2024-2025学年上海市松江二中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市松江二中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了填空题．，选择题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合，2，，，则 ．
2．（4分）不等式的解是 ．
3．（4分）若，1，，则符合条件的集合有 个．
4．（4分）若，，且，则实数的取值范围是 ．
5．（4分）“且”是“”的 条件．
6．（4分）已知，，且是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
7．（5分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
8．（5分）已知，，则的取值范围是 ．
9．（5分）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数 ．
10．（5分）已知全集，，集合，，则 ．
11．（5分）设为非空实数集且满足：对任意给定的，，可以相同），都有，，，则称为幸运集．有以下结论：
①集合，，0，1，为幸运集；
②集合，为幸运集；
③若集合，为幸运集，则为幸运集；
④若集合为幸运集，则一定有．
其中正确结论的序号是 ．
12．（5分）对于集合，我们把称为该集合的长度，设集合，集合，且，都是集合的子集，则集合的长度最小值为 ．
二、选择题（共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）．
13．（4分）若，则下列不等式中不成立的是
A．B．C．D．
14．（4分）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．B．C．D．
15．（5分）一元二次方程有解是一元二次不等式有解的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（5分）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
三、解答题（共有5题，满分78分）．
17．（14分）（1）设，为实数，比较与的值的大小；
（2）设全集为，已知集合，，求．
18．（14分）若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离1，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
19．（14分）某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税．某外资企业第一个月型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少万件．
（1）试求第二个月政府对该商品征收的税收（万元）的表达式（用表示），并求的取值范围．
（2）要使第二个月该企业的税收不少于1万元，求的取值范围．
20．（18分）已知关于的不等式，其中，
（1）当，求不等式的解集；
（2）当变化时，试求不等式的解集；
（3）对于不等式的解集，满足．试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素个数最少时的取值范围，并用列举法表示此时的集合；若不能，请说明理由．
21．（18分）已知集合为非空数集，定义：，，，，，．
（1）若集合，0，，直接写出集合、；
（2）若集合，，，，，且，求证：；
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合，2，，，则 ．
【答案】．
解：由题意，．
故答案为：．
2．（4分）不等式的解是 ， ．
【答案】，．
解：由得，即，解得．
故答案为：，．
3．（4分）若，1，，则符合条件的集合有 8 个．
解：，1，，
，，，，，，，，，，，1，
共8个，
故答案为8．
4．（4分）若，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
解：，，且，
则，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
5．（4分）“且”是“”的 充分不必要 条件．
【答案】充分不必要．
解：由“且”可得“”；
但“”推不到“且”，比如，．
所以“且”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
6．（4分）已知，，且是的必要条件，则实数的取值范围是 ， ．
【答案】，．
解：，
，
是的必要条件．
，
，，
，
实数的取值范围为，．
故答案为：，．
7．（5分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ， ．
【答案】，．
解：因为不等式的解集为，
当时，不等式为，解集为，
当时，应满足，解得，
综上，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
8．（5分）已知，，则的取值范围是 ．
【答案】．
解：，，
则，，
故由不等式的可加性可知，，
故的取值范围是．
故答案为：．
9．（5分）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数 ．
【答案】．
解：关于的一元二次方程的两个实根分别为和，
，，
，
解得或，
当时，一元二次方程无解，
舍去．
故．
故答案为：．
10．（5分）已知全集，，集合，，则 ．
【答案】．
解：全集，，
集合，且，
，
．
故答案为：．
11．（5分）设为非空实数集且满足：对任意给定的，，可以相同），都有，，，则称为幸运集．有以下结论：
①集合，，0，1，为幸运集；
②集合，为幸运集；
③若集合，为幸运集，则为幸运集；
④若集合为幸运集，则一定有．
其中正确结论的序号是 ②④ ．
【答案】②④．
解：为非空实数集满足：对任意给定的、、可以相同），都有，，，则称为幸运集．
对于①，由于，故集合，，0，1，不为幸运集，故①错误；
对于②，设，，则，，且，，故，，，
故集合，为幸运集，故②正确；
对于③，若集合、为幸运集，设，，，为幸运集，但是不为幸运集，比如，时，，故③错误；
对于④，若集合为幸运集，取，，则一定有，故④正确．
故答案为：②④．
12．（5分）对于集合，我们把称为该集合的长度，设集合，集合，且，都是集合的子集，则集合的长度最小值为 889 ．
【答案】889．
解：，
，解得，
集合的解集为，
，
，解得，
或，
的长度为或，
故当，时，或，，的长度的最小值为889．
故答案为：889．
二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在容题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13．（4分）若，则下列不等式中不成立的是
A．B．C．D．
解：，，，即，，因此，，正确．
对于，，即，因此不正确．
故选：．
14．（4分）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．B．C．D．
【答案】
解：由图可得，
集合表示，的交集与的交集，即．
故选：．
15．（5分）一元二次方程有解是一元二次不等式有解的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
解：由已知，
当时，此一元二次不等式必有解，
此时方程有解可以推出不等式有解，而反之不成立，故方程有解是不等式有解的充分不必要条件；
当时，若方程有唯一解，则不等式无解，所以此时方程有解不是不等式有解的充分条件；
若不等式有解，即的图像既有在横轴上方的部分，也有在横轴下方的部分，
则方程一定有解，所以此时方程有解是不等式有解的必要不充分条件．
综上，方程有解是不等式有解的既非充分又非必要条件．
故选：．
16．（5分）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
解：由题恰有2个整数解，即恰有两个解，
，即，或．
当时，不等式解为，
，恰有两个整数解即：1，2，
，，解得：；
当时，不等式解为，
，，恰有两个整数解即：，，
，，解得：，
综上所述：，或．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位受写出必要的步骤．
17．（14分）（1）设，为实数，比较与的值的大小；
（2）设全集为，已知集合，，求．
【答案】（1）；（2）．
解：（1），
则．
（2）由，两边同时乘以，得，解得，
故，则或；
由，得，解得，
故；
．
18．（14分）若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离1，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
【答案】（1）实数的取值范围是，，；
（2）证明见解析．
解：（1）由题意得，
，即，解得或，
故实数的取值范围是，，；
（2）证明：由题意得，，，，
则，，
，
故比远离．
19．（14分）某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税．某外资企业第一个月型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少万件．
（1）试求第二个月政府对该商品征收的税收（万元）的表达式（用表示），并求的取值范围．
（2）要使第二个月该企业的税收不少于1万元，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2），．
解：（1）依题意，第二个月该商品销量为万件，
月销售收入为万元，
则税收（万元），
故所求函数为，
由题得：，解得：，
即，
即，；
（2）由（1），
由题得：，解得：，
即当，时，税收不少于1万元．
20．（18分）已知关于的不等式，其中，
（1）当，求不等式的解集；
（2）当变化时，试求不等式的解集；
（3）对于不等式的解集，满足．试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素个数最少时的取值范围，并用列举法表示此时的集合；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）答案见解析；
（3）能为有限集，当时，1，2，．
解：（1）当时，不等式为，即，
解得，；
（2）当时，；
当时，不等式可分解为，
当时，不等式的解集为，
当时，显然，不等式的解集为；
当时，可得，不等式的解集为或；
当时，可得，不等式的解集为或；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
（3）根据题意由（2）可知当时，集合为无限集，
当时，，此时集合为有限集；
若使得的集合中元素个数最少，即可知集合至少包含0，1，2，3这四个元素即可；
所以可得，解得．
此时的集合，1，2，．
21．（18分）已知集合为非空数集，定义：，，，，，．
（1）若集合，0，，直接写出集合、；
（2）若集合，，，，，且，求证：；
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
【答案】（1），，0，1，，，1，；
（2）证明见解析；
（3）1349．
解：（1）因为，0，，
故可能为，，0，1，2，
即，，0，1，；
可能为0，1，2，
即，1，；
（2）证明：因为，，，，，，，，，
又因为，中只有4个元素，
所以中也只包含4个元素，
又有，
故，，，，
则剩下的元素满足，，
所以；
（3）设集合，，满足题意，且，
则，
所以，
又，故，
因为，
由容斥原理，，
所以最小的元素为0，最大的元素为，
所以，
即，
解得，
实际上，当，676，时满足题意；
证明如下：设，，，，，，，
则，，，，，
则，1，2，，，
依题意可知，，即，所以的最小值为675，
所以当时，集合中元素最多，
即，676，，时满足题意，
综上，的最大值为1349．