B  Z ，f： x  y  x ；
A  R ， B  R ，f： x  y2  x
A 与 B 的对应关系如图所示：
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分）
设 a, b  R ，集合1, a  b, a  0, b, b  ，则b  a ．
a 
已知 x  1 ，则 x 
2
1
2x 1

的最小值为
若集合 A  x ax2  2x 1  0, a  R至多有一个元素，则 a 的取值范围是．
四、解答题
e
已知 a  b  0 ， c  d  0 ， e  0 ，求证：e
a  cb  d
求下列函数的定义域：
（1） f  x 
3x
；
x  3
x  2
（2） f  x  x 1 .
x 1
解下列不等式：
（1） x2  4x  4  0 ；
（2）
x
x 1
0 ；
（3） 1 2x  7 ；
判断下列函数的奇偶性，并说明理由
（1） f  x 
x  2  x  2 ；
（2） f  x  x  1 
x
x
；
1 x
（3） f  x 
（4） f  x 
；
x 1
1 x
x2 1
1 x2
.
新生入学数学测试题
一、单选题（本题共 10 小题，每小题 3 分）
A  ( x, y) | 2x  y  6
 x  y  3 
若用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是（）
A {x  3, y  0}B. {(3, 0)}C. {3, 0}D. {0, 3}
【答案】B
【解析】
【分析】
x  3

解方程组得 y  0 ，即可得到集合.
【详解】由2x  y  6 解得x  3 所以 A  {(3, 0)}.


x  y  3 y  0
故选：B
【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式.
设集合 A  x 2  x  3 ， B  x x  1 或 x  4 ，则 A ðR B  （）
A. x 2  x  4
C. x 3  x  4
B. x 1  x  3
D. x x  3或x  4
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由题意得ðR B  x 1  x  4 ，所以 A ðR B  x 2  x  4 ，故选：A
已知集合 A  1,1, 2, 4, B  x x 1  1，则 A ∩ B  （）
A. {1, 2}B. {1, 2}C. {1, 4}D. {1, 4}
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求出集合 B 后可求 A  B .
【详解】[方法一]：直接法
因为 B  x | 0  x  2 ，故 A ∩ B  1, 2 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x  1 代入集合 B  x x 1  1 ，可得2  1，不满足，排除 A、D；
x  4 代入集合 B  x x 1  1 ，可得3  1 ，不满足，排除 C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出， 是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
代数式 x 1  x  2 的最小值是（）
3B. 3
C. 1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】讨论 x 1和 x  2 的正负，去掉绝对值符号，根据不等式的性质，求出代数式| x  1|  | x  2 | 的最
小值.
x 1, x  1
x  2, x  2
【详解】因为 x 1   x 1, x  1 ，且 x  2   x  2, x  2 ,

所以，当 x  1时， x 1  x  2   x 1    x  2  2x 1  3 ；当1  x  2 时， x 1  x  2  x 1   x  2  3 ；
当 x  2 时， x 1  x  2  x 1 x  2  2x 1  3 .
综上所述，代数式 x 1  x  2 的最小值为 3.
故选：A.
若 a ， b 均为实数，则“ a2  b2 ”是“ a  b ”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.
【详解】若 a2  b2 ，则 a  b ，则 a  b 或 a   b ，故充分性不成立；若 a  b ，则 a2  b2 ，故必要性成立；
故“ a2  b2 ”是“ a  b ”的必要不充分条件.
故选：B.
使x | 5  x  16 成立的充分不必要条件可以是（ ）
x | x  16
C. x | 5  x  16
x | 5  x  16
D. x | 5  x  16
【答案】C
【解析】
【分析】由充分不必要条件的定义求解即可.
【详解】解：对于 A，因为x | x  16 不是x | 5  x  16 的真子集，故不满足题意；对于 B，因为x | 5  x  16  x | 5  x  16 ，
所以x | 5  x  16 是x | 5  x  16 成立的充要条件，故不满足题意；
对于 C，因为x | 5  x  16x | 5  x  16 ，
所以x | 5  x  16 是x | 5  x  16 成立的充分不必要条件，满足题意；
对于 D，因为x | 5  x  16x | 5  x  16 ，
所以x | 5  x  16 是x | 5  x  16 成立的必要不充分条件，不满足题意.
故选：C.
已知一元二次方程 x 2  2 x  1  0 的两个根分别为x ， x ，则 x2  x2 的值为（）
2
1212
B. 2C. 1
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】将 x2  x2 变化成为 x  x 2  2x x 形式，再根据韦达定理即可求解．
12121 2
【详解】对于一元二次方程 x 2  2 x  1  0 ，根据韦达定理，方程两根x1 ， x2 满足
x  x   b   2  2 ， x x  c  1  1，又 x2  x2   x  x 2  2x x ，
12a1
1 2a1
12121 2
所以?2 + ?2 = 22−2 × (−1) = 4 + 2 = 6．
12
故选：D．
命题“ x0  R ， x2  2x  a  0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围是（）
a  1
a  1
a＜1D. a＞1
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件可得  0 ，即可解得实数 a 的取值范围.
【详解】因为命题“ x0  R ， x2  2x  a  0 ”是真命题，则  4  4a ≥ 0 ，解得 a  1 .
因此，实数 a 的取值范围是 a  1 .
故选：A.
若函数 f  x 的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.
【详解】由函数 f  x 的图象可知， f  x 单调递增区间是[−4,−1],[1,4]，又由图知?(−3) = 0 > ?(1) = −2，而3  1，所以 A 不正确，
故选：D.
A. 4, 11, 4
B.
1,1
C. 2,2
D.
[−4,−1],[1,4]
【答案】D
【解析】
若函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  x2  2x ，则 f (1) 的值为（）
A. -1B. 2C. 3D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由当 x≥0 时，f（x）＝x2﹣2x．可得 f（1），再由函数 f（x）是 R 上的奇函数，可得 f（﹣1）的值；
【详解】解：∵当 x≥0 时，f（x）＝x2﹣2x．
∴f（1）＝12﹣2×1＝﹣1
∵f（x）为 R 上的奇函数，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝1．故选：D
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 5 分）
下列说法正确的是（ ）
联合国安理会常任理事国能组成一个集合
我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
由不大于3 的自然数组成的集合的所有元素为1, 2, 3
数1, 0, 51
36
， ，
组成的集合中有 5 个元素
1
4
， 2 ， 24
【答案】AD
【解析】
【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于 A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以 A 正确；
对于 B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故 B 错误；
对于 C，因为不大于3 的自然数有0,1, 2, 3，则由不大于3 的自然数组成的集合的所有元素为0,1, 2, 3，故
C 错误；
1
4
1
4
对于 D，因为 3  6 ， 1 ，所以数1, 0, 5 ， 1 ， 3 ， 6 ，
组成的集合中有 5 个元素，则 D 正
242224
确.
故选：AD.
下列“若 p ，则 q ”形式的命题中， p 是 q 的必要条件的是（）
若两个三角形全等，则这两个三角形相似
若 x  5 ，则 x  10
若 ac  bc ，则 a  b
若0  x  5 ，则| x 1| 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据必要不充分条件的概念逐个分析可得答案.
【详解】A 选项，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似，但两个三角形相似未必全等，故 p 不是 q 的必要条件
B 选项，由 x  5 ，无法推出 x  10 ，如6  5 ，但是6  10 .反之成立，即满足 p 是 q 的必要条件；
C 选项，由 ac  bc ，无法得到 a  b ，如c  0 ， a  1 ， b  2 时有 ac  bc ，但是 a  b ，反之成立；
D 选项，若0  x  5 ，则1  x 1  4 ，即 x 1  4 ，反之 x 1  1 则0  x  2 ，满足 p 是 q 的必要条件．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查必要条件的判断，关键是看由 q 能不能推出 p ，若能，则 p 是 q 的必要条件，若不能，则 p 不是 q 的必要条件.
若 x  A ， y  B ，下列对应关系或关系式是集合 A 到 B 的函数的有（ ）
A  Z ， B  R ，f： x  y  x ；
A  R ， B  Z ，f： x  y  x ；
A  R ， B  R ，f： x  y2  x
A 与 B 的对应关系如图所示：
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的定义逐项判断即可.
【详解】对于 A，由于实数包含所有的整数，故 A 中的每个元素在 B 中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故 A 正确；
对于 B，当在 A 中取非整数的元素时，在集合 B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故 B 错误；对于 C，若取4  A ，则有22  4 ，从而有 2 个 y 和一个 x 对应，不符合函数的定义，故 C 错误； 对于 D，由图可知对于 A 中的所有元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故 D正确.
故选：AD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分）
设 a, b  R ，集合1, a  b, a  0, b, b  ，则b  a ．
a 

【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，集合1, a  b, a  0, b, b  ，注意到后面集合中有元素 0，由集合相等的意义，结合
a 

集合中元素的特征，可得a  b  0 ，进而分析可得 a 、b 的值，计算可得答案．
【详解】根据题意，集合1, a  b, a  0, b, b  ，
a 

又Q a  0 ，
 a  b  0 ，即a  b ，
 b  1
a
b  1
故 a  1 ， b  1，则b  a  2 ，
故答案为： 2
已知 x  1 ，则 x 
2
1
2x 1
的最小值为
2
【答案】 1 
2
【解析】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于 x  1 ，所以 x  1  0, 2x 1  0 ，
22
所以 x 1 x  1 1 1
 2
2x 122x 12
 x  1 
2 

1
2x 1
2
11
  ，
22
当且仅当 x  1 1, x 2 1 时等号成立，
22x 12
2
所以 x 1的最小值为 1 .
2x 12
2
故答案为： 1 
2
若集合 A  x ax2  2x 1  0, a  R至多有一个元素，则 a 的取值范围是．
【答案】a a  0 或 a  1
【解析】
【分析】根据 a 讨论 ax2  2x 1  0 方程解的情况，即得结果
【详解】 a  0 时， ax2  2x 1  2x 1  0 x   1 ， A   1 满足题意；
2 2 

a  0 时，要满足题意，需  4  4a  0 a  1
综上 a 的取值范围是a a  0 或 a  1
故答案为a a  0 或 a  1
【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
四、解答题
e
已知 a  b  0 ， c  d  0 ， e  0 ，求证：e
a  cb  d
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据不等式性质即可证明.
【详解】∵ c  d  0 ，
∴ c  d  0 ，
又∵ a  b  0 ，
∴ a  (c)  b  (d )  0 ，即 a  c  b  d  0 ，
∴ 0 11，
a  cb  d
又∵ e  0 ，
∴ ee.
a  cb  d
求下列函数的定义域：
（1） f  x 
3x
；
x  3
x  2
（2） f  x  x 1 .
x 1
【答案】（1） , 3 3, 
（2）2, 1 1,1 1, 
【解析】
 
【分析】(1)要使函数有意义，只需令 x30 ，其解集即为函数?(?) = 3? 的定义域.
?−3
?+1
(2)要使函数?(?) =
+ ? + 2有意义，需满足 |?|−1 ≠ 0,其解集即为?(?) = ?+1
+ ? + 2的定义域.
【小问 1 详解】
|?|−1
? + 2 ≥ 0
|?|−1
 
要使函数?(?) = 3? 有意义，只需令 x30 ，解得： x3
?−3
所以函数?(?) = 3? 的定义域为：(−∞,3) ∪ (3, + ∞).
?−3
【小问 2 详解】
要使函数?(?) =
+ ? + 2有意义，需满足 |?|−1 ≠ 0,所以 ? ≠± 1,
?+1
|?|−1
? + 2 ≥ 0
? ≥ −2
?+1
所以?(?) = |?|−1 + ? + 2的定义域为:[−2,−1) ∪ (−1,1) ∪ (1, + ∞).
解下列不等式：
（1） x2  4x  4  0 ；
（2）
x
x 1
0 ；
（3） 1 2x  7 ；
【答案】（1）x x  2 或 x  2
（2）x x  0 或 x  1
（3）x 3  x  4
【解析】
【分析】（1）先对式子进行配方，然后可解；
根据符号法则转化为两组不等式组求解可得；
根据绝对值的意义求解即可.
【小问 1 详解】
由x2  4x  4  0 得−(?−2)2 < 0，即 x  22  0 ，解得 x  2 ，所以不等式x2  4x  4  0 的解集为x x  2 或 x  2 .
【小问 2 详解】
因为 x 0 ，所以 ?−1 > 0或 ?−1 < 0，
x 1
解得 x  1 或 x  0 ，
? > 0
? < 0
所以不等式
x
x 1
0 的解集为x x  0 或 x  1.
【小问 3 详解】
|1−2?| ≤ 7⇔|2?−1| ≤ 7⇔−7 ≤ 2?−1 ≤ 7，解得3  x  4 ，所以不等式|1−2?| ≤ 7的解集为x 3  x  4 .
判断下列函数的奇偶性，并说明理由
（1） f  x  x  2  x  2 ；
（2） f  x  x  1 
x
x
；
1 x
（3） f  x 
f  x 
；
x 1
1 x
x2 1
1 x2
.
【答案】（1）偶函数（2）非奇非偶函数
（3）非奇非偶函数（4）既是奇函数又是偶函数
【解析】
【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
【小问 1 详解】
偶函数，理由如下：
函数 f  x 
x  2  x  2 的定义域为 R，关于原点对称，
且 f x  x  2  x  2 
x  2  x  2 
f  x ，
所以函数 f  x 
x  2  x  2 为偶函数.
【小问 2 详解】
非奇非偶函数，理由如下：
1 x  0

由x  0
得 x  0 且 x  1 ，
故函数 f  x  x  1 
x
x
1 x
的定义域为x  R | x  0 且 x  1 ，不关于原点对称，
所以函数 f  x  x  1 
x
x
1 x
为非奇非偶函数.
【小问 3 详解】
非奇非偶函数，理由如下：

由x 1  0 解得x  1 ，所以 x  1 ，函数的定义域为1 ，定义域关于原点不对称，

1 x  0x  1
x 1
1 x
则 f (x) 为非奇非偶函数．
【小问 4 详解】
既是奇函数又是偶函数，理由如下：
1 x2  0

由x2 1  0 ，所以
x  1
，其定义域为1,1 ，关于原点对称.
1 x2
因为对定义域内的每一个 x ，都有 f  x  0 ，所以 f x  f  x ， f x   f  x ，
x2 1
所以 f  x 

既是奇函数又是偶函数.